équation de Schrödinger

[Azzo]

Bonjour a tous.
Je voulais juste préciser que mon probleme c'est justement l'equation de Schrodinger . Peut on démontrer cette équation?
Si c'est le cas alors les fonctions d'onde doivent etre complexes sinon j'en doute.

Cordialement
-----

[stefjm]

La transformée de Laplace de l'équation de S. donne

avec un pôle imaginaire pur
A ma conaissance, c'est la seule relation physique qui présente un seul pôle imaginaire pur, sans le conjugué correspondant.

La solution formelle est alors en .

Les fonctions sinus et cosinus ne sont donc clairement pas solutions puisqu'il manque le pôle conjugué pour obtenir

[invite3c30dad8]

Peut on démontrer cette équation?

oui

[LPFR]

Bonjour a tous.
Je voulais juste préciser que mon probleme c'est justement l'equation de Schrodinger . Peut on démontrer cette équation?
Si c'est le cas alors les fonctions d'onde doivent etre complexes sinon j'en doute.

Cordialement

Bonjour.
On ne démontre pas l'équation de Schrödinger. C'est un postulat.
Comme les lois de Newton.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Azzo]

Bonsoir

L'équation de SChrodinger est un postulat!! c'est ce que je voulais savoir. Merci à tous.

[invite3c30dad8]

mais non ce n'est pas un postulat ; elle se demontre assez simplement

[Azzo]

Bonsoir

Voulez vous , SVP , me montrer cette démonstration?

Cordialement

[invite3c30dad8]

vous tapez par exemple : Schrödinger pour les nuls sur google mais il y a plein d'autres sites ...

La démo est même enseignée au M I T !

( LPFR est parfois trop péremptoire )

@+

[Azzo]

Bonsoir

Pouvez vous m'indiquer un lien? Merci

[invite54165721]

regarde cet ancien fil
http://forums.futura-sciences.com/ph...roedinger.html

[Azzo]

Bonsoir

J'ai regardé sur Google, ce n'est pas sérieux Comme démonstration. Non, c'est un postulat!

[kalish]

A mon avis sa génèse a été assez compliquée mais on peut déjà imaginer qu'à l'époque tout le monde était un peu perdu. Certains voyaient des ondes et d'autres disaient qu'il ne s'agissait que d'états discrets. Une façon de penser assez partagée en physique c'est qu'on commence par la solution la plus générale par défaut, une exponentielle complexe est la solution la plus générale à une équation "ondulatoire". Il aussi faut voir que de Broglie avait établi des égalité entre fréquence et énergie, longueur d'onde et impulsion, sans vraiment avoir une idée précise (ou elle était trop classique) de ce que pouvaient être ces ondes associées à la matière. Une façon d'obtenir des ondes avec n'importe quoi est de faire une transformée de fourier, la fonction de base d'une transformée de fourier c'est l'exponentielle complexe. Donc si on fait une transformée de fourier associée à la dynamique hamiltonienne d'une particule en prenant en compte que hk = p et hf = E, on obtient grosso modo l'équation de shroedinger. Je dis grosso modo car le grand pas c'est quand même de dire que cette fonction est une amplitude de probabilité et que sa norme au carrée représente l'intensité...si on y réfléchit, c'est un pas de géant.
L'équation de shrodinger est donc en quelques sortes la représentation du hamiltonien en terme de dérivées. C'est la représentation temporelle et spatiale d'une équation qui est établie à la base dans le domaine fréquentiel (et "longueur d'onde-iel").
L'important c'est quand même la transformée de fourier je pense et les postulats de de Broglie.
Bien sûr cette réponse n'a pas beaucoup de valeur, mais c'est en attendant que d'autres plus calés arrivent pour ne pas te laisser mariner dans ton jus.
le lien un peu automatique c'est celui là:
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q...7.C3.A9quation

[invite3c30dad8]

J'ai regardé sur Google, ce n'est pas sérieux Comme démonstration. Non, c'est un postulat!

comme tu veux (mais il y a d'autres démo et même en cherchant bien on tombe sur les papiers de schrodinger )

@+

[invite21348749873]

Bonjour LPFR
Bonjour à tous,

Je profite de ce message pour renouveler en public les excuses que j'ai présenté hier soir à LPFR en privé.
Je n'ai pas retrouvé le post qui a conduit LPFR à me plonker.
J'avais dis de façon maladroite que je trouvais que LPFR n'était pas honnête avec sa présentation biaisée de certaines modélisations.

