Sens physique du rotationnel

[Amator]

Bonjour a tous,

Je cherche a comprendre le sens physique du rotationnel.

Le rotationnel est un produit vectoriel, le résultat est systématiquement un vecteur orthogonal aux 2 vecteurs du produit. Bon OK.

Mais le rotationnel, a à priori, de l’intérêt ( ?) appliqué à un champ de vecteur tournant dans un plan.

Quel rapport physique entre quelque chose qui tourne dans un plan et un résultat systématiquement orthogonal au phénomène physique auquel on s’intéresse ?

Je ne vois pas en quoi un vecteur orthogonal serait pertinent pour décrire/quantifier un phénomène rotationnel.
en quoi un phénomène tournant dans un plan , se quantifierait par une poussée axiale ?

En clair ça sert a quoi un rotationnel ?

Merci d’avance pour vos éclaircissements.
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[gts2]

Bonjour,

Prenons l'exemple du champ de vitesse d'un solide, le rotationnel de la vitesse est alors deux fois la vitesse de rotation du solide. Pour un solide, , si est selon Oz, les points du solide tourne dans le plan xOy.

Si on généralise au champ de vitesse d'un fluide, devient la vitesse de rotation locale de la particule de fluide.

Remarque : si le produit vectoriel vous pose problème, on peut aller plus loin : le rotationnel (comme les vecteurs antisymétriques type B) n'est pas vraiment un vecteur, et on peut écrire (en 2D pour alléger) :

[Resartus]

EDIT : je vois que gts2 a déjà répondu...
Bonjour,

Je vais rester sur des "explications" niveau lycée (ou début de licence).

Pourquoi le produit vectoriel est-il utile pour les rotations?
Imaginez la rotation d'un solide autour d'un axe. Les vitesses en tout point de ce solide peuvent s'exprimer comme le produit vectoriel par la distance à l'axe r d'un certain vecteur* constant omega. v=omega^r. On appelle ce omega vecteur de vitesse angulaire, ou vitesse de rotation, et il est bien parallèle à l'axe de rotation.

Pourquoi le rotationnel?
Si on n'a plus un solide, mais un fluide, les vitesses ne suivent pas une loi de vitesse aussi simple, mais on peut décrire la manière dont les vitesses changent au voisinage d'un point quelconque, en additionnant deux parties : une qui correspond à un axe de rotation et une vitesse angulaire instantanée(qui sera le rotationnel*. (d'où le nom…) et une autre composante sans centre de rotation qui elle correspondra au gradient d'un certain potentiel scalaire.

On peut faire la même chose pour n'importe quel champ de vecteurs, et le fait de le scinder ainsi entre sa composante "rotationnelle" (qui ressemble à un champ de vitesses autour d'un axe de rotation) et sa composante irrotationnelle facilite grandement les calculs, d'autant que certains champs qu'on étudie en électromagnétisme notamment sont soit tout l'un soit tout l'autre...

*A noter que ce ne sont pas vraiment des vecteurs, mais des pseudo vecteurs qu'on manipule. La bonne approche mathématique, et bien plus satisfaisante intellectuellement, de ces questions est par ce qu'on appelle les formes différentielles, une forme différentielle de dimension 2 est une matrice antisymétrique et il se trouve par hasard que, dans l'espace à 3 dimensions seulement, elle peut se décrire par trois composantes non nulles, ce qu'on peut assimiler à un pseudo vecteur.
Mais il n'est pas usuel en France de présenter cette approche avant un stade d'études élevé. C'est peut-être dommage...

[Amator]

Merci pour vos réponses

En fait, c’est dès le départ que je bloque.
Dans un premier temps, je souhaite comprendre ce que l’on calcule et pourquoi c'est comme ça.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Rotationnel

L'opérateur rotationnel est un opérateur différentiel aux dérivées partielles qui, à un champ vectoriel tridimensionnel, , fait correspondre un autre champ
…. il exprime la tendance qu'ont les lignes de champ d'un champ vectoriel à tourner autour d'un point : sa circulation locale sur un petit lacet entourant ce point est non nulle quand son rotationnel ne l'est pas.

