Équation horaire d'une bille

[Yann6898]

Bonjour,

Avant tout, j'espère que tout se passe au mieux pour vous durant cette période.

Mais si je vous écris, c'est parce que je sèche un peu sur un problème de mécanique.
Voici l'énoncé (raccourci bien évidemment):

" On laisse tomber une bille de masse m=0,7 kg d'une hauteur h=2 m, sans vitesse initiale. La force de pesanteur g sera égale à 9,81 m.s^-2.
On admet qu'il y a une force de frottement proportionnelle à la vitesse, de formule vectorielle f=-α.v, où α est un coefficient de frottement positif."

1. quelle est l'unité du coefficient α ?
2. déterminer la vitesse v(t) de la bille en faisant intervenir le paramètre T = m/α
3. Trouver l'équation horaire x(t) du mouvement.

Pour la question 1, je trouve α = kg.s^-1.
Pour la question 2, je trouve v = -f*(T/m).
Mais c'est pour la question 3 que je bloque: s'agit-il simplement de faire l'intégrale de v ?

Merci d'avance pour vos réponses, et je vous souhaite une agréable journée.
Yann
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[gts2]

Pour la question 2 votre équation est exacte mais ne répond pas à la question v(t).

Pour la question 3, oui, mais il faut avoir v(t).

[Yann6898]

Merci de votre réponse.

Ce que je ne comprends pas, c'est comment connaître alors les valeurs de α et de T (si on connait α, on connaîtra forcement T) ?

[gts2]

Le calcul demandé est littéral, il n'est pas nécessaire de connaitre .

L'intérêt de T est que cela permet d'alléger le calcul et d'obtenir v(t) sous forme classique : vu la dimension de , vous avez du remarquer que T est un temps.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Yann6898]

C'est bien ce que je pensais au début, que le calcul était sous forme littérale.

Si je comprends bien, T remplacerait en quelque sorte le t des équations horaires ?
Dans les exos types d'une bille en chute libre, on aurait v(t) = -g.t + cst.
Cependant, ici, on part de la formule du frottement pour déterminer v(t). D'où ma question: pourquoi ma formule v = -f*(T/m) n'est-elle pas juste ?

[jacknicklaus]

pourquoi ma formule v = -f*(T/m) n'est-elle pas juste ?

elle est juste mais ne dit rien d'autre que v = v, ce qu'on savait déjà. Ce que l'on veut c'est une expression de v(t). T n'a rien à voir avec le t de l'équation horaire que vous devez chercher. C'est juste un paramètre homogène à un temps, sans plus.

Ce que vous devez faire, c'est écrire le PFD avec l'accélération (dv/dt) et les 2 forces en présence dans cet exercice, dont l'une est fonction de v. Celà donne une équation différentielle élémentaire que vous devez résoudre pour obtenir v(t).

[gts2]

T est un paramètre, un temps caractéristique, une constante, alors que t est une variable.

"pourquoi ma formule v = -f*(T/m) n'est-elle pas juste"
Je n'ai pas dit qu'elle n'était pas juste, mais qu'elle ne répondait pas à la question v(t)=?.
Pour avoir v(t), il faut écrire une équation sur v(t) et la résoudre, il y a de grandes chances que cette équation soit une équation différentielle, et en mécanique l'origine des équations différentielles est usuellement ?

[Yann6898]

Je m'excuse pour les questions, je sais bien que ce problème n'est pas très difficile à résoudre, mais je viens à peine de me remettre dans les cours de mécanique pour des concours.

Je vois que le T me permet en fait de "simplifier" mon équation en "supprimant" la masse m. J'obtiens donc l'équation suivante:
g + (v/T) = (dv/dt)
La question, que vous voyez surement arriver, c'est : comment fait-on pour intégrer cela ?
J'ai essayé, et j'obtiens v = g.t + (v^2/T), mais j'ai un réel doute sur ce résultat.

Merci pour vos réponses et votre aide.

[Dynamix]

Salut

Tu ne reconnais pas la célébrissime y' = ay + b ?
Même google connais .

[Yann6898]

Salut,

Si bien sûr, mais dans mes souvenirs, pour résoudre une équation différentielle, il fallait passer les paramètres (ici v et t) de part et d'autres de l'équation.
Mais effectivement, là je pense que ce n'est peut être pas utile, et que ça doit s’arrêter à l'équation que j'ai écrite.

Merci.

[gts2]

On peut, en effet, faire comme cela (vous voulez dire séparation des variables ?) et intégrer, mais voir wikipedia

[Yann6898]

Je n'ai rien dit, je viens de voir ma bêtise dans ma réponse précédente. Je reviens vers vous pour être sûr de mon équation.
Je vous remercie pour votre aide.

[Dynamix]

il fallait passer les paramètres (ici v et t)

v et t ne sont pas des paramètres .
Passer de
g + (v(t)/T) = (dv/dt)
à
y' = ay + b
ne pose pas de problème .

[Yann6898]

Oui c'est la séparation des variables, mais je viens de comprendre comment faire...

[jacknicklaus]

g + (v/T) = (dv/dt)

non, attention au signe. physiquement l'erreur est visible car vous dites ici que plus 1/T est grand c'est à dire plus le frottement est grand, plus la vitesse augmente. Y'a comme un problème.
Tracez des axes et voyez quoi est dans quel sens.


Ensuite pour résoudre, vous pouvez tout à fait le faire comme vous le suggérez, par séparation des variables. Ca marche aussi dans ce cas. Vous aurez besoin d'une primitive de

savez vous le faire ?


Ou sinon, utiliser la méthode classique, cf message de Dynamix

[Yann6898]

Bonjour,

Effectivement je m'étais trompé dans le signe. Je n'ai malheureusement pas réussi à faire avec ma méthode (mais j'aimerais bien réussir à faire avec). En utilisant la méthode de Dynamix, j'ai obtenu l'équation suivante:

Concernant la méthode que j'envisageais de faire, savez-vous comment il faut procéder ?

[gts2]

Après une petite mise en forme , est-ce que vous pouvez réussir ?

[Yann6898]

Merci, j'ai pu réaliser le calcul avec ma méthode. Je pense que j'ai juste oublié de faire apparaître une deuxième constante (il n'y a pas que K, mais plutôt K1 et K2.

[gts2]

Il n'y a qu'une constante : vous avez une équation d'ordre 1, donc une constante d'intégration.