Je lui renouvelle donc ici mes excuses.

Etonnant que la moderation ne supprime pas votre message sous le motif "sans rapport avec la question initiale".
C'est d'ordinaire une attitude assez constante.
La constante de Plonk si j'ose dire.

[kalish]

J'ai regardé sur Google, ce n'est pas sérieux Comme démonstration. Non, c'est un postulat!

On ne peut pas tout démontrer mais on ne peut pas tout affirmer sans justification non plus. Ca se démontre à peu près autant que l'équation d'onde pour les ondes électromagnétiques.On ne justifie pas vraiment des équations de maxwell, ou en tout cas pas d'un seul coup, elles ont été établies par l'expérience pour beaucoup, (par la déduction pour d'autres comme l'inclusion du courant de déplacement dans l'expression de l'équation de maxwell ampère ).

[invite21348749873]

Les equations de Maxwell me semblent avoir été toutes déduites de l'experience.
A mon avis, cela vient du fait que les champs E et B ont été experimentalement trouvés en 1/r² avec une grand précision.
Pouvez vous confirmer cela?

[kalish]

Oui et non maxwell a imaginé pendant un temps tout un système d'engrenages pour relié le champ E et B, et l'introduction du courant de déplacement est totalement théorique d'après ce que je sais. Quand on regarde un petit condensateur de loin on peut le voir comme si on avait un fil parcouru par un courant alors qu'il n'y a pas de réel courant, il s'ensuit qu'une variation du champ électrique entre les deux électrodes du condensateur doit créer un champ magnétique identique à un fil parcouru par un courant, et il faut donc introduire un lien entre la variation du champ électrique dans le temps et le rotationnel du champ magnétique. C'est assez important parce que ça permet de symétriser un peu plus les équations reliant E à B et également d'obtenir la fameuse équation d'onde.
Ce qu'on fait c'est toujours ça, on établit un modèle qui correspond à l'expérience, que cette expérience soit réalisée ou une simple expérience de pensée.

[invite21348749873]

Oui, le terme en dE/dt a ete introduit par Maxwell parce que sinon, la continuité du champ magnétique autour du condensateur ne pouvait s'expliquer.
Mais par exemple divB=0 partout n'est pas démontrable mathématiquement, c'est une conséquence d'observations physiques, me semble-t-il.

[kalish]

On ne dit pas autre chose:

.On ne justifie pas vraiment des équations de maxwell, ou en tout cas pas d'un seul coup, elles ont été établies par l'expérience pour beaucoup,

C'est la manifestation qu'il n'y a pas de monopole magnétique. C'est déjà assez costaud de voir que la divergence d'un champ est reliée à une densité de source, pour moi ça n'a rien d'évident, il y a donc une partie conceptuelle analogue à celles qu'on a en établissant Schrodinger. Il y aurait des monopoles cette équation seraient changée. Effectivement on n'en a pas encore observé, et vu la quantité de charges électriques qu'on observe par ailleurs ca parait justifié. La base expérimental de ça, c'est quand même qu'on a beau casser un aimant en deux, on se retrouve toujours avec un dipole. Ce sont des justification empiriques, mais il faut bien le modéliser par quelque chose de cohérent mathématiquement. Je ne peux pas dire "pas de monopole donc AB", ça n'aurait aucun sens.

Ce que je veux dire c'est que si je vois une force décroitre en 1/r^2, ça ne me dit pas grand chose du champ, il faut bien relier toutes les données de façon un peu censée.

[azizovsky]

Salut , l'équation de Schrödinger est impossible a établir d'une façon rigoureuse de même qu'on n'établit pas les équations du mouvement des particules macroscopiques de Newton ou les équations de Maxwell pour le champs électromagnétique.

[Deedee81]

Salut,

Dans toutes les approches de la mécanique quantique que je connais, l'équation de Schrödinger est posée comme postulat. Ce qu'on trouve parfois dans les cours est une "déduction heuristique", mais on ne peut pas qualifier ça de démonstration.

