Mécanique quantique.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Sur le lien suivant, https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...hr%C3%B6dinger , et pour passer de l'expression de l'équation de Schrödinger vectorielle, à celle fonctionnelle, on est amené à calculer, les termes suivants, , et .
Est ce que vous pouvez m'expliquer pourquoi, , et à l'aide du produit scalaire, de la transformée de Fourier de la fonction d'onde, et de la base des vecteurs propres de l'espace de Hilbert des fonctions d'ondes ?

Merci d'avance.
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[ornithology]

Tu devrais dire a quelle ligne tu cales dans le wiki.

[albanxiii]

Bonjour,

C'est juste la (une) définition des notations de Dirac. Il faut prendre un cours et se pencher sur les postulats de la mécanique quantique.
Pour aller plus loin, il y a le livre de John Von Neumann "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics".

ps : vous avez fait une erreur sur le second terme dans votre question.

[Anonyme007]

Bonjour,

Merci à vous deux pour vos réponses.

@ornithology,

Je voulais savoir comment est-on passé sur le lien wiki suivant, https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...hr%C3%B6dinger , de l'équation vectorielle de Schrödinger, à l'équation de Schrödinger fonctionnelle, en appliquant les deux formules suivantes, ?
Ce n'est malheureusement pas bien expliqué, pour moi, ça, en parcourant, les deux paragraphes : - Formulation moderne, et - Résolution de l'équation, figurant sur ce lien Wikipédia, ci dessus.

@albanxii,

D'accord, j'essayerai de potasser cet ouvrage que tu mentionnes, mais est ce que tu peux m'expliquer brièvement ici, le passage qui me rebute ?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Salut. Il est important de comprendre la signification des notations. Le symbole définit de manière abstraite l'état du système dans la représentation (on dit aussi l'image) de Schrödinger (état évoluant dans le temps, observables non). Les opérateurs qu'on met devant au second membre sont constitutifs du hamiltonien et on reconnaît là l'hamiltonien d'une masse ponctuelle non relativiste. Donc est l'état quantique de cette masse. L'équation dit simplement que l'évolution dans le temps de cet état est déterminé par le hamiltonien.

L'état est un vecteur normalisé, défini à une phase près, dans un espace de Hilbert abstrait.

Ensuite on passe à la fonction d'onde, qui est une réalisation concrète de l'état. Elle est définie par ; ici on a adopté une convention de Dirac: on met dans le ket ou le bra la valeur propre de l'opérateur dont il est vecteur propre. On applique cette contraction avec à chaque terme de l'équation.

Pour le dernier terme, l'opérateur est une simple multiplication par le potentiel V; on a donc . La dérivée par rapport au temps de pose pas davantage de problème. Reste le terme en p^2/2m. Là il faut faire intervenir la relation de commutation des opérateurs implusion et position. Pour simplifier, je fais d'abord la démonstration en une dimension. On a le commutateur .

Je vais montrer que suite à cette relation, l'opérateur impulsion agit comme une dérivée.

On part d'un état propre de la position défini par (toujours sous la convention de Dirac). Pour se raccrocher à la définition donnée plus haut de la fonction d'onde, on peut aussi l'écrire avec des bra: .

Soit l'opérateur où z est infinitésimal (ou les infinitésimaux vous font peur, ajoutez ). Cet opérateur est unitaire au premier ordre et . Le commutateur plus haut permet de calculer ceci:

.

Cela donne


Donc


U(z) est un opérateur de translation en z!!! c'est-y pas joli?

Cela veut dire aussi, en développant le bra en série en z au premier ordre: .

Donc finalement . On retrouve bien sûr l'effet bien connu de sur la fonction d'onde: on remplace dans par . En 3 dimension, on fait une simple somme sur les composantes et on obtient le laplacien.

[Anonyme007]

Merci beaucoup ThM55. C'est claire maintenant l'idée.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir si, en physique ou en mathématiques, il existe une méthode mathématique pour résoudre l'équation de Schrödinger vectorielle suivante : .
Si oui, dans quel espace a-t-on tendance de résoudre cette équation ?
Que signifie-t-il d'ailleurs, résoudre l'équation de Schrödinger ?

Merci d'avance.

[coussin]

Tout dépend du terme de potentiel... En général, non il n'existe pas de solutions. Il y a des solutions analytiques seulement pour une classe très réduite de potentiels et pour la forme initiale de la fonction d'onde.