Je comprend que lorsqu’il y a rotation, il y a un axe de rotation mais je ne comprends pas que l’on quantifie ou décrive cette rotation par un champ de vecteur perpendiculaire à la dite rotation.
C’est ce qui me semble absurde.

Idem dans cet exemple de Resartus :

Pourquoi le produit vectoriel est-il utile pour les rotations?
Imaginez la rotation d'un solide autour d'un axe. Les vitesses en tout point de ce solide peuvent s'exprimer comme le produit vectoriel par la distance à l'axe r d'un certain vecteur* constant omega. v=omega^r. On appelle ce omega vecteur de vitesse angulaire, ou vitesse de rotation, et il est bien parallèle à l'axe de rotation.

je ne saisi pas la cohérence d’avoir un résultat vecteur vitesse perpendiculaire à ce qu’il est dans la réalité physique.
Le vecteur vitesse devrait être tangent à oméga, plutot ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nekama]

J'ai l'impression que l'on mixe deux choses (ou bien j'ai loupé qqch) :

- produit vectoriel
- rotationnel

Le produit vectoriel est intéressant pour représenter une information relative à des déplacements en rotation.
Mais ce n'est pas un rotationnel.

Le "produit vectoriel" de tout vecteur contenu dans un plan est un vecteur perpendiculaire à ce plan. Si on regarde la rotation d'un objet, où localement, il y a des vitesses dans tous les sens, c'est bien intéressant de pouvoir "résumer" l'information relative à un phénomène, la rotation, en un seul et unique vecteur. Ce vecteur ne pas dans le sens de la vitesse (ni d'une force, ni rien de très dynamique alors que tout bouge) mais il est dans la direction de l'axe de rotation. C'est son sens physique et c'est intéressant. Mais il n'est pas lié qu'à des rotations.

Le "rotationnel" est un opérateur mathématique où se mélangent "dérivées" et "rotation". C'est d'ailleurs pour cela qu'il est représenté également avec un produit vectoriel. Mais l'opérateur qui se trouve dans ce produit, et sur la tête duquel on met un vecteur, n'en est pas un.

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Le sens mathématique du rotationnel est de préciser le lien qui existe entre deux champs.

Pour un A ponctuel, rot x = A nous indique que x "tourne" autour de A en décroissant au fur et à mesure qu'il s'en écarte.
c X x = A nous donne un champ x monodirectionnel, dans le plan perpendiculaire à A et à c et donc la valeur dépend de l'angle entre c et A.

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Le sens physique dépend de l'équation physique.

rot E = 0 indique que le champ électrique (coulombien) n'est pas rotationnel. Cela veut dire que si E existe, il prend son origine en un point et qu'il se termine en un autre mais qu'il ne tourne pas en ce sens qu'il ne revient pas sur lui-même. Il en découle de facto l'existence de charges électriques (en présence d'un champ non rotationnel)

rot E = -dB/dt indique que le champ électrique induit est un champ rotationnel. Le champ part d'un point et y revient après avoir fait un tour. Cela veut dire que c'est tout un "espace" qui est mis en mouvement comme une chaîne de vélo. Cela veut dire aussi que plus on s'éloigne de la zone ou B varie, et plus E diminue. Autour de la zone où B varie, l'espace se polarise en rotation, générant ainsi un champ électrique tangentiel.





Le sens physique du rotationnel dépend de l'équation à laquelle il se rapporte.

[gts2]

Si on raisonne en vecteur, on peut décomposer ce vecteur en sa direction (et sens) et sa norme.

Dans le cas du vecteur rotation, la norme est, en gros, "le nombre de tours par seconde" et la direction l'axe de rotation.

Quand un manège tourne, l'axe de rotation est bien vertical et les vitesse horizontales.

[chris28000]

En fait, c’est dès le départ que je bloque.

bonjour,
en fait la rotation , c'est l'observateur qui la fait:
vous imaginez un cercle et vous calculez sur tout le cercle : l' integrale de E.dl
et bien si le cercle est tout petit les mathématiciens ont trouvé que çà faisait integrale de rot(E).dS ,dS étant la surface limitée par le cercle.
c'est sur que si E reboucle sur lui même, rot(E) n'est pas nul.

