Puissance élongation

[Alex1504]

Bonjour,
Je n’ai pas l’habitude de travailler sur des objets déformables, mais en travaillant sur le sujet de polytechnique 2014 MP (partie 3, sujets dispo un peu partout sur le net mais il n’est pas nécessaire de l’avoir lu pour comprendre mon interrogation), je suis confronté à des cordes vibrantes capables de se déformer selon x et y (modèle en 2D). Et là on me demande de donner une expression de l'énergie potentielle (question 23) liée à la tension et à la déformation de la corde. Pour cela il me faut le travail intérieur de la tension sur toute la corde. Le sujet prend l’hypothèse que T: tension de la droite sur la gauche est de norme constante sur toute la corde.
Le corrigé que j’ai trouvé indique qu’entre x et x+dx et t+dt le travail élémentaire de la tension vaut T*déformation_élémentaire (déformation élémentaire valant
(dx*y’^2)/2 mais de toute façon cette valeur n’est pas très importante pour la suite) puis intègre l’expression sur toute la corde. Mais je ne comprends pas d’où cela (delta_W= T*déformation_élémentaire) sort...
en effet, je démontre assez rapidement que Puissance_elementaire vaut:
T(v(x+dx)-v(x)) où vecteur_vitesse=v(x)u(x)
Où u(x)vecteur unitaire tangent à la corde en x.
Mais après, j’obtiens des calculs incompréhensibles, et je n’arrive pas à me ramener à l’expression attendue.
Pouvez-vous m’aider s’il vous plaît?
À bientôt.
-----

[gts2]

Bonjour,

La relation "travail élémentaire de la tension vaut T*déformation_élémentaire" est la définition du travail d'une force (tension) dont le point d'application se déplace de (déformation).

Je démontre assez rapidement que Puissance_elementaire vaut T(v(x+dx)-v(x)) où vecteur_vitesse=v(x)u(x) : c'est plutôt
T est constant en norme et là on a affaire à un produit scalaire.

[Alex1504]

Effectivement, j’ai bien la dernière égalité vectorielle que vous écrivez. Mais je ne vois pas le rapport avec l’expression
Travail_elementaire=Déformatio n_locale*T sachant que la corde est libre de bouger en 2D selon x et y.

[gts2]

Il faudrait préciser le problème : pour une corde la tension est tangente à la corde, donc le déplacement et la tension sont parallèles et le produit scalaire donne T dl.
C'est la définition même du travail.
Ce qui vous pose peut-être problème est le calcul de la "déformation locale", est-ce bien cela ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alex1504]

Oui c’est cela: comment passer de Tdl à T*deformation_locale

[gts2]

On a découpé la corde en "petits" morceaux, ce petit morceau voit sa longueur varier de dl, qui est bien la variation locale de longueur de la corde, donc dl=deformation_locale.
Pour se rapprocher de votre calcul de puissance, en appelant A le côté gauche et B le côté droit, on peut écrire , avec s les abscisses curvilignes.

[gts2]

Je suis reparti de votre calcul (Tv)(x+dx)-(Tv)(x), en tenant que ce n'est pas T mais Ty, puisque la vitesse est selon y.
On obtient
On peut réécrire le premier terme grâce à l'équation de propagation qui est la dérivée de l'énergie cinétique, le deuxième est donc la dérivée de l'Ep.

[Alex1504]

Je comprends l’idée de ce que vous écrivez (je visualise ce que signifient les équations) mais subsistent 3 interrogations:
-comment passer de T.dl(x+dx)-T.dl(x) à l’expression avec les abscisses curvilignes de façon un peu rigoureuse (en gros sans dire «*ça se voit*»)?
-Le sujet indique pour simplifier que les déplacements de la corde sont uniquement transverses. Or ça contredit T et v de même direction (v est alors uniquement transverse). Par ailleurs cette hypothèse est assez peu réaliste car prise au pied de la lettre elle interdit les déformations... alors que doit-on en penser?
-On confond facilement le dl déplacement élémentaire le long de la corde à l’abscisse x et le dl déplacement du point d’abscisse x entre t et t+dt alors qu’ils n’ont pas grand chose à voir: le premier est tangent à la corde et l’autre est transverse (cf hypothèse simplificatrice et précédente interrogation). Faudrait-il les nommer différemment?

