Métrique et coordonnées en relativité générale

[Antonium]

Bonjour à tous,

Je débute mon apprentissage autodidacte de la relativité générale et j'en arrive à la solution de Schwarzschild dont l'interprétation me pose problème.

On se propose initialement d'imposer la symétrie sphérique et l'invariance temporelle de la métrique pour chercher une solution en coordonnées sphériques de la forme


Le métrique étant dépendante du choix de coordonnées, on utilise cette liberté pour faire le changement pour éliminer le C(r) devant le troisième terme de l'équation.

On trouve ensuite la solution pour la métrique de Schwarzschild

On interprète ensuite ce comme la coordonnée sphérique usuelle, mais ne souffre-t-elle pas de la redéfinition qu'on lui a imposée pour éliminer une inconnue au début du calcul ? Pourquoi correspond-elle toujours à la distance depuis l'origine ?

Ce qui me pose problème en fait c'est que les équations de champs d'Einstein nous permettent de trouver une métrique exprimée dans un certain système de coordonnées, mais une fois cette métrique obtenue comment faire le lien avec le système de coordonnées ?

Ce point me paraît encore obscur...

Merci d'avance à ceux qui viendront éclairer ma chandelle.

Bonne journée,
A.
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[mach3]

On interprète ensuite ce comme la coordonnée sphérique usuelle, mais ne souffre-t-elle pas de la redéfinition qu'on lui a imposée pour éliminer une inconnue au début du calcul ? Pourquoi correspond-elle toujours à la distance depuis l'origine ?

c'est là qu'est l'os! a priori n'est pas la distance depuis l'origine. Au minimum c'est ce qu'on appelle le rayon aréal qui est tel que si on prend l'ensemble des évènements de même couple on obtient une sphère de surface (de surface identique à celle d'une sphère de l'espace euclidien dont le rayon est ).

Si on regarde ce qui se passe pour de grande valeurs de , on constate que la métrique tend vers la métrique de Minkowski en coordonnées sphérique :


Pour les grandes valeurs de donc, on peut assimiler une différence de à une différence de distance radiale, mais cela n'est qu'une approximation et quand est petit (proche de ), cela devient complétement faux.

Je reviendrais plus tard pour ce qui concerne les systèmes de coordonnées, à moins que quelqu'un d'autre ne s'y colle.

m@ch3

[Antonium]

Merci beaucoup pour cette réponse !

Donc si je comprends bien les coordonnées dans lesquelles est exprimée la métrique de Schwarzschild ne correspondent qu'asymptotiquement aux coordonnées sphériques usuelles. Etant donnée une métrique écrite dans une certain système de coordonnées, comment peut-on donner une interprétation physique à ces coordonnées ?

Cette réflexion m'amène à une nouvelle interrogation : j'ai entendu dire que l'horizon des événements était situé à une distance du trou noir. Mais si ce ne correspond pas à la distance radiale, l'affirmation précédente est donc erronée ?
Dans ce cas comment peut-on calculer le rayon de l'horizon ?

Merci encore pour le temps que vous consacrez à m'éclaircir !

Bonne soirée,
A.

[jacknicklaus]

Et bien la métrique sert à celà. le ds² dans la métrique, c'est la "vraie" distance, celle qu'on peut mesurer localement avec un mètre. La comparer avec le dr c'est source de problème. Si on est purement radial, a un temps t donné, la métrique se réduit à
dont on peut trouver une primitive exacte. Du coup tu peux calculer la distance radiale à proximité de ton trou noir.

Tu peux aussi mesurer la circonférence à un rayon donné, toujours avec la métrique qui cette fois ne comporte qu'un terme angulaire très simple.

Et tu peux comparer les deux, ce qui confirme la courbure de l'espace : ainsi, entre deux orbites de circonférence 20.pi.GM et 6.pi.GM. On s'attends en espace plat à ce que celà corresponde à des rayons de 10 GM et 3 GM, donc à parcourir radialement une distance de 7GM. En fait, on va mesurer 8.8 GM, soit 25% de plus que prévu. Et cet écart va augmenter très vite à mesure qu'on s'approche de la valeur critique 2GM. il ya ENORMEMENT de place tout près de l'horizon !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Donc si je comprends bien les coordonnées dans lesquelles est exprimée la métrique de Schwarzschild ne correspondent qu'asymptotiquement aux coordonnées sphériques usuelles.

Ce n'est pas clair. Les coordonnées "sphériques usuelles" sont celles de l'espace euclidien, mais parle d'un espace(-temps) qui n'est pas euclidien.

