Théorie de relativité générale comme théorie de Jauge.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Comment démontre-t-on que la théorie de relativité générale est une théorie de Jauge de groupe d'invariance locale, le sous groupe de Lorentz ?
Quelle est la démarche à suivre pour établir ça ?

Merci d'avance.
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[Deedee81]

Salut,

Je ne connais pas le contexte et d'autres auront peut-être des explications plus précises mais a priori je dirais qu'on ne le démontre pas.
On a deux choses :
- expérimentalement on sait que au moins localement la relativité restreinte est valide
- le principe d'équivalence implique qu'il doit exister un systèmes de coordonnées tel que dans le voisinage (infinitésimal) d'un point (événement) donné les effets de la gravité (locaux ! Faut exclure les forces de marées) s'annulent
Et donc que localement la RR s'applique (dans les référentiels en chute libre).
Et donc on postule (sur base expérimentale) que localement la symétrie est celle de Lorentz (en fait même Poincaré), dans l'espace tangent en tout point (un espace de Minkowski). Et de là, tout l'outillage de la géométrie différentielle : variétés, géodésiques, etc....

[0577]

Bonjour,

Il faudrait préciser la signification de "théorie de jauge". Différentes personnes emploient le terme "théorie de jauge" dans des sens différents, plus ou moins restrictifs. De plus, la propriété d'être une "théorie de jauge" est plus une propriété d'une formulation d'une théorie que de la théorie elle-même. Il faudrait donc préciser la formulation de la relativité générale sur laquelle porte la question. Apporter ces précisions est probablement déjà une grande partie de la réponse.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Merci à vous deux pour vos réponses @Deedee81 et @0571.

Pour @0571, et pour @Deedee81 aussi,

Par, relativité générale qui est une théorie de Jauge, j'entends, que pour le groupe de Lorentz ( caractérisant la théorie de relativité générale des autres théories ), c'est un groupe de Lie, pour lequel il existe une théorie de Jauge qui est la donnée d'un espace fibré dont la fibre est isomorphe à ce groupe de Lorentz, et la donnée d'une connexion sur ce fibré notée , de sorte que la courbure, fournit un Lagrangien qui d'après le théorème de Noether ou de moindre carré ( mes souvenirs sont un petit peu lointain pour espérer entrer dans les détails ), fournit un système d'équations ou une loi ( de relativité générale en tant que théorie de Jauge ) qui est invariante par ce groupe de Lie, qui est le sous groupe de Lorentz. Alors, comment mener ce calcul jusqu'au bout ?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Houlà, on vient de grimper quelques étages dans la complexité. C'est vrai qu'on peut formuler avec ça. Mais je ne vois guère ce qu'on est sensé calculer ou ce que je pourrais dire de plus que dans le message 2. Peut-être que 0571 verra mieux que moi ce que tu attends comme explication, je ne vais pas renvoyer vers des références en géométrie différentielle, ce serait sans doute utile mais pas assez ciblé.

[Morrslieb]

Bonjour,

D’abord, il faut comprendre qu’il n’y a pas de correspondance une à une entre les théories de jauge des symétries internes et la théorie de jauge de la gravitation. Dans le premier cas, la théorie est juste basé sur des fibrés principaux (associés) “banals”, dans le sens que l’espace de base (l’espace-temps) est fixé. Mais dans le deuxième cas, l’espace de base est lui-même un fibré principal, à savoir les difféomorphismes (espaces tangents) de l’espace-temps. Un tel fibré est appelé “fibré naturel”. Voir l’article sur Wiki:

https://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_gravitation_theory

Ensuite, je ne suis pas sûr si on puisse vraiment dire que la relativité générale elle-même est une théorie de jauge. La théorie de jauge de la gravitation est une théorie de la gravitation, tout comme la relativité générale est une théorie de la gravitation, mais je ne pense pas que l’une soit vraiment juste une reformulation de l’autre.

[invite84967875]

Ensuite, je ne suis pas sûr si on puisse vraiment dire que la relativité générale elle-même est une théorie de jauge. La théorie de jauge de la gravitation est une théorie de la gravitation, tout comme la relativité générale est une théorie de la gravitation, mais je ne pense pas que l’une soit vraiment juste une reformulation de l’autre.

Bonjour,
J'ai eu la même réflexion, puis le "j'entends (et la suite)" du message #4 m'a fait ne pas poster pour l'exprimer. 0577 ( et non 0571...) fait une juste demande, sinon de manière générale suffit de poser la question des tétrades pour voir que la 'théorie de jauge" est loin d'être immédiate.

