quadriques

[Bichonfrise]

Bonjour, je fais un exercice où je dois réduire les quadriques à une forme canonique à l'aide d'isométries
a) 36x2−9y2−4z2−72x+36y +24z−72=0 (hyperboloïde à 2 nappes)
b) x2 +4y2−z2 +4xy +2xz +4yz +2x+4y−2z =0 (cylindre hyperbolique)
c) 5x2 +5y2 +5z2 +2xy +2xz−2yz =1 (ellipsoïde)

b)la matrice qui correspond à la forme quadratique:
1 2 1
2 4 2
1 2 -1
je trouve le polynôme caractéristique: x³ +2x² +10x = x(x²+2x+10) il y a alors qu'une seule valeur propre et de multiplicité 1


c)
5 1 1
1 5 -1
1 -1 5

je trouve le polynôme caractéristique: 9x³ + 15x²-72x + 108 il n'y a pas de valeur propre qui soit un entier
merci d'avance
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[God's Breath]

Les matrices étant symétriques réelles, les polynômes caractéristiques doivent être scindés dans R[x].
La polynôme caractéristique est donc faux pour le b.

Un polynôme caractéristique n'a pas nécessairement de racine entière, mais il est toujours unitaire.
La polynôme caractéristique est donc faux pour le c.

[Bichonfrise]

après vérification le polynôme caractéristique de b est x(10-x^2) les valeurs absolues sont 0 10^1/2 et -10^1/2
et le polynôme caractéristique de c est x³ +15x² -72x + 108 je sais pas comment le factoriser

[God's Breath]

Après vérification, le polynôme caractéristique de b a un terme du second degré.

Pour le c, il y a une erreur sur le terme en x^3.

N'as-tu pas une calculette pour vérifier tes résultats ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

C'est encore faux : le polynome de b est -x^3+4x²+10x soit -x(x²-4x-10) dont les racines sont 0, et 2+-racine(14)

Et celui de c est -x^3+15x²-72x+108 dont les racines sont 3 et 6

[Bichonfrise]

b)
le sous espace associé à la valeur propre 0 est le sous espace formé par le vecteur (-2, 1,0)
le sous espace associé à la valeur propre 2-14^1/2 est le sous espace formé par le vecteur(1,-14^1/2 /2, 1)
le sous espace associé à la valeur propre 2+14^1/2 est le sous espace formé par le vecteur(1,14^1/2 /2, 1)
normalement les vecteurs doivent être orthogonaux entre eux puisque la matrice est symétrique mais ce n'est pas le cas ici

c)(x²)/2 + y² + z² = 1/6 j'ai mis les valeurs propres comme coefficients

[God's Breath]

Pour la valeur propre , mon esclave de calcul trouve une droite propre engendrée par .

[Bichonfrise]

j'ai refait le calcul pour 2+14^(1/2) et j'ai trouvé encore autre chose
pour calculer le sous espace propre d'une valeur propre x il faut bien calculer Ker(A-Ix)?

[God's Breath]

Oui, mais il faut encore faire les calculs correctement.

[Bichonfrise]

quand je cherche les vecteurs propres de 2+ 14^1/2
-x-x14^1/2 -2y-z=0
2x-2y-y14^1/2+2z=0
x+2y-3z-z14^1/2=0

+x+x14^1/2 +2y+z=0
2x-2y-y14^1/2+2z=0
2x+x14^1/2-4z-z14^1/2=0
la troisième ligne donne alors x=z(4+14^1/2))/(2+14^1/2)

et 2y=-z+x+x14^1/2=-z+z(4+14^1/2)/(2+14^1/2 + z(4+14^1/2)/(2+14^1/2.14^1/2
ce qui donne le vecteur (1,2,(2+14^1/2)/(4+14^1/2))

quand je cherche les vecteurs propres de 2-14^1/2
je trouve (1,2,-(2-14^1/2)/(14^1/2-4))

et pour 0, je trouve (-1,1,2)

c'est dur de pas faire d'erreurs avec tant de calculs

au c) j'ai mis les valeurs propres comme coefficients sans ordre précis j'aurais pu mettre x² + y² + z²/2 = 1/6
Est-ce qu'il y a un ordre à respecter?

[God's Breath]

Les bons calculs :



et le système pour déterminer le sous espace propre est :



Tu as des erreurs de signe dans les deux premières équations.

[Bichonfrise]

j'ai mal recopié ici mais c'était juste (1,2,(2+141/2)/(4+141/2)) = (1,2,14^1/2-3) ce que t'avais trouvé
par contre ce vecteur n'est pas orthogonal au vecteur(-1,1,2) qui correspond à la valeur propre 0
ces calculs me rendent dingue

[God's Breath]

(-1,1,2) qui correspond à la valeur propre 0

Pour la valeur propre 0, c'est (-2,1,0) qui dirige le sous-espace propre.