Equation de Schrödinger relativiste ?

**coussin** · 08/12/2020, 02h17

Bonjour,

Je considère une particule massive se déplaçant librement à une vitesse proche de la vitesse de la lumière.
Je pars de l'équation de Schrödinger usuelle, écrite en impulsion (en vitesse plutôt) : $\text{[math]}$ dans laquelle j'ai mis le facteur de Lorentz. Je résous pour obtenir $\text{[math]}$ et éventuellement, je repasse en position via une transformée de Fourier : $\text{[math]}$ .

Il est évident que c'est complètement différent de Klein-Gordon ou Dirac...
A quel niveau est-ce faux et est-ce beaucoup faux ?

Merci d'avance

**coussin** · 08/12/2020, 02h52

J'ajoute que je peux aussi mettre l'énergie de masse en remplaçant $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ ...
Pour la résolution de l'équation de Schrödinger en vitesse, la difficulté ne change pas (c'est soluble analytiquement).

azizovsky · 08/12/2020, 11h47

Si on ''déquantifie''* cela donne $\text{[math]}$ , cette expression de l'énergie n'est ni classique ni relativiste !!!

* https://fr.wikipedia.org/wiki/Princi...correspondance

azizovsky · 08/12/2020, 12h11

Pff, j'ai oublié que t'a quantification est celle pour laquelle le coefficient du deuxième membre de l'équation est un invariant comme pour le calcul
du potentiel de Yukawa:

$\text{[math]}$

si on élimine l'espace au lieu du temps i.e, E=mc², après quantification,on 'a $\text{[math]}$ , or ....
c'est l'analogue de ton équation ...

ps: méthode à la physicienne

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**coussin** · 08/12/2020, 13h44

Non, non. Voir mon message #2 : je pars de $\text{[math]}$ mais au lieu de rester en position et d'avoir à gérer la racine carrée d'un opérateur différentiel, je passe en impulsion. Pour éventuellement revenir en position si besoin est...
Cette dérivation naïve est mentionnée ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...che_na%C3%AFve
Il y a alors apparemment un problème à incorporer un potentiel mais je reste sans potentiel.

azizovsky · 08/12/2020, 18h13

Ok, je cherche un fil conducteur pour m'accrocher ...

**ThM55** · 08/12/2020, 21h10

mais au lieu de rester en position et d'avoir à gérer la racine carrée d'un opérateur différentiel, je passe en impulsion

Mais non, c'est faux et ce n'est pas ce que dit la page Wikipédia que vous mentionnez. Votre expression est équivalente à $\text{[math]}$ qui est l'expression non relativiste de l'énergie valable uniquement pour v<<c. On peut élever E au carré et alors on retrouve l'équation de Klein-Gordon. Ou alors on développe la racine carré en série infinie de puissances en p et alors l'équation de Schrödinger a des dérivée spatiales de tous les ordres. Je ne sais même pas si une telle équation a une signification mathématique.

**coussin** · 08/12/2020, 21h45

Non je ne crois pas...
Je ne pars pas de E=p2/2m mais de E= √ p2c2+m2c4...
On peut si on veut développer cette racine en puissance de v/c mais je ne fais même pas ça. Je garde la racine et tous les ordres.
Juste, je travaille en impulsion au lieu de travailler en position. Je n'ai donc aucune dérivées spatiales, mais une transformée de Fourier à la fin.
C'est donc du numérique car les TFs en question ne sont pas analytiques.

Non, ça ne convainc personne ?

Je serais curieux de comparer avec des calculs "standards" de Klein-Gordon. J'ai quelques simulations intéressantes pour un électron, modélisé par un paquet d'onde gaussien, se déplaçant à 0.99c

**roll** · 09/12/2020, 00h26

Envoyé par coussin

Non je ne crois pas...
Je ne pars pas de E=p2/2m mais de E= √ p2c2+m2c4...
On peut si on veut développer cette racine en puissance de v/c mais je ne fais même pas ça. Je garde la racine et tous les ordres.
Juste, je travaille en impulsion au lieu de travailler en position. Je n'ai donc aucune dérivées spatiales, mais une transformée de Fourier à la fin.
C'est donc du numérique car les TFs en question ne sont pas analytiques.

Non, ça ne convainc personne ?

Je serais curieux de comparer avec des calculs "standards" de Klein-Gordon. J'ai quelques simulations intéressantes pour un électron, modélisé par un paquet d'onde gaussien, se déplaçant à 0.99c

Non ça ne convainc personne parce que ça n’a aucun sens. Si on part de $\text{[math]}$ et qu’on “passe en impulsion” on en arrive a… $\text{[math]}$ (puisqu’on a déjà l’énergie en fonction de la quantité de mouvement dans cette expression). Je ne vois pas comment tu peux arriver à $\text{[math]}$ mais certainement tu fais une erreur puisque ce n’est pas évidemment pas égal à l’énergie.

**coussin** · 09/12/2020, 09h53

Il ne faut pas tenir compte de mon message #1 mais plutôt mon message #2, désolé pour la confusion...
L'équation que je résous est simplement $\text{[math]}$ .

