Lentille ( étude la méthode de Bessel )

[Marmus1021]

Bonjour à tous ! J’ai un petit exercice à faire, et j’aimerais bien que vous me corrigiez et m’expliquiez certaines choses svp . PS: toutes mes grandeurs sont algébriques mais je ne sais pas comment faire la barre au dessus.

La méthode de Bessel permet de déterminer la valeur de la distance focale d’une lentille avec une bonne précision. En appelant D la grandeur algébrique AA’, on montre que OA² + D*OA + D*f’ = 0.
OA représente l’inconnue de cette équation du second degré, de racines O1A et O2A.

1- A quelle condition mathématique les deux racines existent-elles ? Il faut que le discriminant sont positif, donc que D² > 4Df’.
2- Écrire l’expression littérale de chacune d’elles. O1A = -D- racine(delta) / 2 et O2A = -D + racine(delta) / 2.
3- A partir du moment où l’on dispose d’une lentille convergente, d’un objet et d´un écran, et que l’on fixe la distance AA’, quelle est la signification physique de l’existence des deux racines précédemment évoquées ? Je ne suis pas sûr, mais je pense que cela signifie qu’il existe 2 positions possibles pour le centre optique de la lentille.

4- Utiliser la relation de Chasles pour montrer que la distance focale peut alors s’obtenir par la relation :
f’ = (D² - d²) / 4D
Avec d = O1O2, la distance algébrique entre les 2 positions du centre optique.
Là je n’ai jamais appris de «*relation de Chasles*» ( a part sur les vecteurs ), mais en regardant sur Internet je vois que c’est en lien avec les intégrales ? Je veux bien la réponse please

5- Pendant un TP, on obtient comme valeur D = 91,4cm, et d = 29,7cm. Estimer l’incertitude-type U sur la mesure d’une distance réalisée sur le banc d’optique gradué au mm. Ici, je suppose que U est égal à la moitié d’un millimètre.

6- En déduire une estimation de la valeur de la distance focale f’ et de l’incertitude type associée. Donc application numérique : je trouve 20,4cm.
Et comme incertitude type : on nous donne une formule : 1/4 ( 1 + d²/D² )*U
Donc je trouve 0,1mm.

7- Calculer le grandissement correspondant à chacune des positions de la lentille. Soit y le grandissement.
y = O1A/O1A’ = (D-O1A) / O1A
Ensuite je remplace par la valeur avec les racines que j’avais trouvé, et je fais pareil
pour O2A. Je trouve -2,50 et -3,97.
C’est bien cela ?
Merci d’avoir lu, et j’espère que vous vous savez mieux que moi la réponse 4.
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[gts2]

1) OK juste une remarque allez aux bouts de vos calculs D > 4f’ est quand même plus explicite que D² > 4Df’.
2) OK
3) OK
4) Relation de Chasles c'est , étant un point du plan que vous avez l'air de connaitre. Les points peuvent bien sûr être sur la même ligne (axe optique ici) et on a donc la même chose avec les mesures algébriques. Il faut donc calculer d=O1O2 à l'aide d'une relation de Chasles faisant intervenir les questions précédentes...
5) C'est un exo ou un TP ? Parce qu'en TP l'incertitude est plutôt celle de la mise au point.
6)
7) Il doit y avoir des erreurs d'algébrisation : faites un dessin. Un raisonnement simple reposant sur le principe de retour inverse montre que les deux grandissements sont l'inverse l'un de l'autre.

[Bartoumire]

Je pourrais presque dire : Epreuve de physique du baccalauréat de première M de 1959.

[Marmus1021]

Bonjour ! Merci pour les retours !
Pour la question 4, j'ai donc fait d=0102= 02A-01A.
Et avec cette relation, je trouve bien au final d²=D²-4Df', ce qui revient à la formule qu'il faut démontrer. Pourtant je n'ai pas vraiment fait une relation de Chasles. Est-ce qu'il faut plutôt que je calcule O1A+A02 ?
Et pour la dernière question, je crois avoir trouvé ce qui n'allait pas. C'est en effet une erreur d'algébrisation, car j'ai calculé 01A' = D-01A, alors que c'est D+01A. Je trouve bien deux grandissements qui sont l'inverse l'un de l'autre. Mais comment avez-vous fait pour savoir cela avec un dessin ?
Merci beaucoup en tous cas !

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

On suppose que la lumière va de A vers A' et que l'on place la lentille en O1.
Si dans la même configuration, on fait aller la lumière de A' vers A, l'image de A' se forme bien en A, donc la distance objet image est O1A' qui est la deuxième solution donc O1A'=O2A.
On peut donc considérer que les deux solutions pour D donnée correspondent aux deux sens de parcours de la lumière et il est alors évident que A'B'/AB=A'B'/AB (sic) sauf que le premier représente image/objet (sens direct) et l'autre objet/image (sens inverse).

[phys4]

Et avec cette relation, je trouve bien au final d²=D²-4Df', ce qui revient à la formule qu'il faut démontrer. Pourtant je n'ai pas vraiment fait une relation de Chasles. Est-ce qu'il faut plutôt que je calcule O1A+A02 ?

Ne vous inquiétez pour cette partie, la relation de conjugaison par rapport au centre de la lentille s'appelle aussi relation de Descartes ou relation de Chasles, suivant les auteurs.

[gts2]

Pour la question 4, j'ai donc fait d=O1O2= O2A-O1A.
Et avec cette relation, je trouve bien au final d²=D²-4Df', ce qui revient à la formule qu'il faut démontrer. Pourtant je n'ai pas vraiment fait une relation de Chasles. Est-ce qu'il faut plutôt que je calcule O1A+AO2 ?

La relation de Chasles est algébrique d=O1O2= O2A-O1A est en fait algébriquement d=O1O2=O1A+AO2.