[Deedee81]

J'avais fait l'exercice il y a une éternité de formuler la RG en partant de la RR et par les techniques de jauge locale. Et obtient presque la théorie mais.... pas tout à fait !!!!

[Anonyme007]

Re-bonjour,

Merci beaucoup à vous trois pour ces précisions. Si j'aurais d'autres questions à ce sujet, je viendrais vous les soumettre.

1 - Si on bifurque un petit peu à la mécanique quantique, est ce qu'on peut voir la mécanique quantique comme étant une théorie quantique des champs ?
Est ce qu'on peut voir en général, toute théorie quantique des champs une théorie duale à une théorie de Jauge qui lui correspond, dans le sens, où il existe une transformation naturelle entre deux foncteurs : l'un celui qui associe à toute algèbre commutatif une variété différentielle, et que ce foncteur est juste un endroit où on peut se placer pour faire de la relativité générale, et le deuxième foncteur qui pour tout algèbre non commutatif d'algèbres d'opérateurs on associe un espace de Hilbert, et que ce foncteur est l'endroit qu'on suppose idéale pour pratiquer la mécanique quantique. Bien sûr vous pouvez adapter cette construction de transformation naturelle dans le sens qui vous convient afin de mettre en place une sorte de dualité ou une miroir entre les deux mondes : RG et MQ.

2 - Pourquoi, une théorie quantique des champs n'a pas
- un champs de Jauge ''quantique''.
- Un groupe d'invariance locale de Jauge ''quantique''
- Des équations à déduire à partir de ce Lagrangien ''quantique'', invariantes par le groupe de Jauge quantique
comme en théories des Jauges, malgré qu'une théorie quantique des champs et une théorie de Jauge lui correspondant sont duales l'une par rapport à l'autre, c'est à dire, qui sont plus au moins semblables l'une par rapport à l'autre, surtout qu'on voit par exemple, qu'il y'a le Lagrangien qui est facile à obtenir à partir d'un Hamiltonien lorsqu'on lui applique une transformation de Legendre, par exemple ... ou par tout autre moyen visant à voir une théorie quantique des champs une théorie de Jauge ''quantique''.

Merci d'avance.

[Morrslieb]

Sur le web, j’ai trouvé le livre intitulé “Geometry, Topology and physics” de Nakahara. A partir de la page 390, on explique un peu comment on peut formuler la relativité générale en termes de fibrés. Donc, si on entend par “théorie de jauge” simplement “théorie des fibrés”, alors je suppose qu’on puisse dire que la relativité générale peut être décrite en termes de théorie de jauge (mais encore une fois, grosse différence avec les théories de jauge du modèle standard). Et je ne suis pas sûr avec le lien avec l’article de Wiki que j’ai donnée précédemment.
Concernant le lagrangian mentionné par Anonyme007, il s’agit probablement du Einstein-Hilbert lagrangian. C’est décrit à partir de la page 318 du livre mentionné en haut.

[jacquolintégrateur]

Bonjour
Les concepts de "Jauge", "vecteur de jauge", "invariance de jauge", "changement de jauge", ont été introduits par Hermann Weyl, vers 1913, lors de la formulation de la Relativité Générale, mais après la publication du travail d'Einstein, dans lequel il n'est pas question de ces notions. H. Weyl avait, pour objectif, une extension de la RG présentée comme une théorie Unifiée de la Gravitation et de l'Electromagnétisme (voire: Temps, Espace, Matière. Leçons sur la Relativité Générale. Paris .ED. Albert Blanchard 1922.) Pour étendre, à l'Electromagnétisme, la représentation géométrique de la gravitation adoptée en RG, H. Weyl ajoute, au tenseur métrique de Riemann, un "vecteur de jauge" qui définit la manière dont l'étalon de mesure des longueurs se modifie lorsqu'on passe d'un point à un autre infiniment voisin. Ce vecteur de jauge entraîne l'adjonction, à la connexion affine, de termes contenant le vecteur de jauge. Il donne une formulation lagrangienne aux équations classiques de la RG, auxquelles s'ajoutent, alors, des équations formellement quasi identiques aux équations de Maxwell. Les termes supplémentaires, dans la connexion affine, introduisent une modification du Tenseur de Courbure, d'où résulte, lors du déplacement parallèle infiniment petit d'un vecteur, une affinité qui se superpose à la rotation habituelle. Une conséquence est que, dans la théorie Unifiée de H W, les dimensions d'un objet dépendraient en générale de son histoire !! Pour cette raison, Einstein, d'abord enthousiaste, a ensuite réfuté la théorie parce qu'elle contredisait l'expérience qui témoignait d'une constance des propriétés des spectres atomiques. Par la suite, les développements fructueux de la Mécanique Quantique, et leurs succès extraordinaires ont peu à peu fait oublier la tentative d'unification gravitation- Electromagnétisme amorcée par Hermann Weyl. Seuls les concepts de Théorie de Jauge ont persisté avec le succes que l'on connait.
Cordialement.