De toute façon, tout démonstration part de quelque part (selon le bon vieux schéma mathématique : hypothèse -> démonstration -> thèse). Et donc on part toujours de l'un ou l'autre postulat. Et il se fait qu'on cherche toujours le plus simple (et l'équation de Schödinger H.Psi = i.hbar.dPsi/dt est particulièrement simple).

Il doit y avoir moyen de la retrouver à partir d'autres postulats. Par exemple, celui qui dit qu'il suffit dans la représentation de Heisenberg de remplacer les crochets de Poisson avec H par les commutateurs avec H pour avoir l'équation d'évolution des opérateurs. Mais c'est une formulation et un postulat totalement équivalent.

[invite3c30dad8]

slt deedee1

tu es en train de nous dire qu'en fait il n ' y a pas de demo mais que des postulats ...!

si c'est le cas la question de savoir si l'éq de S se démontre n'a pas lieu d'exister alors...

Pourtant en partant de l'expression d'une onde progressive et en introduisant le relation de debroglie ...

mais il est vrai que la relation lambda = h/p n'est qu'un postulat a priori

@+

[0577]

Bonsoir,

j'aimerais faire précéder le schéma "hypothèse ->démonstration->thèse" de Deedee81 par "définitions->".
Sans définition, on ne sait pas de quoi on parle. Pour pouvoir donner un sens à "démontrer l'équation de Schrödinger", il
faudrait dire quelle est la définition de H. Suivant la définition donnée, l'équation de Schrödinger sera soit
une définition, soit une conséquence évidente de définitions, soit un énoncé non-trivial admis comme postulat.

[Nicophil]

Bonsoir,

En effet : sans définitions, on ne peut pas décrire.

"On ne voit que ce qu'on sait nommer" ?

[ThM55]

Il me semble que c'est une bonne question. Je veux dire qu'il est toujours bon de se demander si on peut démontrer certaines choses que l'on sait acquises en physique, même si le fond de la question est d'abord la somme expérimentale qui conduit à considérer la fonction d'onde comme complexe.

L'équation de Schrödinger n'est pas forcément un postulat. Je n'ai jamais écrit de cours de MQ, mais si je devais le faire, je partirais du principe de superposition des états. Le premier postulat dit que tout état d'un système physique peut être écrit à un instant donné par une fonction en général complexe des coordonnées Psi(x). Ensuite le postulat sur les probabilités, et le postulat de superposition. La notion d'observable, l'existence d'états à valeurs définies des observables, la superposition de tels états, les opérateurs, les valeurs propres, etc. Bref un premier chapitre sans équation de Schrödinger.

Ensuite puisque Psi détermine complètement l'état à un instant donné, la connaissance de Psi doit suffire pour déterminer l'état à un instant ultérieur. Donc la fonction d'onde doit obéir à une équation d'onde où seule la dérivée première par rapport au temps apparaît. Je vais essayer de ne plus me tromper en Latex, je présente mes excuses à l'avance si je n'y arrive pas. On doit donc avoir



où A est un opérateur à déterminer. Le facteur i est là pour s'aligner sur la pratique courante en MQ, mais il ne présume en rien du coractère réel ou complexe de la FO puisque, à ce stade du raisonnement, l'opérateur A pourrait éventuellement être lui-même purement imaginaire. Le fait que l'intégrale du module au carré de la fonction d'onde doit être une constante (puisque c'est l'intégrale de la densité de probabilité, qui doit rester égale à 1) implique que l'opérateur A doit être hermitien. C'est l'évolution unitaire des états.

L'étape suivante consiste à retrouver le hamiltonien en voyant ce que devient la fonction d'onde à la limite classique, où l'action mécanique est grande par rapport à la constante de Planck. On écrit la FO sous la forme



(c'est peut-être aussi un postulat, c'est l'analogie optique géométrique-mécanique classique et optique ondulatoire-mécanique ondulatoire mise à l'avant-plan par de Broglie, dans la tradition de Hamilton; en tout cas il y a pour cela un très solide moteur expérimental, et c'est sans doute la vraie raison profonde du caractère complexe de la fonction d'onde: l'action apparaît comme une phase, on a ce que l'on appelle l'approximation iconale). Bref, il est facile à partir de cela de montrer que notre opérateur A doit être proportionnel au hamiltonien.