[gts2]

comment passer de T.dl(x+dx)-T.dl(x) à l’expression avec les abscisses curvilignes de façon un peu rigoureuse (en gros sans dire «*ça se voit*»)?

Si dl désigne l'allongement de la corde, dl(x+dx) n'a pas grand sens, dl est l'allongement du bout de corde entre x et x+dx, dl ne peut être défini en un point.

Le sujet indique pour simplifier que les déplacements de la corde sont uniquement transverses. Or ça contredit T et v de même direction (v est alors uniquement transverse). Par ailleurs cette hypothèse est assez peu réaliste car prise au pied de la lettre elle interdit les déformations... alors que doit-on en penser ?

T et v ne sont pas de même direction : à l'ordre 0 v est verticale et T horizontale. A l'ordre 1, on tient compte de l'inclinaison de la corde, ce qui donne une (faible) composante verticale à T.
L'approximation est une approximation d'ordre 1 (pratique pour avoir des équations linéaires), le mouvement en x est d'ordre 2 : prenez une tige horizontale (axe x) que vous faites tourner légèrement autour de son extrémité (angle \theta), le déplacement de l'autre extrémité en y est en et en x de

On confond facilement le dl déplacement élémentaire le long de la corde à l’abscisse x et le dl déplacement du point d’abscisse x entre t et t+dt alors qu’ils n’ont pas grand chose à voir: le premier est tangent à la corde et l’autre est transverse (cf hypothèse simplificatrice et précédente interrogation). Faudrait-il les nommer différemment?

Oui, c'est ce que l'on fait le déplacement transverse est dy.

[Alex1504]

Merci beaucoup, ça m’éclaire. En relisant plus attentivement le sujet je me suis rendu compte qu’ils faisaient une séparation entre l'énergie potentielle élastique due à la déformation (en considérant la corde comme un ressort plan qu’on étire pour que chaque élément de corde fasse la bonne longueur à l’instant voulu) et l'énergie Potentielle de courbure (où cette fois-ci on suppose que le plan médian de la corde (qui a une épaisseur non nulle) est non étiré et que les différentes tranches d'épaisseur «*du*» de la corde sont des petits ressorts de constante de raideur donnée plus ou moins étiré en fonction de la distance au plan médian et de la courbure locale de la corde)image.jpg
image.jpg
Désormais je m’en sors pour les calculs. Je veux juste m’assurer que j’ai les bons arguments.
Question 23):
Pour un micro-ressort entre x et x+dx, la force de rappel dont dérive l'énergie potentielle est celle qui fait revenir chaque extrémité du micro-ressort vers la position non déformée d’ou une énergie potentielle microscopique en déformation_locale*T (actions réciproques pour connaître la force de rappel élastique)
Questions 24) et 25): tout va bien.
Question 26)
Trois forces:
-forces intérieures de rappel élastique du a l’étirement; elles sont associées à l’E_p calculée en 23)
-forces intérieures qui «*luttent contre la courbure*» associées à l’E_p de le question 25)
-Force extérieure de tension appliquée en x=0 et x=L. Or en ces deux points la corde est fixe: aucune puissance.
Donc conservation de l’énergie mécanique qui donne le résultat.
Mais est-ce juste? Merci d’avance pour vos réponses, à bientôt.

[gts2]

Bonjour,

Je réponds avec retard (ce n'est plus vraiment une corde...)

Vos justifications me paraissent tenir la route.

[Alex1504]

J’allais oublier: merci pour vos réponses!