[Morrslieb]

Re-bonjour,

En fait, j’ai pas trop pigé le message 9 de Anonyme007. Il y a bien les champs classiques et les champs quantiques, et cela reste vrai pour les champs de jauge. Idem pour le lagrangian. Pas pigé le truc sur les foncteurs non plus.
En ce qui concerne la mécanique quantique, elle décrit l’évolution d’une particule, tandis que la théorie quantique des champs est une généralisation à plusieurs particules.

[Deedee81]

En fait, j’ai pas trop pigé le message 9 de Anonyme007. Il y a bien les champs classiques et les champs quantiques, et cela reste vrai pour les champs de jauge. Idem pour le lagrangian. Pas pigé le truc sur les foncteurs non plus.

Moi non plus.
Rappelons d'ailleurs que les foncteurs sont liés à la théorie des catégories qui n'est pas du tout utilisé ici (c'est à peine si j'ai vu une démonstration, assez pointue, de Cones sur les algèbres de Von Neumann qui utilisait ça, et c'est vraiment assez éloigné du sujet)

anonyme007 d'habitude tes questions sont plus claires.

[Anonyme007]

Re-bonjour,

En fait, j’ai pas trop pigé le message 9 de Anonyme007. Il y a bien les champs classiques et les champs quantiques, et cela reste vrai pour les champs de jauge. Idem pour le lagrangian. Pas pigé le truc sur les foncteurs non plus.

Moi non plus.
Rappelons d'ailleurs que les foncteurs sont liés à la théorie des catégories qui n'est pas du tout utilisé ici
anonyme007 d'habitude tes questions sont plus claires.

Oui. D'accord. Alors, je développe un petit peu.

- Donc, d'après vous, il y'a des champs de Jauge quantique, il y'a aussi la notion de Lagrangien quantique. Que donne-t-il alors ce Lagrangien, comme équations d'Euler Lagrange après avoir appliquer le théorème des moindres actions ? Et par quel type de groupe d'invariance de Jauge locale quantique sont-telles invariantes. Je soupçonne que la notion de groupe d'invariance locale existe en théorie de mécanique quantique en particulier, et en théorie quantique des champs en général, que je n'ai jamais vu jusqu'à maintenant.

- En ce qui concerne l'utilisation des foncteurs, et du langage des catégories à ce sujet qui combine les deux théories : RG et MQ, en une seule théorie, il est bien connu en mathématiques, que pour unifier deux théories mathématiques, on procède par s'assurer si leur topos ou catégories associés sont équivalentes ou non. Pour vous donner un exemple, la géométrie différentielle s'identifie en partie à l'algèbre commutative comme deux théories à part entière, parce que, la catégorie des variétés différentielles se plongent dans la catégories des algèbres commutatifs.
Pour unifier deux théories, y compris deux théories physiques, il est indéniable d'utiliser à ce propos le langage des catégories. Par exemple, la correspondance AdS/QFT est une présuooposé unification entre deux mondes ou théories physiques non encore établie jusqu'à maintenant. La dualité de Isbell en physique est un autre exemple d'unification de théories distinctes en physique, reposant sur l'utilisation d'outils relevant du langage des catégories.
Bref, unifier la RG et la MQ, signifie ce que j'ai expliqué plus haut, de voir si on peut construire une transformation naturelle entre ces deux foncteurs que j'ai décrit plus haut.
Est ce faisable ?

Merci d'avance.

[ThM55]

Bonsoir à tous. C'est une question très intéressante. Mais il faut tout de même réaliser que la quantification des théories de jauge (qui sont définies d'abord sur des champs classiques et ensuite seulement promues en opérateurs quantiques) n'est pas vraiment comprise sur le plan mathématique.

