Le principe fondamental de la dynamique

[ThM55]

C'est exact, mais n'est-ce pas simplement un changement d'axiomes? Il est assez courant en mathématiques de remplacer certains axiomes par des équivalents puis de démontrer ce qui était précédemment des axiomes. Il y a aussi des hypothèses supplémentaires.

Je suis d'accord concernant Newton: il me semble par exemple qu'il énonce clairement la conservation de l'énergie en liaison avec la notion de travail dans sa proposition 40 (théorème 13 de la section 8 du livre 1). Dans cette proposition il compare les vitesses de deux corps qui tombent d'un même point vers un centre d'attraction selon deux trajectoires différentes et il montre qu'ils ont la même énergie cinétique en arrivant à la même hauteur. Ce qu'il calcule en réalité est l'intégrale de la force le long des deux trajectoires c'est-à-dire le travail de la force d'attraction. C'est assez clair pour moi malgré l'obscurité apparente des arguments géométriques qu'il emploie (mais qui sont toujours très faciles à comprendre si on prend la peine de bien les suivre).

Newton savait par ailleurs comment traiter des problèmes de calcul de variations. Quand Jean Bernoulli a proposé le problème de la brachistochrone en 1696, il a reçu des solutions de plusieurs personnes (son frère Jacques, Leibnitz, l'Hopital,...) plus une anonyme, qui était en fait de Newton, trouvée en une nuit (Newton avait mauvais caractère et n'était pas très sociable, on raconte qu'il pestait de devoir absolument résoudre ce problème pour défendre sa réputation). Bernoulli a cependant tout de suite identifié Newton d'après son style concis, économique et clair et a déclaré qu'on "reconnaissait le lion à ses coups de griffes".
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[Opabinia]

Bonjour,

Quand on voit les pages et les pages que l'OP a fait écrire sur ce forum en explications qui coupent les cheveux en quatre sur des sujets de relativité ou de quantique et qu'on voit le niveau d'ignorance et d'inculture qu'il montre dans ce fil, on ne peut que se dire : foutage de gueule.

Je n'utilise pas volontiers cette expression; la remarque brutale d'albanxiii a cependant le mérite d'en venir à l'essentiel.

1°) L'énergie mécanique totale d'un système ne se conserve qu'en l'absence de forces de frottement, par définition opposées à la vitesse, s'exprimant sous la forme

F_f = - K(v).v ,

et faisant intervenir un coefficient de frottement non-négatif (K(v) ≥ 0).
Le principe fondamental de la dynamique, appliqué au mouvement de chute verticale repéré sur un axe (z'z) descendant, se traduit par la relation:

mz" = mg - K(z').z' ,

dont la multiplication par z' = (dz/dt)

mz'(dz'/dt) = mg(dz/dt) - K(z').z'²

permet de faire apparaître les dérivées de trois nouveaux termes: E_c = (1/2)mz'² , E_p = - mgz et E_mt = E_c + E_p

(dE_c/dt) = -(dE_p/dt) - K(z').z'² ;

on obtient ainsi: (dE_mt/dt) = (dE_c/dt) + (dE_p/dt) = - K(z').z'² .
L'énergie mécanique totale du système décroît généralement au cours du temps: (dE_mt/dt) ≤ 0
à moins d'une suppression des frottements (K(v) = 0).

2°) La dérivation proposée, qui fait intervenir une intégrale particulière du mouvement (z = vt), est hautement fantaisiste, et les calculs relèvent d'un mauvais bricolage.

Le mieux (d'autres l'ont déjà dit) est d'en revenir sagement à un ouvrage de niveau Terminale ou Bac + 1 .

[andretou]

Désolé si je suis brutal, mais la conclusion reste la même avec plus de rigueur.
Dans le cas particulier d'un mobile de masse m en chute libre verticale soumis à la seule force de son poids SANS FROTTEMENTS, l'énergie potentielle est en effet égale à :
où z est l'altitude du mobile


1/ Si l'on admet le principe de la conservation de l'énergie totale d'un système, alors à tout instant t :


avec et

d'où :

Par projection sur l'axe Oz :

soit :

or :

donc :

2/ En dérivant par rapport au temps :


3/ Puis en divisant par at :


D'où

Soit vectoriellement :

Dans le cas particulier d'un mobile en chute libre verticale SANS FROTTEMENTS, le PFD découle donc de la loi de conservation de l'énergie.
Reste à démontrer que le PFD découle de la loi de conservation de l'énergie également dans le cas de forces multiples...

