Surfaces algébriques et particules élémentaires

[AncMath]

Bonjour,
Je suis tombé hier soir sur ce papier
https://arxiv.org/pdf/1609.02816.pdf
Je suis vastement ignorant d'à peu prés n'importe quoi de non trivial qui touche à la physique, mais je me suis bien amusé à lire le papier en question, qui se propose de modeler un certain nombre de particules sur des surfaces algébriques, et lier certaines de leurs propriétés physiques à des propriétés de nature géométriques ou topologique de ces surfaces qui sont en effet très riches tout en restant très simples.

Y a t il autre chose derrière cela qu'une simple amusette, ou y a t il des travaux qui prennent cette analogie un peu sérieusement ?

Merci d'avance.
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[invitedd63ac7a]

Est-ce que l'on peut plaquer, a priori, une théorie mathématiques directement sur un domaine de la physique en espérant en tirer quelque chose ?
Le pense que les physiciens ébauchent, tant bien que mal d'abord les outils dont il ont besoin, qui apparaissent après, avoir des relations avec les théories déjà développées par les mathématiciens. N'est-ce pas ce qui s'est passé avec la théorie de la relativité générale où ont été développées des notions qui sont apparues être en relation avec des théories mathématiques étudiées à la fin du 19e en particulier par Riemann. Dit d'une autre façon : c'est aux physiciens de trouver, peut-être confusément, de nouvelles notions que les mathématiciens reconnaîtront, organiseront et conceptualiseront pour les resservir définies et aseptisée à ces même physiciens.
Par exemple la mécanique des matrices d'Heisenberg, ou les intégrales de Feynman.
Ce n'est que mon opinion.

[AncMath]

C'est pas vraiment le sens de ma question initiale.
Comme je l'ai dit, je suis assez vastement ignorant de physique, mais de ce que j'ai cru entendre, il n'est pas rare d'avoir un dictionnaire entre des objets mathématiques données et des objets physiques donnés. C'est même assez courant, il me semble par exemple que les particules élémentaires par exemple sont indexées par des représentations irréductibles de certains groupes, et les propriétés de ces représentations se "lisent" ensuite sur la particule par ses propriétés physiques.

J'imagine que ça n'est pas exactement ça, mais c'en est mon impression impressionniste disons.

Du coup je me demandais si cet dictionnaire dont parle Atyiah est quelque chose qui est relativement sérieux ou non.

J'ignore ce que sont des hadrons, des leptons ou des muons, je les imagine un peu comme des représentations de SU(beaucoup)xO(un peu moins) qui se factorisent à travers PGL(V) où V est un gros espace de Hilbert, mon cerveau aurait moins de mal à les imaginer comme des surfaces K3 ou bielliptique. ^^

[Antonium]

Cela me fait penser aux classifications des hadrons sur des graphes Isospin - Hypercharge.
La physique des particules élémentaires se laisse très bien décrire par des considérations de symétries. C'est en faisant ces graphes pour des particules connues et en voulant les compléter en cherchant les "particules manquantes" pour satisfaire la symétrie que de nombreuses nouvelles particules ont été découvertes.
L'histoire de la physique des particules est vraiment intéressante, mais je trouve qu'il faut déjà bien connaître la théorie pour vraiment apprécier son histoire.

Tout ça pour dire que la physique des particules est aujourd'hui fondamentalement basée sur la théorie des groupes abstraits. On peut trouver plein de représentations différentes de ces groupes, et je pense que ces surfaces en sont une.

[A voir en vidéo sur Futura]

[AncMath]

Non, pas vraiment.

En fait les groupes d'automorphismes des surfaces sont en general "petit" par exemple une surface de type général, c'est à dire de dimension de Kodaira 2, a toujours un groupe d'automorphisme fini, c'est aussi le cas pour une surface K3 générique, donc ces surfaces capturent tres mal les "gros" groupes dont les particules sont des représentations (de dimension >0, alors que ces groupes sont de dimension nulle).

Enfin je ne dis pas qu'il n'y a absolument aucun lien, mais typiquement ce sont des objets différents.

