Bonjour,
D'après le principe de conservation de l'énergie mécanique l'énergie cinétique de la bille est constante sur toutes les courbes car l'énergie potentielle est la même (même hauteur), il en résulte que les billes ont la même vitesse finale, et donc plus la trajectoire est longue plus le temps est court.
Celà dit pourquoi la bille sur la trajectoire 3 met plus du temps que la trajectoire 2?!!!
Cordialement
https://youtu.be/Z-qaXZeJT4s
Dernière modification par philomaxxx ; 27/10/2020 à 10h57.
Bonjour,
La ligne droite (qui serait en effet la réponse la plus intuitive) ne marche pas, mais celle que vous indiquez (si j'ai bien compris votre dessin) est encore pire
La courbe optimale est un arc de cycloïde, et on ne peut pas espérer retrouver cela sans un calcul différentiel qui n'est d'ailleurs pas très facile : cela a été un des succès de Newton au 17ème siècle, mais il faut au moins le niveau math spé (ou L2 maths) pour le résoudre
Dernière modification par Resartus ; 27/10/2020 à 16h56.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Bonjour. Que voulez-vous dire par "l'énergie cinétique est constante sur toutes les courbes?". Non, ce n'est pas vrai. On part d'une vitesse nulle et il y a une accélération. Mais immédiatement sur la courbe rouge l'énergie potentielle est inférieure à celle sur la courbe bleue du haut, donc la vitesse au même instant doit forcément être supérieure par conservation de l'énergie. Si elle est très proche de la droite, donc de longueur très proche, le temps de chute sera inférieur. Le raisonnement est partiellement vrai aussi pour la courbe bleue du bas, mais le problème là est qu'elle est plus longue: on a beau aller plus vite, le chemin étant plus long il faut plus de temps pour arriver au bout. Entre les deux, il y a un optimum qui est la brachistochrone recherchée. Le problème a été posé comme défi par Johann Bernoulli. La solution a été apportée par plusieurs mathématiciens de l'époque dont Newton qui a publié la sienne, très lapidaire et concise, de manière anonyme (il avait horreur de ce genre de défi et trouvait cela puéril au point de refuser de signer sa solution; il était connu pour ne pas avoir un caractère facile). Bernoulli a deviné qu'il s'agissait de Newton et a écrit qu'on reconnaissait le lion à sa griffe.
Le fait qu'ils aient été capables de le résoudre est remarquable car la méthode générale pour ce type de problèmes a été formalisée des années plus tard par Euler et Lagrange. La méthode de résolution fait partie de ce que l'on appelle le calcul des variations: on a une fonctionnelle, c'est-à-dire une application qui donne un nombre à partir d'une fonction: ici le nombre est le temps de chute, la fonction est la trajectoire et il faut trouver un extrémum. La méthode transforme le problème en une équation différentielle qu'il faut résoudre. C'est un peu analogue au calcul d'un extrémum d'une fonction de variable réelle: annuler sa dérivée donne une équation algébrique ou transcendante à résoudre. Ici l'inconnue est une fonction, c'est une équation différentielle qu'il faut résoudre.
Bonjour ThM55 et Resartus
En fait j'ai mal compris le problème du trajet optimal et donc ma question de départ est une totale confusion. Néanmoins cela n'empêche de constater que la courbe brachistocrone a quelque chose de si spéciale et de si mystérieuse !? Peut être même qu'elle ait un rapport direct avec la structure ultime de l'espace physique.
Je ne vois pas ce qu'il y a de mystérieux. Il s'agit d'un simple problème d'extrémum dans un contexte mathématique bien maîtrisé (trajectoires bornées et dérivables, espace localement compact, etc). Pas de quoi en faire un fromage à mon avis, on n'est plus au XVIIème siècle. Cette constatation n'enlève rien au mérite des mathématiciens du passé: nous somme des nains qui se hissent sur les épaules de géants. Pour avoir des problèmes d'extrémum beaucoup plus complexes, il faut voir ce qui se fait dans l'apprentissage automatique en intelligence artificielle.
Comme le dit ThM55, cette courbe n'a rien de spécial ni de mystérieux, si ce n'est d'être la solution à un joli problème.Envoyé par ThM55
Celà dit, quand tu dis "Peut être même qu'elle ait un rapport direct avec la structure ultime de l'espace physique", tu n'es pas loin. En effet, cette courbe est bien le résultat d'un optimum dit du "principe de moindre action", déjà identifié par Fermat, mathématisé par Lagrange et Euler, et qui semble fondamentalement inscrit dans le fonctionnement de la nature.
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
En effet, les théories modernes des interactions fondamentales: relativité générale pour la gravitation, théories de jauge pour l'interaction électrofaible et pour l'interaction faible, les théories de grande unification, la supergravité, la théorie des cordes, etc, toutes ces théories sont décrites par un "lagrangien" qui est une fonctionnelle dont les extrémums donnent les solutions classiques. La vraie théorie est bien sûr quantique, on n'a plus un extremum strict, plutôt une approche probabiliste. Dirac et Feynman (et aussi Schwinger, moins connu du grand public, avec son principe quantique d'action dont je suis un grand fan) nous ont appris comment traiter le cas quantique. Le lagrangien ainsi que le calcul des variations sont au coeur du sujet, et ce calcul est un lointain descendant de ce modeste problème imaginé par Bernoulli.