[Opabinia]

... la conclusion reste la même avec plus de rigueur.

C'est bien précisément là que le bât blesse ...

En introduisant allègrement les relations intégrales (z = z₀ - (a/2)t² , v = at), liées à l'intervention d'une force motrice constante (le poids), tu nous ressert le même salmigondis désormais épicé:
a) par l'inversion de l'orientation de l'axe vertical (z'z), l'expression de l'énergie potentielle passant de

E_p = - P.z (version 1) à E_p = + P.z (version 2)

b) par une erreur de signe affectant la vitesse

z = z₀ - (a/2)t² impliquant v = - at , et non: v = at .

Sans même parler de la réapparition tout aussi acrobatique des vecteurs en fin de "démonstration".

Ce n'est ni fait, ni à faire ... La consultation d'un livre pour lycéens devient urgente.

[chris28000]

Mais si on part du principe de la conservation de l'énergie d'un système, ne peut-on établir le PFD à l'aide de transformations mathématiques ?
!

la conservation de l'energie, c'est la version integrale du P.F.D.
m.dv/dt=F
donc mdv/dt.dl=F.dl
donc mdv/dt.v.dt=F.dl
donc m.dv.v=F.dl
donc d(1/2.mv²)f=F.dl
si F dérive d'une energie potentielle F=-grad(Ep)
donc F.dl=-dEp
donc d(1/2.m.v² +Ep)=0
donc 1/2.m.v² +Ep=constante
la formule de l'énergie cinétique vient du P.F.D!!!!!
la formule de l'energie potentielle vient du PFD

maintenant demontrez moi que 1+1=2

[Opabinia]

si F dérive d'une energie potentielle F=-grad(Ep)

Autrement dit s'il n'intervient pas de force de frottement ...

[andretou]

1°) L'énergie mécanique totale d'un système ne se conserve qu'en l'absence de forces de frottement...

Si tu veux tenir compte des forces de frottements, alors le système n'est plus seulement le mobile mais aussi le fluide dans lequel il tombe.
Et dans ce cas, une partie de l'énergie cinétique du mobile est transférée aux molécules d'air, et l'énergie mécanique totale du système (mobile + fluide) est alors conservée...
Ne crois-tu pas qu'une petite révision de la notion de système telle qu'abordée au lycée te ferait le plus grand bien ?...

[andretou]

la formule de l'énergie cinétique vient du P.F.D!!!!!
la formule de l'energie potentielle vient du PFD

Bien vu ! Merci

[Deedee81]

Bonjour,

Ne crois-tu pas qu'une petite révision de la notion de système telle qu'abordée au lycée te ferait le plus grand bien ?...

Holà, attention là, c'est limite incorrect ce que tu dis là. Surtout à Opabinia qui connait très bien son sujet alors que tu es un profane en science.

[Deedee81]

J'ajouterai qu'il a raison.

En mécanique classique on ne considère que l'énergie cinétique, l'énergie mécanique et diverses formes (électrique par exemple) macroscopique.
Et le frottement est une force dite non conservatrice : elle ne peut dériver d'un potentiel qui n'est valable que pour les forces conservatives. Et Opabinia disait bien l'énergie mécanique totale (qui ne concerne QUE ces formes d'énergie).

La chaleur n'est pas considérée en mécanique classique. C'est en thermodynamique ou en thermique qu'on en tient compte. C'est Watt qui historiquement a montré qu'il y avait conservation (conversion d'énergie mécanique en chaleur).

Enfin, la chaleur comme énergie cinétique microscopique, là il faut attendre la physique statistique (et la mécanique quantique n'est plus très loin), Maxwell, Boltzmann etc...

[andretou]

Excellente vidéo, la démarche de Newton enfin éclairée !
https://youtu.be/5jP3jbNTVwk

[chris28000]

Et le frottement est une force dite non conservatrice : elle ne peut dériver d'un potentiel qui n'est valable que pour les forces conservatives.

