Énergie potentielle non linéaire

[Alex1504]

Bonjour,
je viens de remarquer une bizarrerie dans l'énergie d’interaction entre deux charges q et q’ placées respectivement en A et B
En effet, je sais que E_p pour une charge dans un champ électrique extérieur dérivant du potentiel V vaut q*V
donc ici l’E_p de la charge q vaut
qq’/(4pi*epsilon_0*AB)
Et celle de q’ vaut la même chose.
Donc l’énergie potentielle du système qui est l’énergie potentielle d'interaction devrait valoir 2*qq’/(4pi*epsilon_0*AB)
Et en fait non. Je sais que l’énergie d’interaction vaut plutôt qq’/(4pi*epsilon_0*AB).
Donc le premier raisonnement est faux... mais pourquoi?
Merci d’avance pour vos réponses
Bonne soirée
-----

[Alex1504]

Je rajoute qu’à chaque fois que je cherche l’énergie potentielle d’un dipôle électrostatique, je tombe sur
V_1*q - V_2*q (où V_1 est le champ au niveau de +q causé par -q et inversement pour V_2)...
Donc l'énergie potentielle du système à deux charge n’est pas l’énergie potentielle d’interaction qui elle vaut plutôt V_1*q ou -V_2*q. Mais alors c’est quoi l’énergie d’intéraction?

[gts2]

On revient à la source, le travail : l'énergie d'interaction correspond au travail nécessaire pour éloigner les charges, on peut le faire, par exemple, en maintenant q2 fixe et q1 mobile ; dans ce cas, vu de q1, le champ de q2 est vu comme un champ extérieur, on peut utiliser qui est donc bien l'énergie d'interaction.


Pour le dipôle : "V_1*q - V_2*q (où V_1 est le champ au niveau de +q causé par -q et inversement pour V_2)"

Non, V1 est le potentiel extérieur pas celui de q2

[Resartus]

Bonjour,
La réponse à la première question (sur le facteur 1/2) est plus fondamentale, mais parfois passée sous silence dans les cours.

Une première manière de le comprendre est de revenir à la localisation de l'énergie électrostatique. Vous avez peut-être déjà vu que la densité d'énergie électrostatique vaut 1/2.epsilon0.E^². C'est ce facteur 1/2 qu'on va retrouver dans le produit croisé, quand on additionne (vectoriellement) les deux champs en tous points.

Une autre manière de l'aborder est, par exemple, de partir d'une situation où l'une des deux charges part de l'infini. Pour la rapprocher on utilisera l'énergie
q1V2 (négative ou positive), mais la charge restée immobile, elle, ne reçoit ou ne fournit aucun travail, puisque elle ne bouge pas. Et la partie q2V1 est "perdue"

(C'est à peu près le même raisonnement que celui qui a fait apparaitre le facteur 1/2 dans l'énergie d'un condensateur :1/2CV^2

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Une autre manière de l'aborder est, par exemple, de partir d'une situation où l'une des deux charges part de l'infini. Pour la rapprocher on utilisera l'énergie
q1V2 (négative ou positive), mais la charge restée immobile, elle, ne reçoit ou ne fournit aucun travail, puisque elle ne bouge pas. Et la partie q2V1 est "perdue".

Je ne comprends pas en quoi elle est perdue, si on prenait les deux charges à l'infini et qu'on les rapprochait de manière symétrique, cela voudrait dire que 1/2 q1V2 est perdue et 1/2 q2V1 idem ?

[Resartus]

Bonjour,
Oui, mais comme q1V2=q2V1....
C'est une énergie d'interaction. Et c'est plus propre si on considère qu'elle est localisée dans les champs eux-mêmes et pas dans les particules

C'est la densité d'énergie epsilon0.E1.E2 (produit scalaire) intégrée sur tout l'espace. Et cela a l'avantage d'être symétrique en E1 et E2

[gts2]

Je suis d'accord avec "q1V2=q2V1 ... localisée dans les champs ... densité d'énergie ... symétrique en E1 et E2 ..."

Ma question était : "Je ne comprends pas en quoi elle est perdue"

[Resartus]

Bonjour,
On peut prendre l'exemple plus connu de la gravité : si deux objets tombent l'un vers l'autre, ils perdent de l'énergie potentielle, mais ils ont gagné de l'énergie cinétique. Si on était en orbite, rien ne serait perdu, puisque les ellipses nous ramèneraient au même point. Mais si les objets s'arrêtent et deviennent statiques, cette énergie cinétique est perdue en chaleur, et on a bel et bien perdu de l'énergie
Idem quand on charge un condensateur avec un générateur de tension constante. S'il n'avait pas de résistance, il y aurait une oscillation permanente des charges (pour peu qu'il y ait un peu d'inductance). Mais cela finit par s'arrêter et on aura perdu dans la résistance exactement la moitié de l'énergie (les 1/2CV^2 manquants)

Ce facteur 1/2 est inexorable...

[Alex1504]

Merci à vous deux, je comprends pourquoi il y a un facteur 1/2 et je vois aussi pourquoi l’exemple du dipôle électrostatique n’avait rien à voir.
Cependant, je me demande où le raisonnement suivant est faux:
On note V_1 le champ au niveau de q_1 causé par q_2 et inversement pour V_2.
Par définition de l’énergie d'interaction:
-d/dt(q_1*V_1)=
F_(1->2).v_2 + F_(2->1).v_1
Or F_(1->2).v_2 = -d/dt(q_2*V_2)
Et F_(2->1).v_1 = -d/dt(q_1*V_1)
Donc F_(1->2).v_2 + F_(2->1).v_1 =
-d/dt(q_1*V_1 + q_2*V_2)
Donc d/dt(q_1*V_1 + q_2*V_2) = d/dt(q_1*V_1)
Or c’est faux. Mais pourquoi?

[Alex1504]

F_(2->1).v_1 = -d/dt(q_1*V_1)

C’est absurde: ça veut dire que si v_1 est nul, alors le champ causé par q_2 au niveau de q_1 est fixe. Or si q_2 peut bouger, c’est clairement faux. Donc cette formule présuppose q_2 fixe! Or la démo de l’énergie potentielle d’une charge dans un champ extérieur ne présuppose pas le champ extérieur constant:

Et pourtant -dE_p/dt=F.v
Je ne comprends plus rien, j’ai l’impression de dire tout et son contraire

[gts2]

Si l'Ep dépend du temps, cela se complique et on évite en général !

et donc la puissance de la force n'est pas égal à la dérivée de l'énergie potentielle.

[Alex1504]

Mais oui!! Je me disais que c'était un problème de maths! Donc tout marche... Mais alors ça veut dire que l'énergie potentielle de la réunion n’est pas la somme des énergies potentielles si les énergies potentielles dépendent du temps. C’est amusant mais après tout pourquoi pas.
Merci beaucoup

[Alex1504]

En fait, le problème dans ce que je faisais était que si E est variable, définir une Ep en fonction de l’espace est impossible donc j’avais des résultats faux. Mais l’energie d’interaction, elle, a toujours un sens car elle ne dépend que des variables d’espace

[gts2]

Pour la dernière phrase, c'est ce que je m'apprêtais à vous répondre !

Donc vous avez compris le problème !