dégénérescence d’un niveau d'énergie d’une particule d’un gaz parfait

[Alex1504]

Bonjour à tous,
Je profite de mes vacances pour étudier un sujet qui m'attire depuis un certain temps: la thermodynamique statistique. Pour cela, j'utilise ce site: http://o.castera.free.fr/pdf/Thermod...tatistique.pdf
La cours est clair jusqu'aux pages 16-17 où Olivier Castéra s'intéresse à la dégénérescence d'un niveau d'énergie d'une particule d'un gaz parfait.
Afin de déterminer la dégénérescence (i.e poids statistique) d'un niveau d'énergie E_i d'une particule de gaz, il fait la chose suivante:

Il utilise l'équation de Schrödinger et trouve les différents états quantiques associés à l'énergie E_i. Chacun de ces états quantiques est caractérisé par un triplet (n_x,n_y,n_z). Les calculs avec Schrödinger ont montré qu'il y a équivalence entre "(n_x,n_y,n_z) est à la surface d'une certaine ellipsoïde (caractérisée par des axes de longueur A,B,C exprimés en fonction des paramètres du problème)" et "(n_x,n_y,n_z) est un jeu de nombres quantiques associés à une particule d'énergie E_i". A mon sens, il faudrait dénombrer les triplets entiers naturels sur la surface de l'ellipsoïde pour trouver la dégénérescence (mais j'avoue ne pas avoir de méthode).

Pourtant Olivier Castéra ne réalise pas de dénombrement. Il commence par dire que tous les triplets d'entiers naturels à l'intérieur de l'ellipsoïde (et pas forcément à sa surface) sont associés à l'énergie E_i (ce qui m'a l'air déjà faux car si c'était vrai, le point (0,0,0) serait associé à n'importe quelle énergie E alors qu'il correspond à une énergie nulle). Puis il calcule le volume de la partie intérieure de l'ellipsoïde où les triplets sont positifs alors que je ne vois même pas le rapport entre ce volume et le nombre de triplets à l'intérieur ou à la surface de l'ellipsoïde... Puis ça devient du chinois pour moi (indétermination égale à h^3 !?)

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît? Je sais que ce cours est un petit pavé mais je vous ai mis dans le contexte (donc pas besoin de parcourir les 16 pages précédentes). Merci d'avance!
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[gts2]

Bonjour,

Vous avez raison, ce qui est calculé est le nombre correspondant à "énergie inférieure à " et non égale (voir archives-ouvertes page 94).

C'est bien un dénombrement (approximatif, continu vs discret) : dans un cube (x=0..n y=0..n z=0..n) de volume n^3, on a (n+1)^3 triplets d'entier.

Pour finir, il dit que si le nombre est inférieur à 1, il n'y pas d'état possible, donc qu'un état quantique occupe ce volume minimal (voir référence ci-dessus page 117)

[Alex1504]

Bonjour, merci beaucoup. Avec le passage au continu du site que vous m’indiquez, je calcule Z de la façon suivante: (et ce en tridimensionnel). Or il faudrait d’après Oliver Castéra que l’on ait du (kT)^3/2... que je n’ai pas. Qui se trompe?

[gts2]

Bonjour,

Réflexe de base : votre formule n'est pas homogène.

Sinon le pb est au niveau du changement de variable :
et soit bien en facteur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Une fonction de partition est sans dimensions.

[Alex1504]

Un calcul simple et déjà une erreur: j’ai fait fort! Merci...