Refroidissement d'un système coeur-coquille

[Methanoate]

Bonjour,

Dans mes lectures, je suis tombé sur la résolution d'un exercice que je trouve un peu surprenante...

Il s'agit de déterminer la température au centre d'un système cœur-coquille en fonction du temps lors de son refroidissement dans l'air.

Le système de masse m et de capacité thermique massique c est constitué d'une sphère de rayon R1 à la température T1 entourée d'une coquille de rayon R2 à la température T2.

La résolution se fait en deux parties :

1) Conduction thermique de la sphère vers la coquille

-mc dT1/dt = 1/Rth (T1 - T2), où Rth est la résistance thermique du système cœur-coquille

2) Convection dans l'air à partir de la surface de coquille

- mc dT2/dt = h S (T2 - Tair), où h est le coefficient de convection

La résolution numérique des ces deux équations donne T1(t).

Que pensez-vous de ces équations et de cette méthode ? Les équations me semblent fausses...

Il est précisé dans l'énoncé que ce problème peut aussi se résoudre plus classiquement en utilisant l'équation de la chaleur dans les deux milieux et les conditions aux limites mais apparemment la résolution est beaucoup plus complexe...
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[gts2]

Bonjour,

La plus grosse approximation que je vois dans votre résolution est l'utilisation de T1 température de la sphère ce qui suppose que la température à l'intérieur est uniforme et suppose donc que l'on néglige les phénomènes de propagation de la chaleur dans la sphère.

[chris28000]

Bonsoir,
1) mc dT1/dt = 1/Rth (T1 - T2) est correcte si T1 est uniforme (il n'y a pas - devant)
2) la coquille a deux flux :1/Rth (T1 - T2) + HS(T2_Tair) mais on ne connait pas sa masse

[gts2]

Je vois aussi un problème de définition
Dans 1) 1/Rth (T1 - T2) suppose une coquille de rayon intérieur R1à la température T1 et extérieur R2 à la température T2

Donc le problème soulevé pour T1 est le même pour T2.

"Rth est la résistance thermique du système cœur-coquille" : quelle est la signification exacte de ce Rth ? Au vu de l'équation 1, on a plutôt tendance à dire Rth = résistance de la coquille.

Un schéma et le sujet exact permettrait d'éclaircir les choses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Methanoate]

Bonjour

Merci pour vos réponses.

Vous trouverez en PJ le schéma exacte de l'exercice .

On cherche l'expression de la température de la sphère en cuivre T_cu au cours du temps. Les transferts thermiques par conduction dans le système et par convection dans l'air sont pris en compte. On suppose que T_Cu > T_Zn.

Les équations couplées données dans la correction de cet exercice sont les suivantes :

-mC dT_Cu/dt = 1/R_th (T_Cu - T_Zn) (1)
-mC dT_Zn/dt = h S_Zn (T_Zn - T_ext) (2)

avec R_th = R_Al + R_Zn= 1/(4 π λ_Al) (1/R_Cu -1/R_Al)+1/(4 π λ_Zn) (1/R_Al - 1/R_Zn)

m est la masse totale du système et C sa capacité thermique massique. h est le coefficient de convection dans l'air. S_Zn = 4 π R_Zn² est l'aire de la surface extérieure en contact avec l'air.

- Je ne comprends pas bien les hypothèses permettant d'écrire ces deux équations.

- Dans les équations (1) et (2) ne devrions-nous pas avoir à gauche respectivement -m_Cu C_Cu dT_Cu/dt et -m_Zn C_Zn dT_Zn/dt ?

- Il me semblait que l'expression du flux thermique en fonction de la résistance thermique du système (Φ = ΔT/R_th) n'était valable qu'en régime stationnaire (si T_Cu et T_Zn indépendants du temps) donc je ne comprends pas pourquoi des termes en dT_Cu/dt et dT_Zn/dt interviennent ! D'un autre côté, si un flux thermique part de la sphère en cuivre, il est normal que la température T_cu diminue et donc varie...

[gts2]

Bonjour,

La résistance thermique est aussi valable en régime quasi-stationnaire, cela implique que le temps caractéristique de diffusion soit petit par rapport à celui de variation de température.
Dans le cas d'une coquille, cela implique que celle-ci soit fine, au vu du dessin cela ne parait pas être le cas.

D'autre part les notations du texte sont peu pertinentes : T_Zn n'est pas la température du zinc mais celle de la surface extérieure du zinc, T_Al étant la température de la surface intérieure du zinc.
Ce simple problème de notation conduit à (2) qui n'a pas de sens.

Dans l'approximation quasi-stationnaire, le flux se conserve et h S_Zn (T_Zn - T_ext)=-m_CuC_Cu dT_Cu/dt ; les c et m devant bien sûr être indexé par le métal considéré.

[gts2]

Autre chose : a-t-on des valeurs numériques ?

[chris28000]

-mC dT_Zn/dt = h S_Zn (T_Zn - T_ext) (2)

bonjour
on a pour le zinc (2)mC dT_Zn/dt = -h S_Zn (T_Zn - T_ext) + (Tcu-Tzn)/Rth
donc en tout mcu.C.dTcu/dt +mZn.C.dTzn/dt =-h S_Zn (T_Zn - T_ext)

[chris28000]

En fait c'est plus compliqué que çà ,la température de l'aluminium peut varier.

[Methanoate]

chris28000 et gts2,

Merci beaucoup pour vos remarques qui confirment mes doutes sur cette correction...

Non il n'y a pas de valeur numérique proposée dans l'énoncé.

Une dernière chose qui m'interroge...Si on appelle T_Cu la température, supposée uniforme, à l'intérieur de la sphère en cuivre, la température sur sa surface est-elle aussi égale à T_Cu comme le suppose cet exercice ?

Dans quelle(s) condition(s) cette égalité serait-elle valide ?

Sophie

[gts2]

Supposer T_Cu uniforme suppose un système mince soit une petite sphère.
En écrivant que le temps caractéristique de diffusion est très petit devant le temps de chauffage (temps caractéristique de l'EDO d'ordre1), cela donne, à la louche (confusion coquille / membrane), en oubliant l'aluminium, et sauf erreur de calcul :

Pour ce qui est température de surface= température intérieure, la continuité de T doit suffire.