Dérivation des équations d'Euler-Lagrange à partir du principe de moindre action

[toucouleur27]

Bonjour,
Je me pose une question sur la dérivation du principe de moindre action, ou plus précisément sur la dérivation équations d'Euler-Lagrange à partir du principe de moindre action. Je comprends bien qu'il s'agit de trouver les points critiques de l'action et donc cela revient à annuler sa "dérivée" en faisant varier infinitésimalement les chemins d'action. Toutefois lorsqu'on le fait, on ne considère les dérivés partielles que par rapport aux coordonnées généralisées et à leurs dérivées temporelles, mais non la dérivée partielle par rapport au temps qui figure pourtant explicitement dans les paramètres du lagrangien L(q_i, dq_i/dt, t). Comment expliquer cela ? Si l'on considérait la dérivation totale il faudrait faire la somme des dérivées partielles suivant tous les paramètres, alors pourquoi omettre celle suivant le paramètre temporel ?
Merci d'avance pour vos réponses et éclaircissements.
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[Antonium]

Bonjour,

Si je ne me trompe pas on fait varier la trajectoire du système mais le temps ne varie pas.
Pour une trajectoire on a le lagrangien et on considère la variation . Ainsi l'action est une fonctionnelle de la trajectoire mais une fonction de . On peut donc la dériver par rapport à et la dérivée partielle temporelle donne :

[toucouleur27]

Ah oui merci ! Effectivement on fait varier le chemin, mais non le temps puisque c'est l'évolution dans l'espace des phases qui nous intéresse. Ça se tient bien.

[chris28000]

bonjour,
on ne cherche pas à priori d'effectuer des dérivées partielles, mais on n'y est contraint par les maths
on considère deux trajectoires possibles entre x1,t1 et x2,t2
action1=integrale(t1-> t2) de L(x,v,t) action2 =integrale(t1-> t2) de L(x+dx,v+dv,t)
action1-action2=integrale(t1-> t2) de (L(x+dx,v+dv,t) -L(x,v,t))

mais (L(x+dx,v+dv,t) -L(x,v,t))= d_partielle(L)/d_partielle(x). dx+ d_partielle(L)/d_partielle(v). dv

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Bonjour. N'oubliez pas que l'action est l'intégrale de la fonction de Lagrange: . Par conséquent elle ne dépend pas de t. Vous cherchez les points stationnaires de l'action, pas de la fonction de Lagrange.