Sens physique d'une solution

[Seirios]

Bonjour à tous,

En étudiant un circuit électrique comprenant notamment deux condensateurs, on trouve par le calcul le système différentiel suivant :




Puis , avec la capacité commune des deux condensateurs, et les inductances de deux bobines du circuit, la pulsation propre des condensateurs et leur tension.

On trouve par la suite deux solutions :

et

On en déduit par la suite :

pour : les tensions sont en phases.
pour : les tensions sont en opposition de phase.

J'ai tout à fait compris les calculs, mais d'un point de vue physique, j'ai du mal à comprendre le sens des égalités entre les tensions.
Ce qu'il me pose le plus de problème de compréhension, est je pense le fait que la pulsation propre des condensateurs peut prendre plusieurs valeurs différentes.

Est-ce que les pulsations des deux condensateurs doivent toujours être égales ? Qu'est-ce qui fait que la pulsation propre prendra la première valeur plutôt que la seconde ?

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci d'avance
Phys2
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[inviteca6ab349]

SAlut,

en pratique, la reponse a une impulsion ou un creneau du circuit sera une supperposition des deux pulsations propres, fonction des conditions initiales

[inviteaa0ade65]

Bonjour

Bonjour à tous,

En étudiant un circuit électrique

Ca serait sympa de savoir lequel...

comprenant notamment deux condensateurs, on trouve par le calcul le système différentiel suivant :

Personnellement je n'appelle pas vraiment cela un système différentiel. Mais peut-être étudies-tu un circuit avec des bobines et des condensateurs en régime sinusoïdal forcé et as-tu traduit tes équations différentielles par la notation complexe ?

la pulsation propre des condensateurs et

Qu'appelles-tu la pulsation propre d'un condensateur ? Ca n'existe pas ! Tu peux parler de pulsation propre pour un circuit du second ordre, en gros dès que tu trouves une bobine et un condensateur associés (on peut cependant trouver des circuits du second ordre avec que des bobines ou que des condendateurs).

Je pense que là il y a une confusion à lever.

On trouve par la suite deux solutions :
et

On en déduit par la suite :

pour : les tensions sont en phases.
pour : les tensions sont en opposition de phase.

J'ai tout à fait compris les calculs, mais d'un point de vue physique, j'ai du mal à comprendre le sens des égalités entre les tensions.
Ce qu'il me pose le plus de problème de compréhension, est je pense le fait que la pulsation propre des condensateurs peut prendre plusieurs valeurs différentes.

Est-ce que les pulsations des deux condensateurs doivent toujours être égales ? Qu'est-ce qui fait que la pulsation propre prendra la première valeur plutôt que la seconde ?

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci d'avance
Phys2

Le mieux serait de connaître ton circuit et de voir ce qu'il devient pour les deux pulsations que tu as mis en évidence.

[Seirios]

Je détaille plus en profondeur mon problème :

Tout d'abord, voir le circuit en question en pièce jointe.

Par divers calculs (je ne pense pas qu'il soit nécessaire de les détaillés), on obtient le système linéaire homogène suivant :




En utilisant le déterminant du système, on a :



D'où :
Et

Puis on trouve :

pour : tensions en phase
pour : tensions en opposition de phase

Je pense que ce que je ne comprends pas, c'est ce que représente , et .

Merci d'avance, et désolé pour le temps de réponse...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaa0ade65]

Je détaille plus en profondeur mon problème :

Tout d'abord, voir le circuit en question en pièce jointe.

Ah et bien avec le circuit je comprends mieux. Tu as en fait un système de deux oscillateurs LC couplés par une bobine !

Ce que montrent tes équations et leur résolution, c'est que la solution la plus générale est une combinaison de deux "modes propres" du circuit. L'un avec les tensions en phase l'autre avec les tensions en opposition de phase.

Le poids de chaque mode dans la solution complète est déterminé par les conditions initiales.

