Derivation et intégration en physique

[Yosh2]

Bonjour
J’ai beaucoup de mal à saisir la manière dans la physique fait usage de la dérivation et de l’intégrale ,et j’ai en tête plusieurs questions qui me taraudent .
1/ au lycée on nous a dit que dx/dt n’était qu’une simple notation, mais mtn j’apprends qu’on peut la manipuler comme une fraction, mais qu’en fait ce n’est pas le cas pour la dérivée seconde . Pourquoi ?
2/ il existe la méthode de séparation de variable pour résoudre certaines équa diff , or je ne savais pas en maths qu’on pouvait intégre selon deux variable différentes, qu’est ce que ça signifie si on interprète l’intégrale comme l’aire sous la courbe? Comment fait on pour choisir les intervalles d’intégration ( d’après les corrigés des exos que j’ai vu les choix sont arbitraires au mieux parachutés )?
3/je ne comprends pas également ce qu’est la différentiel , ça ressemble à la dérivée mais pas trop, comment fait on pour la calculer ? On n’avait pas vu cette notion au lycée.
4/pour le travail élémentaire, la notation de la différentielle était différente , est-ce la même chose si oui pourquoi une notation différente ?

Merci d’avance pour vos réponses.
-----

[jacknicklaus]

Bonsoir

1) dx/dt est une notation pour les mathématiciens, mais on peut la manipuler "à la physicienne" comme une fraction, sans trop de risques. La raison profonde est que la dérivée est bien la limite d'un rapport de deux différences infinitésimales. En revanche dans d²x/dt², le d² se réfère à l'habitude mathématique de noter fof (f rond f) comme f², ce qui n'est pas une multiplication, de sorte que d²x/dt² n'est pas une fraction.

2) par exemple, une intégrale de type peut représenter le volume sous la nappe paramétrée par z = f(x,y) Les intervalles d'intégration sont rigoureusement définis selon les domaines à intégrer. Ca n'a rien d'arbitraire.

3) la différentielle est la différentielle totale d'une fonction de 2 variables f(x,y). Elle permet de représenter en une seule expression comment f varie selon les deux variables x et y. Tu verras plus tard une formidable notion : les formes différentielles, et là tout va s'éclairer d'un autre jour.

4) excellente question.
En physique (surtout en thermodynamique) on note et pour désigner, pour la 1ère, , une différentielle totale d'une fonction d'état (exemple : dU, dS). U étant une vraie fonction au sens du 3). Et pour la seconde, , des petites quantités de variables qui ne sont pas des fonctions d'état, mais représentent des quantités infinitésimales échangées comme la chaleur ou le travail :

On notera aussi, de manière cohérente, quand on s'intéresse non plus à de petites variations, mais à des différences macroscopiques

[Yosh2]

Bonjour
Merci pour tes réponses mais , il me reste encore quelque zones d’ombre
2/quand j’ai dit intégrer par rapport à deux variable je voulais parler de l’égalité ( pièce jointe manuscrite) , que signifie t elle en considérant l’intégrale comme aire.
Et pourquoi dans l’intervalle d’intégration, on aurait pas pu choisir 2v au lieu de v ,
Également le fait que la variable d’intégration soit également au bornes n’est ce pas un problème ?
3/ pour le moment il me semble qu’on a différentié que des fonctions à une variable, comment fait on dans ce cas ( exemple tiré d’un livre en pièce jointe ou ça ressemble à une dérivée),aussi comment se prononce et que signifie le d spécial dans l’expression de la différentielle ?
4/y a t il un changement lorsque on intègre par rapport à la différentielle classique ?
Merci

[gts2]

2/quand j’ai dit intégrer par rapport à deux variable je voulais parler de l’égalité ( pièce jointe manuscrite) , que signifie t elle en considérant l’intégrale comme aire.

Je ne suis pas sûr que l'interprétation en terme d'aire apporte quelque chose, il faut plutôt voir ici une primitive comme l'inverse de la dérivation.

Et pourquoi dans l’intervalle d’intégration, on aurait pas pu choisir 2v au lieu de v

C'est noté de manière un peu elliptique : il faut que les deux intégrales aient les mêmes bornes "physiques" donc v0 est à interpréter comme v(t=0) (t=0 est la borne inférieure de la deuxième intégrale) et v comme v(t) (t est la borne supérieure de la deuxième intégrale).
Voir également votre cours de mathématique sur les intégrales fonction de leur borne supérieure (et leur dérivation) :

Également le fait que la variable d’intégration soit également au bornes n’est ce pas un problème ?

Cela c'est une écriture de physicien ! Un mathématicien aurait écrit pour bien distinguer.

Pour le 3), vous n'avez pas du envoyer la bonne page, sur votre texte, on a Ep=Ep(r) une variable
Pour le 4) attendez le cours correspondant.

On est dans le cas fréquent où le physicien a besoin de notions mathématiques qui ne seront traités proprement qu'un peu plus tard, voire l'année suivante !

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Bonjour,

la notation est vraiment une notation horrible à éviter, où tout est mélangé. Plus correct aurait été

en distinguant clairement les différentielles muettes dv et dt, et la fonction V(T) et sa variable T

[FC05]

Tout à fait ... mais souvent après T devient une variable et du coup on le rechange en t ...

Alors c'est mal fait, on est d'accord, mais ça va plus vite.
Le vrai problème est de ne pas expliquer aux élèves que l'on fait mal et pourquoi.

[stefjm]

D'un autre coté, une variable muette est comme une variable locale en informatique. On peut la nommer comme on veut et il faut bien garder à l'esprit quelle est sa portée en tant que variable locale.

Le t du dt ne porte que sur la fonction à intégrer et non sur les bornes.
Le t de g(t) porte sur les t qui ne sont pas dans des intégrales (et les bornes n'y sont pas).

La notation est tout à fait compréhensible quand on connait les règles.

Perso, toute mes variable muettes s'appellent de la même façon. C'est tout l'intérêt d'une variable muette.

[Yosh2]

Bonjour ,
Merci à tous pour vos réponses, je commence à voir plus claire , (et je me rends que si je n’ai pas compris certains points c’est parce qu’il manquait des explications , le cours de ces livres n’est peut être pas aussi complet qu’ils ne le prétendent )
3/ j’ai bien envoyé la bonne page , ici pour faire «*rentrer*» l’expression de la force gravitationnelle au sein de la différentielle on a primitive -1/r^2 qui devient 1/r ( traitant ainsi la différentielle comme la dérivée or ce n’est pas la même chose ) c’est ce passage que je ne comprends pas , jacknicklaus m’avait proposer une formule pour calculer la différentielle d’une fonction à deux variable, or là j’ai une fonction à une seule variable, comment fait on dans ce cas?
4/ pouviez vous m’indiquer dans quel chapitre nous allons voir ça ( sachant que je suis en mpsi)
Merci

[gts2]

Pour le 3) d'un point de vue "calcul" on passe de à

Donc pour votre calcul

Pour 4, les différentielles n'arrivent qu'en deuxième année dans le chapitre 'calcul différentiel' (!), et tant qu'au vu d'un point de vue mathématique, il vous faudra une année de plus.