Etant donnée une métrique écrite dans une certain système de coordonnées, comment peut-on donner une interprétation physique à ces coordonnées ?

Pas de recette générale. Faut analyser les propriétés des coordonnées à partir de la métrique. Dans de nombreux cas (en particulier pour la solution de Schwarschild) il y a plein de systèmes de coordonnées étudiés avec des coordonnées sans interprétation physique.

C'est d'ailleurs pareil pour toute "cartographie" (un système de coordonnées c'est juste une carte pour représenter un espace courbe). Il y a plein de cartes de la Terre avec tout ou partie des coordonnées sans signification. (Par exemple, quelle est la "signification physique des x et y cartésiens de la carte https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichie..._with_grid.png ?? Réponse, il n'y en a pas.)

En fait ce n'est pas ce qui est intéressant, ce sont les propriétés de l'espace-temps considéré qui nous intéresse. Ici par exemple, parce que t n'apparaît que avec dt², on sait que l'espace est stationnaire. Parce qu'un coefficient passe à 0, on sait qu'il y a une singularité de coordonnées (et qu'il va falloir passer outre, avec un autre système de coordonnées), etc.

Cette réflexion m'amène à une nouvelle interrogation : j'ai entendu dire que l'horizon des événements était situé à une distance du trou noir.

C'est "faux", juste une de ces nombreuses affirmations mal digérées qu'on trouve trop souvent dans le domaine. r=2GM, t fini est une singularité de coordonnées (comme l'est la ligne latitude = 90° sur une carte de Mercator ; c'est une ligne sur la carte, mais un point sur la sphère!); à cause de cela ce que cela pourrait représenter ne peut pas être étudié avec les coordonnées de Schwarzschild (mais peut l'être avec bien d'autres systèmes de coordonnées).

Dans ce cas comment peut-on calculer le rayon de l'horizon ?

La notion de "rayon" ne s'applique pas à l'horizon. Plus généralement, on ne peut pas étudier l'horizon avec les coordonnées de Schw., et l'horizon n'est pas un "lieu" au sens usuel.

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C'est un domaine ardu, on ne peut pas expliquer en détail tout cela dans un forum. Et il y a un apprentissage de pas mal de techniques qui est nécessaire, en particulier pour jongler avec les différentes cartes, comprendre ce que peut bien être une carte d'un "machin" en 4 dimensions qu'on décrit avec une métrique, etc.

Faut lire et comprendre des cours sur le sujet, cela prend du temps.

[Antonium]

Merci infiniment pour ces réponses, ça révèle mes lacunes et me donne plusieurs pistes pour aller les combler !

[mach3]

On trouve ensuite la solution pour la métrique de Schwarzschild

Ce qui me pose problème en fait c'est que les équations de champs d'Einstein nous permettent de trouver une métrique exprimée dans un certain système de coordonnées, mais une fois cette métrique obtenue comment faire le lien avec le système de coordonnées ?

La formule citée est l'expression de la métrique de Schwarzschild dans les coordonnées dites de Schwarzschild.

Si on effectue un changement de coordonnées, par exemple vers les coordonnées dites de Lemaître, on aura l'expression de la métrique de Schwarzschild dans les coordonnées de Lemaître.

C'est toujours le même objet, un champ de tenseur sur un ouvert d'une variété, et qui, en l’occurrence, décrit la géométrie de cet ouvert, mais son expression dépend du choix de 4 champs scalaires définis arbitrairement sur la variété et qui ont les propriétés qui vont bien pour être considérés comme système de coordonnées de cet ouvert.

Vous êtes vous déjà familiarisé un peu avec des choses comme l'algèbre tensorielle? la topologie différentielle ? la géométrie affine ? les variétés riemanniennes ?

m@ch3

[Antonium]

Vous êtes vous déjà familiarisé un peu avec des choses comme l'algèbre tensorielle? la topologie différentielle ? la géométrie affine ? les variétés riemanniennes ?

Ce sont des notions que je connais mais sans vraiment les maîtriser, il me manque pas mal de pratique. J'avance petit à petit à travers les exercices de "Spacetime and Geometry" de S.Carroll. Mais ma gourmandise me pousse parfois à sauter quelques chapitres pour aller jeter un oeil aux résultats physiques...

Vos réponses m'aident grandement à prendre un peu recul et à y voir plus clair sur toutes ces définitions très mathématiques, et encore une fois je vous en remercie !