Dans un système à n corps, la force exercée sur le corps p par le corps q dérive d'un potentiel V(rp-rq), mais cette force n'est pas conservative car le corps q n'est pas immobile.

[cosmologiste 88]

Bonjour.
Je pense que vous avez maintenant votre réponse avec tous ce que vous ont dits les autres utilisateurs mais j’aimerais quand même vous indiquer un livres qui est très intéressant : https://www.cultura.com/le-minimum-t...889151158.html.
Ce livre est un livre-cours qui est sur la mécanique classique, je vous indique ci-dessous le sommaire pour que vous soyez sur que se que il y a dedans vous intéresse :
- la nature de la physique classique
- Espace, trigonométrie, et vecteur
- Le mouvement
- Le calcul d’intégrale
- Loi de la dynamique
- Différentiation partielle
- Systèmes à plus d’une particule
- L’énergie
- Le principe de moindre action
- Symétries et lois de conservation
- Mécanique Hamiltonienne et invariance par translation dans le temps
- Le fluide de l’espace des phases et le théorème de Gibbs-Liouville
- Les crochets de Poisson, le moment angulaire, et les symétries
- Forces électriques et magnétiques
- Forces centripètes et orbites planétaires
Il n’y a pas tout sur la mécanique classique mais il y a le minimum à savoir. Par contre je préviens à l’avance, ce n’est pas une promenade de santé, on se tape les maths, ce n’est pas de la vulgarisation. De plus il y a les lois de la dynamiques de Newton donc je pense que ce livre peut vous intéressez. Je ne suis pas là pour faire la promotion de ce livre mais je vous le recommande.
Bonne journée.

[Deedee81]

Salut,

mais cette force n'est pas conservative car le corps q n'est pas immobile.

Il doit y avoir une grosse confusion. Une force conservative n'a rien à voir avec un corps immobile ou pas.

[chris28000]

bonsoir,
supposons un corps A immobile à une position rA dans un repère galliléen.; A exerce une force en 1/(rB-rA)² sur tout corps étant à la position rB
On considère un corps B qui circule sur une trajectoire fermée: le travail de la force exercée par A sur B est nul. la force est conservative, le potentiel est en 1/||(rB-rA)||
Mais si pendant que B circule sur une boucle fermée, A s'est déplacé, le travail de la force exercée par A sur B n'est pas nul.
Et pourtant la force exercée par A sur B découle bien d'un potentiel en 1/||(rB-rA)|| mais rA dépend du temps

[albanxiii]

Je pense que vous avez maintenant votre réponse avec tous ce que vous ont dits les autres utilisateurs mais j’aimerais quand même vous indiquer un livres

Vous l'avez perdu ici, exactement (rappel : aucun effort, jamais aucun effort, toujours demander aux autres de les faire, ne parler que de choses approximatives qu'on ne maîtrise pas, si possible être incapable de définir de quoi on parle, faire dévier les discussions tous les deux messages, ne pas lire les réponses, etc. bref, regardez l'historique du bonhomme pour comprendre).

[Opabinia]

... On considère un corps B qui circule sur une trajectoire fermée ...

IL intervient donc une autre force, telle que la résultante impose à ce mobile un mouvement arbitrairement choisi.

... Mais si pendant que B circule sur une boucle fermée, A s'est déplacé, le travail de la force exercée par A sur B n'est pas nul.
Et pourtant la force exercée par A sur B découle bien d'un potentiel en 1/||(rB-rA)|| mais rA dépend du temps ...

Le système évoqué est vraiment très mal défini.

1°) S'il n'y a que deux corps en interaction et en l'absence de forces de frottement, le mouvement général de l'ensemble résulte de la composition:
a) du mouvement rectiligne uniforme de son barycentre (G),
b) du mouvement fictif d'un corps ponctuel unique de masse réduite µ = m_Am_B/(m_A + m_B) autour du point précédent et sous l'effet de la même loi de force.

2°) Le système d'équations devient généralement insoluble à partir de 3 corps; pour un système isolé, la conservation de l'énergie mécanique totale prend la forme:

Σ_i=1^N-1Σ_j=i+1^N(E_pij) + Σ_i=1^N(m_iv_i²/2) = C^te .