[Resartus]

Bonjour,
Le produit vectoriel et le vecteur rotation ne sont au départ que des facilités de calcul.
Si on étudie une rotation solide autour d'un axe Z dans un repère orthonormé, on observe (comme l'a écrit gts2) que la vitesse V (Vx, Vy, Vy)
d'un point quelconque x, y, z peut se retrouver par une formule matricielle de la forme
V=M.OM
Et que cette matrice rotation M est une matrice antisymétrique, qui n'a que trois composantes non nulles. Ces trois données définissent donc entièrement la rotation.
Il a donc été trouvé intéressant de considérer ces trois composantes comme celles d'un pseudo vecteur, et le produit matriciel initial devient une opération un peu bizarre entre pseudo vecteur et vecteur appelée produit vectoriel.
Et le calcul montre aussi que les trois composantes de ce pseudo vecteur sont proportionnelles au vecteur directeur de la droite qui a servi d'axe de rotation.

Comme on peut ainsi caractériser une rotation solide par ce pseudo vecteur, on finit par l'appeler "vecteur vitesse de rotation" . Certes un abus de langage, mais si commode que cela finit par devenir intuitif.

En son temps, il y a eu des débats très vifs entre les tenants de cette approche par pseudo vecteurs, produit vectoriel, puis divergence, rotationnel, etc.) chère à de nombreux physiciens célèbres comme Maxwell, et ceux d'une autre approche plus mathématique proposée par Hamilton et enrichie par Grassmann puis Clifford, que Cartan a complétement formalisé avec les formes différentielles.

C'est le "bricolage" des physiciens qui l'a emporté et reste incontournable dans l'enseignement (c'est le "calcul vectoriel"), mais l'approche alternative existe, sous le nom un peu ambigu d'algèbre géométrique.

Le wiki français n'est pas génial https://fr.wikipedia.org/wiki/Algèbr...ue_(structure).
si vous parlez anglais, c'est un peu mieux. https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_algebra

A voir par curiosité, mais, sauf besoins très particuliers, il est peut-être plus prudent de rester sur l'approche traditionnelle.

[jacknicklaus]

Bonjour,

il est clair que l'interprétation en terme de forme différentielle jette un éclairage totalement différent sur les opérateurs différentiels "traditionnels" (div, grad, rot). Il est vraiment regrettable que cette approche soit largement ignorée dans l'enseignement en France, du moins dans les premières années du supérieur. Un approche très géométrique, très progressive et avec de nombreux exercices, accessible niveau licence :

https://www.amazon.fr/Geometric-Appr...=UTF8&qid=&sr=


je met en garde contre la version Kindle, de très mauvaise qualité. Préférez le papier.

[stefjm]

Le produit vectoriel n'est défini que pour les espaces de dimension 3 et 7.
On a eu chaud, ça marche chez nous...

[Amator]

Merci a tous, des zones d’ombre commencent à s’éclaircir.
Ce n’est pas facile par écrit...

En considérant une des équations de Maxwell, B = rot A
B étant le champ magnétique et A le potentiel vecteur.
et en transposant dans l’explication fort utile de Nekama, cela donnerait :
" Pour un B ponctuel, rot A = B nous indique que A "tourne" autour de B en décroissant au fur et à mesure qu'il s'en écarte. "

A et B sont à priori de vrais vecteurs.

Lorsque certains parlent de pseudo vecteurs, s’agit il de l’opérateur "rot" ou bien du résultat du calcul ?
s'il s'agit du résultat, j'y verrais une contradiction puisque dans l'exemple que je prends, B est un vrai vecteur ?

[Resartus]

Bonjour,
En fait, c'est A qui est un vrai vecteur et B est un pseudo vecteur, et par contre le rotationnel de B est un vrai vecteur.
C'est une sorte de parité, et le rotationnel change le signe (change les vecteurs en pseudo vecteurs et les pseudo vecteurs en vecteurs).
D'ailleurs, cette parité différente des champs E et B peut vous être utile, par exemple pour rechercher des symétries de champs pour certains exercices.

[Biname]

En fait, c'est A qui est un vrai vecteur et B est un pseudo vecteur.

A et B sont des champs vectoriels, de même que Rot A.