Théorème de la valeur finale

[Alex1504]

Bonjour à tous,
Je viens de remarquer une curiosité dans mon cours d’automatique. Je sais que le théorème de la valeur finale (qui nous dit que la limite de pF(p) tend quand p tend vers 0 vers la limite en l’infini de f(t) (où F est la transformée de Laplace de f))
n’est vrai que si je sais déjà que f a une limite en l’infini. Donc si f est la sortie d’un système linéaire représenté par la fonction de transfert H soumis à un échelon, alors il faut s’assurer de la stabilité de la fonction de transfert.
J’en viens maintenant à mon problème: si je cherche la précision d’un système stable (en réponse à un échelon) constitué d’une boucle fermée, je vais m’intéresser à la valeur finale de la sortie du comparateur et non de la sortie du système. Pour cela j’utilise le théorème de la valeur finale. Toutefois, je ne sais pas que la valeur en sortie de comparateur converge. Je sais juste que celle en sortie du système complet converge car le système est stable. Ainsi, il semble caduque de considérer la valeur finale en sortie de comparateur s’il y a possible divergence (si ça oscille, ça n’a même pas de sens). Et pourtant on le fait partout dans mon cours comme si la stabilité du système garantissait la convergence de la sortie du comparateur. Mais est-ce bien le cas? Et si oui existe-t-il une démo à mon niveau?
Merci d’avance pour vos réponses et à bientôt.
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[gts2]

Bonjour,

Si vous avez une boucle classique, le retour est du type gain avec filtrage éventuel, mais stable, donc si la sortie du système complet a une limite en t infini, il en sera de même de l'entrée inverseuse du comparateur, et comme l'entrée non inverseuse est une constante, la sortie du comparateur aura bien une limite.

[Alex1504]

Effectivement, je pensais à un bouclage de retour plus compliqué. Mais après tout si on a une grosse fonction de transfert de retour, parler de précision en comparant la consigne avec une grandeur de retour très différente de celle de sortie ne fait pas sens.
Et puis aussi je remarque que mon professeur est assez peu attentif à l'hypothèse de convergence du théorème de la valeur finale. Par exemple il écrit , ce qui est faux dans le cadre général (j’ai bien vérifié, il n’y a aucune mise en garde plus haut dans la feuille)
Mais en fait c’est vrai si l’entrée est en
e_p/p^k

[gts2]

Si on part dans cette direction, l'étude de la stabilité de l'écart est celui de , donc dépend des zéros de D1D2+N1N2.
Alors que l'étude de la stabilité de la sortie est celui de , donc des zéros de D1(D1D2+N1N2).
Donc les zéros de la fonction relative à l'écart est un sous ensemble des zéros de la fonction du système. Si la sortie converge, l'écart aussi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alex1504]

Effectivement, ça marche bien. Je comprends mieux pourquoi on vérifie la stabilité du système avant de regarder sa précision: la première autorisant le théorème de la valeur finale.
Merci beaucoup

[stefjm]

Regardez ce que donne 1/(p^2+1).
S'il y a une valeur finale, elle vaut 1 (p=0), mais c'est un joli sinus...

[gts2]

Mais c'est instable (enfin à la limite), donc pas de problème.

[stefjm]

J'ai calculé de travers, la limite donne 0.
Ca donne quand même la valeur moyenne de l'oscillation.