Je pense que ce que je ne comprends pas, c'est ce que représente , et .

Merci d'avance, et désolé pour le temps de réponse...

et sont simplement les pulsations des deux modes propres. n'a pas de signification particulière. Tu l'as sûrement introduit quand tu as cherché des solutions sinusoïdales (ie des modes propres) de ton circuit.

J'espère que c'est plus clair pour toi.

[Seirios]

Ce que montrent tes équations et leur résolution, c'est que la solution la plus générale est une combinaison de deux "modes propres" du circuit. L'un avec les tensions en phase l'autre avec les tensions en opposition de phase.

C'est ce point en particulier que je ne comprends pas vraiment : Qu'est-ce qu'une combinaison de deux modes propres pour un circuit ?

Je suis désolé mais vraiment du mal à voir ce que cela représente dans la réalité...

[inviteca6ab349]

par combinaison il est sous entendu ici combinaison lineaire : toute solution est ici une combinaison lineaire des deux solutions particulieres que constituent les modes propres.

[inviteaa0ade65]

C'est ce point en particulier que je ne comprends pas vraiment : Qu'est-ce qu'une combinaison de deux modes propres pour un circuit ?

Je suis désolé mais vraiment du mal à voir ce que cela représente dans la réalité...

Et pour un système mécanique, sais-tu ce que ce sont des modes propres ?

Voici un exemple très simple :soit un ensemble de trois ressorts horizontaux identiques (même raideur , même longueur à vide) R1, R2 et R3.

R1 est fixe à gauche

R1 et R2 sont reliés par une masse

R2 et R3 sont reliés par une masse

R3 est fixe à droite.

A l'équilibre pour simplifier on supposera que tous les ressorts ont une longueur égale à leur longueur à vide (en fait cela simplifie les calculs, mais ne modifie par le comportement phyique )
Les modes propres sont les évolutions de ce système tels que les mouvement des deux masses soient sinusoïdaux DE MEME PULSATION

On voit bien qu'il existe deux tels mouvements.

Le premier correspond au cas ou les deux masses se déplacent en opposition de phase, chacune partant de son côté, le milieu du ressort R2 étant immobile (arrives-tu à visualiser ?). En comptant les déplacements x1 et x2 des deux masses par rapport à leur position d'équilibre on a dans cette situation en permanence

Le second cas correspond au mêm déplacement dans le même sens pour les deux masses (la longueur du ressort R2 reste cette fois inchangées). On a alors en permanence

Il n'est pas très difficile de calculer (comme tu l'as fait pour ton circuit électrique) les deux pulsations et de ces deux modes propres.

Pour le deuxième c'est très simple. Comme le ressort R2 n'est jamais tendu il n'intervient pas ! et donc

Pour le premier on trouve .

Si tu lâche le système sans vitesse initiale avec alors tu as des conditions initiales qui sont entièrement compatible avec le deuxième mode propre, et celui (les deux masses) va osciller à la pulsation .

En revanche si tu lâche le système sans vitesse initiale avec alors tu as des conditions initiales qui sont entièrement compatible avec le premier mode propre, et celui (les deux masses) va osciller à la pulsation .

Avec des conditions initiales quelconques c'est plus compliqué. Les équations étant linéaires, la solution est une combinaison linéaire des deux modes propres, c'est à dire que:
.

.

Tu constates l'existence de quatre constantes d'intégration qui correspondent aux quatre conditions initiales (2 positions et 2 vitesses)

Evidemment c'est plus difficile à visualiser car les oscillations NE SONT PLUS SINUSOIDALES.

Voilà un petit cours express d'introduction aux oscillateurs couplés.

Pour ton circuit c'est exactement la même chose, sauf que les grandeurs qui oscillent ont les charges, les tensions, les intensités...

[Seirios]

Donc si j'ai bien compris, la solution générale des équations dans le cadre d'un circuit avec oscillateurs couplés s'écrit sous la forme d'une combinaison linéaire des solutions, mais une seule de ces solutions ne s'exprime, celle-ci étant déterminée par les conditions initiales. J'ai bon ?

