Exercice d'équations à dérivées partielles

[Annesophiec]

Bonjour à tous,

je suis bloquée à une question portant sur les équations à dérivées partielles.

Énoncé du problème :
Nous considérons une plaque de longueur et de largeur infinie. L'épaisseur est fixée à L. On met cette plaque dans un four. Hors du four (de largeur l0), sa température vaut θa. Dans le four ses parois sont à la température θe. La propagation de la chaleur dans la plaque s'effectue dans le sens de l'épaisseur de la plaque. Le repère est choisi de telle façon : x = 0 (respectivement x = L) corresponde à la paroi supérieure (resp. inférieure).

Question :
En utilisant des propriétés de symétrie ou d'antisymétrie, montrer que le problème peut être équivalent à un problème sur R avec une condition initiale périodique.

Je comprends pas du tout ce qui est attendu...
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[cmole]

Bonjour

On cherche à démontrer que le problème est en une dimension (x) avec un seul paramètre (R). Ici la plaque est de dimension infinie en largeur et en longueur, on peut alors en déduire que la température ne dépend pas de ces coordonnées on a alors un problème en 1 dimension avec 3 paramètres soit x(R,Y, Z). Il faut maintenant montrer que les paramètres Y et Z n'interviennent pas dans ce genre de problème. Toujours à l'aide des dimensions infinies de la plaque, on a une invariance de la température à R fixé dans les directions y et z, donc les paramètres Y et Z n'interviennent pas, ce qui devrait simplifier vos équations aux dérivées partielles.

J'espère avoir été assez clair, cela fait un moment que je n'ai pas utilisé ce genre de raisonnement (qu'on retrouve en électrostatique je crois).

[cmole]

Re, en me relisant c'est plutôt très mal expliqué mais on ne peut pas éditer le message alors je recommence...

On cherche donc à montrer que le problème n'a q'une seulement dimension (x) et qui ne dépend que d'un seul paramètre. En premier lieu et avant tout simplification on a donc la température T(x(X,Y,Z), y(X,Y,Z), z(X,Y,Z)) (sans prise en compte du temps), et nous on veut arriver à T(x(X)).

Premièrement, on remarque que tous les plans (x,y) et (x,z) sont des plans de symétrie puisque la plaque est de longueur et largeur infinie. L'effet étudié appartient alors nécessairement à tous ces plans de symétrie : on a alors T(x(X,Y,Z)).

Ensuite, pour tout X fixé (à chaque "étage" d'épaisseur de la palque) on a une invariance de la température suivant y et z, la teméprature ne dépend alors ni de Y ni de Z. On se retrouve bien avec T(x(X)).

J'espère avoir été plus clair !

[gts2]

Si j'ai bien compris : les conditions initiales sont θ=θa pour 0<x<L et θ=θe pour x=0 et x=L et θ n'est définie qu'entre x=0 et x=L.
Et il faut transformer en un problème sur R.

Si vous résolvez l'EDP par des séries de Fourier, en prenant comme variable y=θ-θe, vous aurez des solutions en sinus donc impaires, de période nL/2. A partir de là vous pouvez généraliser vos conditions initiales sur R.
Le lien par contre avec les symétries et antisymétries ...

Le texte n'est quand même pas clair, la largeur est infinie ou vaut l0 ? On a a l'impression que l0 ne sert à rien

[A voir en vidéo sur Futura]

[Annesophiec]

Merci pour vos réponses.

En fait la plaque est de longueur et de largeur infinie et son épaisseur est suivant (Ox). Elle se déplace selon l'axe (Oy).
Pour t<0, elle est dans le milieu de température theta_e
Pour t=0 elle rentre dans le four de température theta_a

La largeur l0 est la largeur du four, elle est finie.

[Annesophiec]

Pour ce qui est de la condition initiale, il est également demandé de l'exprimer sous la forme d'une série de Fourier.

Je ne comprends pas du tout comment on peut réussir à trouver cela avec le peu d'informations qui est donné dans l'énoncé...

[gts2]

Donc, il fallait bien interpréter les symétries/antisymétries comme développement en sinus donc fonction impaire.
Donc par imparité, transformer vos données entre x=0 et x=L en des données entre x=-L et x=0, puis périodiser la fonction obtenue. Vous aurez bien votre "condition initiale périodique".