* En effet, $\text{[math]}$ . La notation est encore plus compacte.

**roll** · 09/12/2020, 11h20

Envoyé par coussin

Il ne faut pas tenir compte de mon message #1 mais plutôt mon message #2, désolé pour la confusion...
L'équation que je résous est simplement $\text{[math]}$ .

* En effet, $\text{[math]}$ . La notation est encore plus compacte.

Ok mais vu que $\text{[math]}$ contient aussi une racine carrée autant garder $\text{[math]}$ . Mais le vrai problème c’est que tu vas te retrouver avec une théorie non renormalisable qui ne sera prédictive que jusque $\text{[math]}$ . C’est comme ça par exemple qu’on peut calculer la structure fine: https://fr.wikipedia.org/wiki/Structure_fine mais ça ne marche plus à très haute énergie comme je l’ai dit (là tu dois utiliser Klein-Gordon ou Dirac).

**coussin** · 09/12/2020, 11h53

Oui, je suis d'accord. Puisque je n'ai que une dérivée temporelle du premier ordre, je n'ai qu'une composante (au lieu des 2 de KG). Ça signifie que je ne traite pas l'antiparticule associée.

Maintenant, quel est le domaine de validité de cette approximation ?
En particulier, pour le cas libre (sans potentiel), particule et antiparticule ne sont elles pas exactement séparables ?

azizovsky · 09/12/2020, 13h37

Envoyé par coussin

Il ne faut pas tenir compte de mon message #1 mais plutôt mon message #2, désolé pour la confusion...
L'équation que je résous est simplement $\text{[math]}$ .

* En effet, $\text{[math]}$ . La notation est encore plus compacte.

Déjà l'équation n'est pas vraiment une équation de la TF , c'est :

$\text{[math]}$ .

une simple comparaison avec:

soit un paquet d'onde :

$\text{[math]}$ N cst de normalisation.

$\text{[math]}$

une particule libre $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

et si $\text{[math]}$ c'est plus compliqué...

azizovsky · 09/12/2020, 13h47

Correction:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

azizovsky · 09/12/2020, 14h09

Envoyé par azizovsky

$\text{[math]}$

et il y'a une relation de la RR :

$\text{[math]}$ , si on l'injecte dans l'équation, on'a :

$\text{[math]}$

et je reviens au départ (message 4), je tourne en rend

.

azizovsky · 09/12/2020, 14h43

$\text{[math]}$

à toi de jouer, je ne fais pas de brouillon et j'ai commet bcps d'erreurs...

azizovsky · 09/12/2020, 15h40

Envoyé par azizovsky

$\text{[math]}$

à toi de jouer, je ne fais pas de brouillon et j'ai commet bcps d'erreurs...

$\text{[math]}$

on'est pas loin de l'équation de Schrödinger

on ai pile dedans je crois ... http://www.phys.ens.fr/~dalibard/PHY...09/Cours2A.pdf

azizovsky · 09/12/2020, 16h17

Envoyé par azizovsky

$\text{[math]}$

Dommage il y'a le signe (-) qui casse tous, or si coussin a une meilleure méthode de démontrer son équation, il trouve l'équation de Schrödinger pour les faible vitesse car :

$\text{[math]}$

si on néglige le dernier terme de masse, on a l'équation $\text{[math]}$

**coussin** · 09/12/2020, 16h26

Oui, je sais tout ça...
C'est standard et c'est comme ça que je suis arrivé à l'équation du message #10.
Il y a une étape supplémentaires pour arriver à l'équation du message #10 à cause de la forme bizarre $\text{[math]}$ en tant que opérateur différentiel. Il faut d'abord définir un opérateur vitesse $\text{[math]}$ (ce n'est pas simplement $\text{[math]}$ comme en classique, c'est une série infinie en puissance de $\text{[math]}$ ). Ensuite $\text{[math]}$ est lui-même une série infinie en puissance de $\text{[math]}$

Mais il me semble qu'on peut faire la TF termes à termes (si on peut le faire pour p^2 dans l'équation de Schrödinger, on peut le faire pour n'importe quelle puissance p^2n...) et donc finalement, je pense qu'on arrive à l'équation du message #10, en représentation vitesse (pas impulsion

).

L'équation obtenue est bizarre, c'est "1/4 d'une équation de Dirac"

: Klein-Gordon traite particules et antiparticules dans une fonction à 2 composantes, Dirac y ajoute les 2 spins dans une fonction à 4 composantes. Ici, il n'y a qu'une composante : c'est 1 électron de spin bien défini et on néglige l'autre direction de spin et l'antiparticule

On ne traite donc pas du tout la symétrie de conjugaison de charge...

azizovsky · 09/12/2020, 16h45

On tous cas j'ai compris quelque chose sans fil conducteur, et je te présente les miennes

:

$\text{[math]}$

dont la norme est :

$\text{[math]}$

si tu veux le lien je te le donne par MP ( charte ...).

Equation de Schrödinger relativiste ?

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Re : Equation de Schrödinger relativiste ?

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