[Deedee81]

Salut,

Bien sûr, mais j'insiste, ce n'est pas ce que signifie conservatif. Ca ne signifie pas que le travail exercé par A sur B doit être nul !!!!
https://fr.wikipedia.org/wiki/Force_conservative

J'ai l'impression que tu confonds avec un autre mot : statique, constant, fermé, isolé ????

[gts2]

Le problème soulevé est celui d'une énergie potentielle dépendant du temps, et dans ce cas, en effet, la notion d'énergie potentielle devient moins utile.
On peut retrouver les propriétés d'un système conservatif en prenant comme système {A,B}.

C'est le problème des énergies potentielles dans un champ de force qui "oublient" l'origine du champ.
Pour retomber sur une énergie potentielle "utile" et utilisable, il faut considérer les deux côtés de l'énergie potentielle et considérer l'énergie potentielle d'interaction {A,B}

[Deedee81]

Salut,

Ce point délicat m'avait échappé. Gts2, merci de tes précisions. Note qu'un potentiel dépendant du temps peut quand même être utile car ça facilite les calculs de travailler avec un potentiel. Mais c'est vrai que les potentiels dépendant du temps ça peut vite devenir inextricable.

[chris28000]

IL intervient donc une autre force, telle que la résultante impose à ce mobile un mouvement arbitrairement choisi.


Le système évoqué est vraiment très mal défini.

1°) S'il n'y a que deux corps en interaction et en l'absence de forces de frottement, le mouvement général de l'ensemble résulte de la composition:
a) du mouvement rectiligne uniforme de son barycentre (G),
b) du mouvement fictif d'un corps ponctuel unique de masse réduite µ = m_Am_B/(m_A + m_B) autour du point précédent et sous l'effet de la même loi de force.

2°) Le système d'équations devient généralement insoluble à partir de 3 corps; pour un système isolé, la conservation de l'énergie mécanique totale prend la forme:

Σ_i=1^N-1Σ_j=i+1^N(E_pij) + Σ_i=1^N(m_iv_i²/2) = C^te .

justement, dans un système à 3 corps, l'energie mécanique totale du système est constante,
mais l'énergie mécanique d'un corps n'est pas constante.

[Deedee81]

Salut,

justement, dans un système à 3 corps, l'energie mécanique totale du système est constante,
mais l'énergie mécanique d'un corps n'est pas constante.

Ben oui, et alors ?

[chris28000]

et bien , l'énergie mécanique d'un seul corps C1 , dans le référentiel barycentrique du système à 3 corps n'est pas constante, donc la résultante des forces qui lui sont appliquées n'est pas conservative.
Pourtant on peut retrouver cette force , en faisant un gradient par rapport au vecteur r1 de C1 de la somme du potentiel d'interaction de C2 sur C1 et du potentiel d'interaction de C3 sur C1

[Deedee81]

Salut,

et bien , l'énergie mécanique d'un seul corps C1 , dans le référentiel barycentrique du système à 3 corps n'est pas constante, donc la résultante des forces qui lui sont appliquées n'est pas conservative.

Mais non !!!!! Je le répète : conservatif, ce n'est pas du tout ça que cela signifie.
EDIT voir les liens, ça été donné

[chris28000]

extrait du lien:
Une force conservative vérifie la conservation de l'énergie mécanique si son potentiel ne dépend pas explicitement du temps. Les forces conservatives sont ainsi nommées car l'énergie mécanique d'un système soumis à l'action de telles forces reste constante : l'énergie mécanique du système se conserve

[Deedee81]

extrait du lien:
Une force conservative vérifie la conservation de l'énergie mécanique si son potentiel ne dépend pas explicitement du temps. Les forces conservatives sont ainsi nommées car l'énergie mécanique d'un système soumis à l'action de telles forces reste constante : l'énergie mécanique du système se conserve

L'énergie TOTALE (là c'est vrai que le mot manque). Si tu décomposes en sous-éléments ce n'est plus vrai (il n'y aurait plus beaucoup de système conservatif).

Je préfère dire que l'énergie ne dépend pas du chemin et ainsi peut dériver d'un potentiel. Avec les "petites" complications précitées sur les potentiels dépendant du temps.