Ce qu'on possède est constitué de diverses heuristiques dans lesquelles on s'efforce parfois avec peine de garantir certaines contraintes indispensables pour toute théorie quantique, comme par exemple l'unitarité. Pour les champs de Yang-Mills on utilise majoritairement la technique des intégrales de chemin de Feynman. Et on le fait le plus souvent par perturbations, quoique certains résultats non perturbatifs (très peu) soient connus. Dans ce procédé, pour garantir l'unitarité on est obligés d'introduire des champs "fantômes" qui violent la relation spin-statistique et qui n'apparaissent que comme des particules virtuelles, jamais sous forme de particules observables. Je mentionne ceci pour montrer la difficulté du problème et par quels chemins tortueux les théoriciens sont passés. A ma connaissance ces méthodes sont purement heuristiques, elles n'ont pas de justification mathématique complète et déductible d'axiomes simples. L'intégrale de chemin montre aussi que le principe de moindre action de la physique classique n'est réalisé qu'en moyenne. Pourtant les lois de conservations impliquées par le théorème de Noether survivent à la quantification, mais pas toujours: parfois elles sont contredites (on appelle cela des anomalies) mais dans les cas physiques importants on parvient quand même à les sauver grâce à de petits "miracles"! Tout cela me fait plus penser à un paysage chaotique résultant d'une ancienne glaciation plutôt qu'à un jardin à la française!

Du côté de la quantification canonique, il y a une méthode due à Dirac qui permet d'encoder les contraintes impliquées sur un système hamiltonien par l'invariance de jauge. Mais là encore il s'agit à ma connaissance de procédés heuristiques pas faciles à mettre en oeuvre.

Je crois avoir déjà mentionné sur ce forum l'analogie entre les physiciens et les cryptanalystes: ceux-ci peuvent parfois déchiffrer des messages en utilisant des heuristiques, comme profiter d'erreurs de chiffrage ou des faiblesses de l'algorithme (une salutation au führer à la fin de chaque message, ou l'utilisation d'un OTP deux fois de suite, l'acquisition d'un side channel), l'intuition, la chance... S'ils trouvent le chiffre et si leur méthode donne des messages grammaticalement correct ayant un sens, ils considèrent qu'ils ont trouvé, même si leur méthode manque de rigueur. Ils ne vont pas faire appel à un mathématicien pour leur en donner la preuve par un théorème d'unicité, cela ne leur servirait à rien.

Pourtant il serait sûrement, je pense, très intéressant pour des mathématiciens qui ont du coffre de s'attaquer aux théories de jauge quantiques. J'ai été par exemple très intrigué par les travaux de Connes et Kreimer qui ont découvert des structures algébriques inattendues dans la théorie de la renormalisation. Il y a aussi un "millenium problem" doté d'un prix d'un million de dollars qui demande quelque chose de cet ordre (prouver mathématiquement qu'une théorie de Yang-Mills possède certaines propriétés d'intérêt physique, mais pour produire cette preuve, il faut d'abord posséder une théorie mathématiquement cohérente).

[Anonyme007]

Sur le web, j’ai trouvé le livre intitulé “Geometry, Topology and physics” de Nakahara. A partir de la page 390, on explique un peu comment on peut formuler la relativité générale en termes de fibrés. Donc, si on entend par “théorie de jauge” simplement “théorie des fibrés”, alors je suppose qu’on puisse dire que la relativité générale peut être décrite en termes de théorie de jauge (mais encore une fois, grosse différence avec les théories de jauge du modèle standard). Et je ne suis pas sûr avec le lien avec l’article de Wiki que j’ai donnée précédemment.
Concernant le lagrangian mentionné par Anonyme007, il s’agit probablement du Einstein-Hilbert lagrangian. C’est décrit à partir de la page 318 du livre mentionné en haut.

Oui, j'ai consulté ce livre tout à l'heure, en particulier, ces deux parties que tu cites, et c'est exactement ce que je cherche. Merci.

[Anonyme007]

Merci à toi aussi @ThM55 pour tout cet éclairage.

[ThM55]

Avec plaisir. J'aimerais aussi faire une remarque concernant les différences formelles entre la relativité générale et les théories de Jauge, au niveau des équations classiques, non quantiques (celles d'Einstein d'un côté et celle de Yang-Mills ou celles de Maxwell de l'autre).

Pour Yang-Mills (ou Maxwell) on a un potentiel qui est un élément de l'algèbre de Lie du groupe de jauge. Il est sur-déterminé puisqu'une transformation de jauge n'a pas de signification physique. L'invariance de jauge permet d'éliminer des degrés de liberté qui propagent de l'énergie négative et donc elle stabilise la théorie (c'est la raison physique cachée qui justifie l'invariance de jauge à mon avis). Elles se partagent entre équations d'évolution (pour voir comment un champ donné évolue au cours du temps) et en contraintes, qui définissent comment construire les conditions initiales. Les équations du champ sont du second ordre dans les potentiels. Les champs sont la courbure de la connexion définie par le potentiel. Autrement dit les champs dépendent des dérivées premières du potentiel. Pour avoir des équations du second ordre dans les potentiels, il faut écrire des équations du champs qui dépendent des dérivées premières du champ. C'est ce qu'on fait avec les équations de Maxwell (qui font intervenir les dérivées partielles premières des champs électrique et magnétique) mais aussi avec Yang-Mills.