[jacquolintégrateur]

Bonjour
L'idée d'étendre la "rationalisation numérique" de la nomenclature des briques constituant la matière, commencée avec le tableau de Mandélev, ne date pas d'hier: ainsi, Platon n'avait-il pas déjà associé chacun des polyèdres réguliers de la géométrie élémentaire avec les 4 éléments d'Aristote! Plus près, la tentative de Maxwell, pour élaborer une théorie tourbillonnaire des charges électriques, participe de la même motivation. Puis cela continue avec la théorie de la matière de Mie, bientôt suivie par l'électrodynamique non linéaire de Max Born et, enfin, dans le sillage de la Relativité Générale, par les tentatives d'Einstein, H. Weyl, Eddington, Kaluza... I.Schrödinger, pour édifier une "Théorie du Champ Unifié" qui eut réuni, dans une vaste synthèse, la description des champs électromagnétique et gravitationnel, tout en incluant, dans les équations des champs, la description des sources de ces champs. Sans oublier la "dualité" onde particule de la mécanique quantique, laquelle ne tarda pas à réclamer l'intégration, aux ondes, rattachées aux champs, des particules considérées également comme des singularités. Aucune de ces tentatives n'a réussi, jusqu'à présent à parvenir au Point final d'un mémoire complet et validé par l'expérience. Il en faut plus pour décourager les physiciens! La recherche de La Théorie du Tout (S.Weinberg) continue de plus belle avec la théorie des Cordes, sans oublier la "Super Symétrie", qui cherche, elle, à unifier la description des particules de Spin entier et semi-entier, dans la pure tradition de l'unification des champs avec leurs sources!! Mais, au fait, la structure de l'Univers est elle conforme à l'unification ????
Cordialement

[0577]

Bonjour,

Tout d'abord, l'article ne concerne pas les particules élémentaires mais les noyaux atomiques.

L'article suggère une analogie entre deux questions:

1) Quand existe-t-il un noyau atomique stable avec nombres de protons et de neutrons donnés?

2) Quand existe-t-il une surface projective complexe avec invariants topologiques (caractéristique d'Euler et signature) donnés?

Il y a au moins trois objections à prendre cette analogie au sérieux:

*) Il ne s'agit pas réellement d'un modèle des noyaux atomiques. A part la question qualitative 1) de stabilité, cette analogie ne propose aucune réponse aux questions physiques quantitatives naturelles concernant les noyaux atomiques (énergie de liaison? spin? spectre des états excités? ...)

**) Il n'existe pour l'instant aucun lien (physique ou mathématique) entre la physique connue et établie des noyaux atomiques et les surfaces algébriques qui justifierait une comparaison entre 1) et 2) (et l'article ne contient aucune suggestion utile dans cette direction).

***) Aucune correspondance précise entre 1) et 2) n'est démontrée: seulement certaines propriétés qualitatives des ensembles de solutions aux questions 1) et 2) sont comparées. Autrement dit, il n'est pas clair qu'il y a plus d'évidences en faveur d'une analogie entre 1) et 2) qu'entre deux problèmes de classifications pris au hasard en physique ou mathématique.

[azizovsky]

Il y'a des mathématiciens qui s'y sont aventuré comme Jean-Marie Souriau, par exemple :
http://www.numdam.org/article/AIHPA_1967__6_4_311_0.pdf
http://www.numdam.org/article/AIHPA_...20_4_315_0.pdf
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[AncMath]

Il y a au moins trois objections à prendre cette analogie au sérieux:

*) Il ne s'agit pas réellement d'un modèle des noyaux atomiques. A part la question qualitative 1) de stabilité, cette analogie ne propose aucune réponse aux questions physiques quantitatives naturelles concernant les noyaux atomiques (énergie de liaison? spin? spectre des états excités? ...)

**) Il n'existe pour l'instant aucun lien (physique ou mathématique) entre la physique connue et établie des noyaux atomiques et les surfaces algébriques qui justifierait une comparaison entre 1) et 2) (et l'article ne contient aucune suggestion utile dans cette direction).

***) Aucune correspondance précise entre 1) et 2) n'est démontrée: seulement certaines propriétés qualitatives des ensembles de solutions aux questions 1) et 2) sont comparées. Autrement dit, il n'est pas clair qu'il y a plus d'évidences en faveur d'une analogie entre 1) et 2) qu'entre deux problèmes de classifications pris au hasard en physique ou mathématique.

D'accord, je vois, merci pour ta réponse (et tes rectifications).
Donc rien de plus qu'une amusette finalement.