Mécanique newtonienne, mécanique analytique et théorie classique des champs

[invite08f82f08]

Bonjour,

J'aimerais comprendre les différences entre les parties de la physique citées dans le titre.
Si j'ai bien compris la mécanique analytique est une branche de la mécanique newtonienne mais qui l'exprime dans un autre langage et la théorie classique des champs généralise la mécanique analytique.

Merci de vos précisions,
Cordialement,
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[Antonium]

Bonjour,

la mécanique analytique est une reformulation "plus mathématisée" de la mécanique Newtonienne. Le point de départ ne sont plus les lois de Newton, mais plutôt ce qu'on appelle le principe de moindre action. On y gagne rien au niveau des prédictions, les équations du mouvement seront les mêmes qu'avec Newton. En revanche, certaines grandeurs comme des quantités conservées sont plus faciles à trouver en utilisant la mécanique analytique. C'est aussi cette dernière que l'on utilise pour déduire une théorie quantique à partir d'une théorie classique.

La théorie classique des champs est une généralisation de la mécanique analytique dans le sens où les grandeurs dynamiques que l'on considère ne sont plus des particules avec des coordonnées mais un ensemble de champs définis sur tout l'espace. Le principe fondamental sous jacent reste le principe de moindre action.

Ce formalisme est pratique pour énoncer de manière très concise une théorie physique. On peut par exemple définir un scalaire (le lagrangien) et appliquer le principe de moindre action à celui-ci pour retrouver la moitié des équations de Maxwell (l'autre moitié venant de propriétés géométriques de l'espace-temps). On a ainsi un seul scalaire définit sur un certain espace qui contient toute l'électrodynamique !

[invite08f82f08]

Bonjour,

la mécanique analytique est une reformulation "plus mathématisée" de la mécanique Newtonienne. Le point de départ ne sont plus les lois de Newton, mais plutôt ce qu'on appelle le principe de moindre action. On y gagne rien au niveau des prédictions, les équations du mouvement seront les mêmes qu'avec Newton. En revanche, certaines grandeurs comme des quantités conservées sont plus faciles à trouver en utilisant la mécanique analytique. C'est aussi cette dernière que l'on utilise pour déduire une théorie quantique à partir d'une théorie classique.

La théorie classique des champs est une généralisation de la mécanique analytique dans le sens où les grandeurs dynamiques que l'on considère ne sont plus des particules avec des coordonnées mais un ensemble de champs définis sur tout l'espace. Le principe fondamental sous jacent reste le principe de moindre action.

Ce formalisme est pratique pour énoncer de manière très concise une théorie physique. On peut par exemple définir un scalaire (le lagrangien) et appliquer le principe de moindre action à celui-ci pour retrouver la moitié des équations de Maxwell (l'autre moitié venant de propriétés géométriques de l'espace-temps). On a ainsi un seul scalaire définit sur un certain espace qui contient toute l'électrodynamique !

Ok merci,ca m'a l'air très clair.

Du point de vue uniquement mathématiques, quelle est la différence entre théorique classique et quantique des champs ?

[Antonium]

Pour la théorie quantique des champs je ne connais pas assez donc je ne suis pas vraiment à même de vous répondre.

En attendant que quelqu'un de plus compétent puisse venir compléter, je dirai que la différence principale (en tout cas entre physique classique et quantique) vient de l'analyse fonctionnelle nécessaire en quantique pour parler d'espaces de Hilbert. On dit que l'état d'un système est un vecteur dans cet espace (qui souvent est un espace de fonctions de dimension infinie), et les observables sont des opérateurs (au mieux bornés) agissant sur cet espace.

On passe notre temps à diagonaliser ces opérateurs, ce qui se définit mathématiquement par trouver l'unique mesure spectrale définie sur une sigma algèbre borélienne vérifiant certaines propriétés comme où est un opérateur. L'intégrale est bien sûr à prendre au sens de Lebesgue puisqu'on parle de mesure sur des opérateurs. Donc des maths quand même plus "méchantes" (et surtout plus intéressantes !) que les équations différentielles du second ordre et les vecteurs de de la mécanique newtonienne !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite08f82f08]

Pour la théorie quantique des champs je ne connais pas assez donc je ne suis pas vraiment à même de vous répondre.

En attendant que quelqu'un de plus compétent puisse venir compléter, je dirai que la différence principale (en tout cas entre physique classique et quantique) vient de l'analyse fonctionnelle nécessaire en quantique pour parler d'espaces de Hilbert. On dit que l'état d'un système est un vecteur dans cet espace (qui souvent est un espace de fonctions de dimension infinie), et les observables sont des opérateurs (au mieux bornés) agissant sur cet espace.

On passe notre temps à diagonaliser ces opérateurs, ce qui se définit mathématiquement par trouver l'unique mesure spectrale définie sur une sigma algèbre borélienne vérifiant certaines propriétés comme où est un opérateur. L'intégrale est bien sûr à prendre au sens de Lebesgue puisqu'on parle de mesure sur des opérateurs. Donc des maths quand même plus "méchantes" (et surtout plus intéressantes !) que les équations différentielles du second ordre et les vecteurs de de la mécanique newtonienne !

Ok, tu aurais une référénce (en français) à me conseiller sur la théorie classique des champs et la MA (livre ou internet) ?

[Antonium]

Je ne consulte que de la littérature en anglais, mais certains sont traduits (je crois) :
- Mécanique Classique de Goldstein (https://www.amazon.fr/M%C3%A9canique.../dp/2130410251) ouvrage très complet. Il développe une bonne partie de la mécanique analytique depuis le début et traite aussi la théorie classique des champs à la fin du livre.
- Les premiers chapitres de "Principles of Quantum Mechanics" de Shankar, moins complet, moins rigoureux mais plus concis pour une première approche (par contre je ne crois pas qu'il existe en français)
- La théorie classique des champs est également énoncée de manière très résumée au début de nombreux ouvrages d'introduction à la relativité générale ou la théorie quantique des champs. Je recommande "Spacetime and Geometry" de Sean Carroll, mais à nouveau je ne crois pas qu'il existe de version française.

J'espère que d'autres viendront ajouter leurs recommandations, je manque encore de recul pour avoir une vue plus globale de la littérature scientifique.

[invite08f82f08]

Ok cool merci !

[Deedee81]

Bonjour,

Du point de vue uniquement mathématiques, quelle est la différence entre théorique classique et quantique des champs ?

C'est avant tout une théorie quantique, c'est-à-dire ayant pour base la mécanique quantique. Cette dernière part de postulats fort différents de la physique classique.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Postul...ique_quantique

Elle est adaptée au monde microscopique (bien qu'il en existe des manifestations macroscopiques comme la supraconductivité par exemple). C'est une théorie difficile.
https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_quantique

Et il existe bien sûr divers outils faisant le lien entre physique classique et quantique :
https://en.wikipedia.org/wiki/Quantization_(physics)
(désolé l'article en français est plus petit que la chaussure de Cendrillon)

Et la méthode peut s'appliquer aux phénomènes physiques représentés par des champs.... ce qui est encore plus complexe... et particulièrement vaste
https://fr.wikipedia.org/wiki/Seconde_quantification
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...que_des_champs