En relativité générale, on a une situation similaire dans laquelle la connexion, représentée par les symboles de Christoffel sert à écrire une dérivée covariante et où les champs, éléments du tenseur de Riemann, dépendent des dérivées premières des coefficients de la connexion. Mais la grande différence est que les équations d'Einstein ne dépendent pas des dérivées de la courbure, c.à.d. de celle des éléments du tenseur de Riemann; elles s'écrivent entièrement au moyen de combinaisons algébriques des ces coefficients, c'est à dire à partir du tenseur de Ricci (une trace) et de sa trace. Donc les équations d'Einstein sont du premier ordre dans les coefficients de la connexion. Ce qui jouait le rôle de contrainte chez Yang-Mills existe toujours ici sous la forme de relation de Bianchi, mais ce n'est pas la seule contrainte. Bien sûr, on doit avoir des équations du second ordre et pour cela on sait que les symboles de Christoffel dépendent à leur tour des dérivées premières du tenseur métrique. Et les équations du champs sont du second ordre en les dérivées de la métrique et non de la connexion.

On a donc une structure formelle semblable dans les deux cas: transformations avec grandeurs covariantes -> dérivée covariante -> connexion -> courbure. Mais quand on passe aux équations du champ les théorie sont très différentes. Il est possible que les ressemblances aient pour origine des raisons physiques semblables, mais à mon avis considérer la RG comme une théorie de jauge n'aborde qu'une partie de celle-ci.


Il est intéressant de voir comment on peut procéder en partant d'un champ de spin 2 dans l'espace de Minkowski et en lui appliquant les principes des théories de jauge. Il y a une analyse que je trouve très intéressante à ce sujet dans le traité "Gravitation" de T. Padmanabhan (Cambridge university Press). Dans le chapitre 3 il montre d'abord qu'un champ scalaire pour la gravitation contredirait l'expérience (pas de déviation de la lumière, mauvais sens de déplacement du périhélie). Il passe alors à un champ tensoriel de rang 2 (spin 2) (un champ vectoriel a des charges positives et négatives, et serait attractif et répulsif, on l'ignore donc). Dans la section 3.4, il lui applique les principes de l'invariance de jauge. Il montre que la théorie obtenue est inconsistante, elle ne respecte pas la conservation de l'énergie. On peut la compléter par approximations successives mais il montre que cela ne mène pas à une théorie unique à cause de l’ambiguïté dans la définition du tenseur d'énergie-impulsion du champ lui-même. Pour obtenir la relativité générale il faut apporter des hypothèses supplémentaires qui reviennent en fait selon Padmanabhan à postuler le contenu géométrique de la relativité générale. Celle-ci serait alors, si je comprends bien Padmanabhan, en quelque sorte irréductible à un principe de jauge. A moins qu'un principe permette de lever l'ambiguïté dans la définition du tenseur d'énergie...

[ThM55]

Le principe variationnel et les lagrangiens ont aussi des contenus très différents dans les deux théories. Il y aurait beaucoup à dire à ce sujet, je ne m'embarquerai pas dans la rédaction d'un bouquin sur ce forum. C'est juste pour attirer l'attention sur ce point.

[jacquolintégrateur]

Il est intéressant de voir comment on peut procéder en partant d'un champ de spin 2 dans l'espace de Minkowski et en lui appliquant les principes des théories de jauge. Il y a une analyse que je trouve très intéressante à ce sujet dans le traité "Gravitation" de T. Padmanabhan (Cambridge university Press).

Bonjour
Cette question a également été traitée par R. Feymann:"Lectures On Gravitation".Ed.USA Addison Wesley. 1995. Sans référence à la notion de "Théorie de Jauge" mais en suivant la MQ. Le recours à une particule de spin 2, comme vecteur des interactions gravitationnelles avait été évoqué par Pauli et Fiertz et traité, dans le cadre de la théorie quantique des champs naissante par Antoinette Tonnelat , Gérard Pétiau et Louis de Broglie: Théorie Générale des Particules à Spin. Gauthier Villars. Paris 1954. Chapitre 11 Page 176. Rappelons que la première théorie de la gravitation, tenant compte de la Relativité restreinte (mais non exempte de difficultés) est due à Nördström. Cette théorie correspond, en fait, à un champ scalaire. Elle est antérieur au développement de la RG par Einstein.
Cordialement