Tenseur métrique : changement de coordonnées

[Sethy]

Bonjour à tous et à toutes,

Voilà, je suis chimiste, j'ai 49 ans et j'ai un petit souci de mathématique (enfin un gros, mais bon, on va y aller petit à petit).

J'ai posé la question dans la partie physique, j'ai eu quelques contributions qui m'ont fait voir le problème d'un point de vue plus mathématique. Raison pour laquelle je pose une question un peu différente ici.

Je pars d'un tenseur métrique, imaginons en coordonnées sphérique (rho, phi = angle par rapport à l'axe z, et theta, celui par rapport à x).




Ce qui permet de trouver la distance en réalisant l'opération suivante :



Jusque-la, est-ce correct ?

Ce que je voudrais savoir, c'est s'il existe une méthode pour transformer ce tenseur métrique dans un autre système de coordonnées.

Par exemple, en coordonnées cartésiennes. Si j'ai bien compris, on peut utiliser le Jacobien et son inverse et prendre en sandwich la métrique.

Est-ce exact ?

Si oui, je vous expose mon problème.

Imaginons qu'on ait une métrique beaucoup plus tordue, avec des termes non diagonaux (bon évidemment, elle est symétrique), ou des fonctions de rho, phi et theta. Si je prends en "sandwich", je vais avoir un mélange de coordonnées puisque les Jacobiens seront des expressions de x, y et z et la métrique des fonctions de rho, phi et theta.

J'avoue que ça me parait bizarre. Evidemment, je peux remplacer rho par racine de x^2+ ... et remplacer les deux autres (phi et theta) après coup, mais ça me parait douteux.

D'où, évidemment, mon interrogation.

D'avance merci.

Sethy
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[God's Breath]

Bonjour

Lorsque tu as un changement de coordonnées, des coordonnées vers les , tu disposes de la matrice jacobienne donc les éléments sont les , par exemple des sphériques vers les cartésiennes :



ce qui te permet d'avoir le changement de base au niveau de l'élément différentiel :



et en général : (convention de sommation d'Einstein).

Et tu peux reporter dans ton expression de la métrique.

Dans l'exemple, la matrice fournit le changement de coordonnées dans le mauvais sens. Il faut calculer la matrice inverse de la jacobienne pour avoir :



et le tenseur métrique en cartésiennes sera donné par où est la transposée de la matrice .

[Sethy]

Tout d'abord, merci pour la réponse Ca m'aide beaucoup.

Je voudrais prendre un cas pratique, très simple. Pour profiter de ton travail, je vais l'imaginer au départ en coordonnées cartésiennes. Elle n'a pas de sens, en principe, il faudrait des 1 dans les termes diagonaux, mais c'est pour illustrer mon souci.



Dans ces conditions :



Si j'applique la transposée de la jacobienne, ce qui revient à ne multiplier à nouveau que par le premier terme (identique puisqu'il est diagonal), on obtient :



Soit comme mesure de la longueur :



Ici, que fais-je ?

Je remplace x par son équivalent en coordonnées sphérique ?



Est-ce correct ?

Merci,

Sethy

[God's Breath]

Question : c'est un tenseur en coordonnées sphériques, ou en coordonnées cartésiennes ?

Remarque : Il y a des problèmes pour x négatif ou nul...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sethy]

Question : c'est un tenseur en coordonnées sphériques, ou en coordonnées cartésiennes ?

Remarque : Il y a des problèmes pour x négatif ou nul...

Oui, bien sûr, j'ai pris un exemple volontairement délirant, juste pour trainer une fonction en x dans le calcul.

Pour ce qui est des coordonnées du tenseur initial, peu importe le jeu de coordonnées. Comme tu avais pris l'exemple dans le sens cartésien vers sphérique, j'ai adapté mon exemple au tiens. Juste pour être certain que ce que je fais est bien correcte. Car le système de coordonnées que je veux utiliser in fine, est encore plus tordu.

De toute manière, je ferai "le" test en intégrant numériquement le résultat dans les deux jeux de coordonnées via un jeu de variables paramétriques (j'imagine).

[Sethy]

J'ai omis de le faire, mais merci beaucoup pour ton aide.

Sethy.