Démonstration rigoureuse du théorème de Kenelly

[Alex1504]

Bonsoir,
Dans mon cours d'électrocinétique, je trouve une démonstration du théorème de kenelly analogue à celle présentée sur Wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...me_de_Kennelly
L'idée est de dire: "Le montage en étoile et celui en triangle sont équivalents (Proposition (A)) si et seulement si lorsqu'on annule deux des trois potentiels Va, Vb, Vc en les remplaçant par des masses, l'impédence entre la masse et le potentiel resté non nul est le même dans les deux circuits (Proposition (B))".
Et là je coince. Déjà, je n'ai trouvé nulle part ce que signifie exactement la phrase "ces deux circuits sont équivalents". Je suppose qu'on peut traduire par: "pour Va, Vb, Vc fixés, les courants dans les trois fils passant par les points A,B,C sont les mêmes dans les deux circuits". Ca me semblerait logique mais je n'en suis pas certain. Mais partons de cette définition pour la suite.
J'admets donc sans problème qu'une condition nécessaire à l'équivalence des circuits est bien la proposition (B). Mais en quoi est-ce suffisant? Wikipedia invoque le théorème de superposition. Pourtant, le théorème de superposition donne que les intensités de chaque circuits pour Va, Vb, Vc quelconques sont données par la somme des intensités dans les cas où on annule deux des trois potentiels... et c'est tout! Or dans le cas où on a juste (B), tout ce que l'on peut dire, c'est que quand Vb et Vc sont nuls, par exemple, alors l'intensité dans le fil qui passe par A est la même dans les deux circuits. Mais ça ne donne aucune information sur l'intensité passant par B et celle passant par C. Donc pas de superposition possible (on aurait besoin de i_A, i_B, i_C dans chaque cas d'annulation de deux des trois potentiels pour obtenir en superposant le i_A, i_B, i_C total par superposition).
Je doute que Wikipedia se trompe, donc il y a une erreur dans ce que j'ai écrit... mais où?
Pourriez-vous me l'indiquer svp?
(et mince j'ai écrit Kennelly avec un seul "n" dans le titre de la conversation)
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[gts2]

Je ne crois pas qu'il y ait d'erreur dans ce que vous écrivez : si l'on prend que le schéma VB=VC=0, on obtient la somme de YAB et YBC, ce qui fait qu'avec ce seul schéma, vous ne pouvez assurer que les courants IB soient identiques en triangle et étoile, ce sont les deux autres schémas qui permettront d'obtenir séparément YAB et YBC et assurer que dans le premier schéma, les trois courants sont identiques en étoile et triangle.

Une interprétation possible : les courants et les tensions étant imposés, on peut calculer les résistances (uniques) en triangle et en étoile permettant de réaliser cet ensemble de valeur, donc il y a bien une équivalence entre triangle et étoile. Cette équivalence étant établie, il suffit de prendre des cas particuliers pour déterminer les relations.

[Alex1504]

Merci, je comprends l'interprétation de l'équivalence. Mais je ne vois pas en quoi les 2 autres schémas suffisent à assurer cette équivalence.
Je m’explique: on veut i_a égal dans les 2 configurations pour Va, Vb et Vc quelconques (définition de l’equivalence)
La condition sur les impédances donnée par le schéma avec Va non nul assure i_a égal dans les 2 configurations (étoile/triangle) si Vb et Vc sont nuls. Et qu’en est-il s’ils ne sont pas nuls? Les schémas avec Vb non nul puis Vc non nul ne donnant aucune indication sur i_a, on en sait rien. On a juste i_a dans le cas général qui est donné par la somme des i_a dans chacun des trois schémas (dont deux schémas où on ne sait rien de i_a...)
Donc en quoi est-ce suffisant d’avoir les conditions sur les impédances données par les 3 schémas pour avoir l’équivalence des circuits?

[gts2]

On raisonne schéma par schéma ((VB=VC=0) puis AC puis AB), mais le résultat n'est acquis qu'une fois les trois schémas étudiés.

Si on calcule IB dans le cas (VB=VC=0), on trouve bien (avec les formules finales) que IB est identique en étoile et triangle, donc le principe de superposition est sauf.

Mais les trois calculs ne s'appuient pas sur le principe de superposition (même s'ils sont cohérents avec !), ils servent simplement à déterminer trois équations à trois inconnues à partir de schémas les plus simples possible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alex1504]

D’accord, si je comprends bien on a une analyse synthèse:
Analyse:
Si les montages sont équivalents alors en imposant 2 des 3 potentiels nuls, on doit avoir la même impédance pour les 2 montages entre le potentiel non nul et la masse. On en déduit la valeur des impédances à mettre dans le circuit en Y en supposant les 2 montages équivalents
Synthèse:
Maintenant qu’on a ces impédances, réciproquement, on vérifie que les intensités sont les mêmes (on vérifie que les montages sont bien équivalents). Pour cela on applique le théorème de superposition. Dans chacun des 3 schémas on montre que les 3 intensités sont les mêmes et donc par superposition, les 3 courants sont les mêmes dans le cas général.

Donc c’est bien rigoureux. Merci!