Dernière modification par ThM55 ; 28/10/2020 à 21h37.
bonsoir,
existe t'il une explication qualitative pour justifier l'allure de cette courbe qui minimise la durée?
Bonjour. Oui, explication déjà donnée dans ce fil. En gros :
1) le trajet direct est le plus court certes, mais un trajet en dessous de cette trajectoire fait perdre plus rapidement de l'énergie potentielle, donc gagner plus vite de l'énergie cinétique. Une manière de faire celà est d'avoir au début de la trajectoire un trajet quasi vertical.
2) Mais ce trajet quasi vertical ne peut pas durer trop longtemps, sinon certes on va vite, mais la longueur du trajet augmente trop.
La solution est entre les deux, elle reprend la caractéristique du 1) à savoir une tangente verticale au point initial.
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Bonsoir chris28000. Oui, je pense l'avoir suggérée dans mon message #3. Je vais essayer d'être plus précis.
Supposons connue la solution. Il se fait que c'est un arc de cycloïde, et qu'elle est courbe et concave. On peut être sceptique, ne pas croire que c'est la solution et essayer de l'optimiser encore en lui appliquant de petites déformations locales. Il est légitime d'avoir l'impression que c'est possible: après tout il y a une infinité de possibilités de déformations puisqu'il y a une infinité d'abscisses où on peut appliquer la déformation. La situation correspond donc à un point donné dans un espace à nombre infini de dimensions: il y a dans ce cas une infinité de directions à notre disposition pour déplacer ce point. Il y a une loi de conservation: on part avec une énergie fixe (l'énergie potentielle, la masse étant initialement au repos): si l'énergie potentielle est en moyenne plus grande, la vitesse sera en moyenne plus faible et à l'inverse une énergie potentielle plus faible donnera une énergie cinétique en moyenne plus grande.
Comme la solution donnée est courbe et concave, elle est plus longue qu'une courbe "plus droite" ou moins courbée. Si on essaie de trouver une solution plus courte (donc a priori plus rapide à parcourir) de cette manière en la rectifiant localement, on aura une courbe qui sera en moyenne un peu au-dessus de celle dont on est parti. Mais du fait de la conservation de l'énergie, cela veut dire que la vitesse du mobile sera plus faible puisque son énergie potentielle est plus grande. Par contre si on cherche une courbe située plus bas, donc avec une énergie potentielle plus faible et une énergie cinétique moyenne plus grande, donc une vitesse plus grande, on devrait aller plus vite certes mais le chemin à parcourir sera plus grand.
Il faut donc trouver un compromis entre la longueur de la courbe, donc plus rapide ou plus lente à parcourir, et la vitesse que l'on peut atteindre dessus, qui donne un effet opposé. Les deux effets sont en compétition.
Une introduction élémentaire au calcul des variations est donnée dans le cours de physique de Feynman, disponible gratuitement en anglais:
https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_19.html
Il existe une traduction française, il faut alors acheter le livre (volume 2, électromagnétisme et matière). C'est un cours introductif de physique générale, ce n'est pas habituel de parler du principe de moindre action à ce niveau. C'est pourquoi cela apparaît comme une digression dans son cours. Feynman fait un raisonnement assez similaire à ce que j'ai essayé de faire, mais il est manifestement plus doué pour ça que moi. Ce qu'il montre n'est pas la brachistochrone, c'est un cas plus compliqué, celui du mouvement général d'un corps ponctuel dans un potentiel et d'autres applications dont une avec un champ électrostatique. A priori on pourrait penser que ces problème sont des horreurs de très haute mathématiques mais en fait non, c'est très simple, du moins quand c'est Feynman qui l'explique.
En France l'enseignement des maths est malheureusement devenu un peu scolastique avec des exigences absolues de rigueur qui créent une énorme barrière à franchir à l'entrée. Cela peut décourager ceux qui s'intéressent d'abord à la physique, la chimie ou l'ingénierie. Il est bon d'avoir recours à des méthodes pédagogiques moins strictes telles qu'utilisées dans le cours de Feynman. J'aurais vraiment peur d'un cours de calcul des variations qui serait donné par un Bourbakiste. A la manière de Perec, je pourrais ajouter: je me souviens que le mathématicien Jean Dieudonné signalait au moins 10 "attentats à la rigueur" rien que sur la première page d'un cours de mécanique analytique. La rigueur est importante, mais je dirais par la suite, après avoir compris les mécanismes essentiels au niveau du physicien.
Merci, cela répond à ma question.
Ensuite en ce qui concerne Feynman, il parle de minimiser l'action du Lagrangien, ce qui permet d'expliquer (et d'obtenir) l'allure des trajectoires à énergie mécanique constante, quand le corps est uniquement soumis à des forces dérivant d'un potentiel (pas de frottement, pas de réaction d'un support), mais je connais un peu. j'ai même lu un livre qui trouve le Lagrangien à partir d'une extrapolation des travaux virtuels de d'Alembert.
Tu peux regarder la résolution du problème d'Abel https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00400153/document (t=f(h)) le temps en fonction de la hauteur ) et dans le ca cas où f(h)=cst) courbe tautochrone . https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_tautochrone.
Sans calcul variationnel ....
Dernière modification par azizovsky ; 01/11/2020 à 10h07.
