Mouvement

[invite61a8211d]

Je reposte ici, je me suis trompé d'endroit

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exo, et si vous pouvez confirmer mes réponses ce serait sympa.

On étudie le mouvement d'une comète de masse m autour du Soleil de masse M. L'attraction gravitationnelle exercée par le soleil est F(vecteur)=-GMm/r² u_r(vecteur). On se place dans un repère polaire (u_r u_t)

1a. Le moment cinétique de la comète est-il constant?

Ma réponse: on montre que le moment est nul. Comme le moment est la dérivée du moment cinétique, cela prouvera que le moment cinétique est constant.
Moment = OM(vecteur) ^ F(vecteur)
Les coordonnees de OM(vecteur) dans le repère sont (R,0,0) avec R le rayon de la comète.
Les coordonées de F(vecteur) sont (GMm/r²,0,0).
Le produit vectoriel de ces deux vecteur vaut 0 donc le moment cinétique est constant.


1b. En déduire que C=r² × dT/dt est une constante du mouvement (constante des aires)

2. Exprimer la vitesse V(vecteur) dans le repère polaire et montrer que C=rv_t est la composante orthoradiale de la vitesse.

J'ai pas réussi ces deux questions, pouvez vous m'aider?
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[gts2]

Bonjour,

Questions à éclaircir : "C=r² × dT/dt", c'est quoi T ?
Ceci étant vous avez en 1a que moment cinétique de la comète est-il constant. Il suffit de calculer celui-ci.

"Montrer que C=rvt est la composante orthoradiale de la vitesse." Si v est une vitesse, on ne voit pas comment rv pourrait être une composante de la vitesse.

Je suppose qu'il y a des qui traine, vous pouvez entrer des caractères unicode (chez moi, je bascule en clavier grec) ou alors des balises TEX avec \theta.

[invite61a8211d]

Oui c'est des thêta à la place du T et à la place des t dans ut.

Pareil pour le t dans vt.

Si la comète est de rayon R alors les coordonnées du vecteur position sont (R,0,0). En dérivant le vecteur position Ru_r, on obtient

v(vecteur) = dR/dt u_r + R dθ/dt u_θ.

Mais à ce stade, je sais pas si j'ai bien fait de noter le rayon R. Parce que r ne désigne pas déjà le rayon?

[gts2]

L'expression de la vitesse est la bonne, mais en effet r est la notation usuelle.
Il n'y a plus qu'à calculer le moment cinétique.

"Si la comète est de rayon R" : R est la distance Soleil-comète dans vos expressions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite61a8211d]

D'accord du coup les coordonnées de mv(vecteur) sont m(dr/dt, r dθ/dt , 0). Le moment cinétique vaut donc mr² dθ/dt u

[gts2]

Donc le 1b est résolu.

[invite61a8211d]

Prenez pas en compte le précédent message.

D'accord du coup les coordonnées de mv(vecteur) sont m(dr/dt, r dθ/dt , 0). Le moment cinétique vaut donc mr² dθ/dt u_z = constante et comme m est constant on en déduit que C = r² dθ/dt est constant. C'est bien cela?

[invite61a8211d]

Pour la 2. je n'ai pas compris ce que signifie orthoradial

[gts2]

La première composante de v est radiale, la deuxième orthoradiale (à 90° de radiale)

[invite61a8211d]

Ah donc C = r² dθ/dt = rv_θ car v_θ = r dθ/dt ?

[gts2]

C'est bien cela, mais si j'aurai plutôt dit l'inverse, C = r vθ par calcul du moment cinétique et C = r² dθ/dt en remplaçant vθ

[invite61a8211d]

D'accord merci et j'ai une dernière question : dans la suite du problème on me demande de montrer que :
v = racine de (2GM/r) (ce que j'ai réussi) puis d'en déduire la valeur de C en sachant que que la vitesse est orthoradiale lorsque la comète est au plus près du Soleil. Je bloque pour cette dernière partie, pouvez vous me donner une piste?

[invite61a8211d]

En supposant que la trajectoire est parabolique

[gts2]

On ne connait pas toutes les données...
Ceci étant au périhélie , donc si v et r sont connus C est connu.

[invite61a8211d]

Avec mes données, je trouve C=9×10¹³, je sais pas si c'est cohérent

[gts2]

Avec les grandeurs astronomiques, on n'a pas beaucoup de repères, donc pourquoi pas ?

[invite61a8211d]

D'accord, merci beaucoup pour votre aide en tous cas