[inviteca6ab349]

je crois que tu tiens l'idee.

Juste pour etre propre, on a ca :
les solutions respectives pour le mode symetrique et antisymetrique.

Alors, toute solution non forcee du systeme est de la forme :


ou a,b,c,d sont determines par les conditions aux limites.

[Seirios]

OK merci à Meumeul et cerfa

[invitec913303f]

Bonjour, que veux tu dire meumeul par mode symétrique et antisymétrique?

Aussi, comment peut t'on traduite les équations differentielles en notation complex? Par linéarisation?

Enfin que voulez vous dire par combinaisopn linéaire?

Merci bien

[inviteca6ab349]

par modes on entend ici mode propre, qu'on peut definir comme des solutions dont les differences de phases entre les differentes coordonnees ne dependent pas du temps.

Ensuite symetrique et antisymetrique, designent respectivement les solutions ou x1(t)=x2(t) et x1(t)=-x2(t) ; quand tu as bien parametre ton systeme, ca se traduit par un joli comportement avec des symetries.

Et une combinaison lineaire de fonctions, c'est exactement ce que j'ai detaille dans mon poste plus haut.

[Seirios]

Enfin que voulez vous dire par combinaison linéaire?

Une combinaison linéaire w de deux éléments u et v s'écrit de la manière suivante : w = au + bv

[inviteca4b3353]

Je pense que ce que je ne comprends pas, c'est ce que représente , et .

omega est la fréquence de la tension imposée au circuit grace au générateur. omega 1et2 sont des fréquences propres du circuit. Si tu "excites" le circuit électrique avec de telles fréquences tu vas engendré un phénomène de résonance.

KB

[invitec913303f]

Bonjour à tous,

En étudiant un circuit électrique comprenant notamment deux condensateurs, on trouve par le calcul le système différentiel suivant :




Puis , avec la capacité commune des deux condensateurs, et les inductances de deux bobines du circuit, la pulsation propre des condensateurs et leur tension.

Bonjour Phy2 merci pour ton précédent message. Par contre j'aimerais voir comment à tu établis l'équation différentiel qui décris ton présent circuit.
Bien cordialement
Flo

[Seirios]

Par les relations courant-tension, on a :

(en posant )

Puis par les lois de Kirchhoff :



Il en résulte :



D'où les équations couplées :




Or nous savons que et par conséquent .

Les équations couplées deviennent par conséquent :




Mais ce système linéaire homogène possède deux solutions non nulles et seulement si le déterminant de ce système est nul, soit :



D'où

[inviteaa0ade65]

Juste pour etre propre, on a ca :
les solutions respectives pour le mode symetrique et antisymetrique.

Alors, toute solution non forcee du systeme est de la forme :


ou a,b,c,d sont determines par les conditions aux limites.

Personnellement je ne trouve pas cela plus propre, et je crains même que cela soit faux

En effet il n'y a aucun sens à partler des solutions symétriques pour chaque oscillateur séparément, précisément parce que les deux variations sont liéespar u1(t)=u2(t). Cela est très parlant si on résoud le système en introduisant le variables S=u1+u2 (S comme somme) et D=u2-u1 (D comme différence). On découple ainsi les équations ce qui permet de trouver les modes
S=Acos(omega1 t)+Bsin(omega1 t) et
D=Ccos(omega2 t)+Dsin(omega2 t).

On repasse alors à u1 et u2 par u2=(S+D)/2 et u1=(S-D)/2.
Ceci montre que les coefficients issus des solutions symétriques sont forcément les mêmes dans u1 et u2, et opposés pour ceux issus des solutions antisymétriques.

Il y a bien quatre constantes d'intégration mais pas telles que tu les présentes car elles ne respectent les relations imposées par l'existence même des modes symétriques et antisymétriques.