C'est un peu trop schématique et résumé pour répondre complètement à la question, mais voilà en gros le chemin que je pourais prendre. Je dis donc que l'équation de Schrödinger se "démontre", si on choisit des postulats assez simples et traditionnels.

Un autre approche convaincante et plus générale est celle de l'intégrale de chemin de Feynman. Elle permet de rattacher aisément les postulats relatifs à l'action du principe de Hamilton aux expériences d'interférences de particules (fentes de Young). Et là, clairement, l'équation de Schrodinger se démontre. D'habitude on fait le contraire, mais le traité de Feynman et Hibbs sur l'intégrale de chemin démontre bien l'équation de Schrodinger.

Dans mon schéma, le caractère complexe de la fonction d'onde est un postulat, mais il est imposé par des milliers de situations expérimentales et il est vraiment difficile d'y renoncer. On peut aller plus loin; par exemple dans les années 1960 les physiciens David Finkelstein, David Speiser et Josef Jauch ont fait des recherches sur une mécanique quantique quaternionique... Mais on ne peut sûrement pas postuler une FO réelle.

[kalish]

Je trouve ça très intéressant, je pense que le lecteur percevrait qu'on doit à un moment ou un autre établir des postulats, partir des considérations générales dont vous parlez permet de dire où. Cependant j'ai une toute petite question. Pourquoi supposer a priori que pour décrire un système, l'équation d'évolution soit une équation de type oscillante? L'équation de la chaleur est identique à l'équation de schrodinger justement à un i près.

[Deedee81]

Salut,

mais il est vrai que la relation lambda = h/p n'est qu'un postulat a priori

Oui, en effet. C'est cela le fond du problème : il faut bien partir de quelque part. On peut retrouver l'équation de Schrödinger à partir d'autres choses, mais dans tous les cas on postule quelque chose.

J'oubliais deux possibilités :
- Celle partant du principe de superposition, dans le style intégrales de chemin de Feynman. Merci ThM55
- L'explication de Feynman (encore lui) dans son cours et que j'ai trouvé excellente (extrêmement pédagogique) : il part des postulats de base quantique (déduits "expérimentalement", bien que ce soit pour l'essentiel des expériences de pensée) et la construit petit à petit, puis passe à une chaine d'états (comme une chaine d'atomes où un électron pourrait sauter d'un atome à l'autre) et par passage au continu retrouve l'équation de Schrödinger.

Il doit y en avoir d'autres. Mais dans tous les cas, il faut poser quelques postulats (expérimentalement validés quand c'est possible, c'est toujours mieux qu'une validation a posteriori à travers les résultats) et vogue la galère.

[stefjm]

Ensuite puisque Psi détermine complètement l'état à un instant donné, la connaissance de Psi doit suffire pour déterminer l'état à un instant ultérieur. Donc la fonction d'onde doit obéir à une équation d'onde où seule la dérivée première par rapport au temps apparaît. On doit donc avoir

Bonjour,
Je ne comprend pas pourquoi il ne doit y avoir qu'une seule dévivée par rapport au temps?
La conaissance de l'état à un instant permet de trouver l'état suivant quelque soit l'ordre de l'équation différentielle.
Qu'est ce que je rate?
Cordialement.

PS : je suis quiche en MQ.

[Deedee81]

Salut,

En effet, j'ai déjà vu d'autres justifications (par exemple dans le L. Schiff) mais de tête je ne me souviens plus. Et je n'ai pas le bouquin sous la main. Quelqu'un s'en souviens-t-il ?
(si ma mémoire n'est pas trop défaillante c'était en rapport avec le fait que Psi est une amplitude de probabilité)

[mariposa]

Bonjour a tous,

je suis étonné que certains forums expérimentés de Futura-sciences puissent envisager l'équation de Schrodinger comme un postulat. Il suffit pour répondre a cette question de voir la filiation historique de la génèse de cette équation. Comme toute théorie on effectue une formulation inspirée des expériences que l'on teste sur d'autres expériences si on envisage un très grand degré de généralités. Je vous renvoie donc a la racine la plus fondamentale qui est celle de la mécanique des matrices de Heisenberg née de l'analyse des spectres atomiques. A cette approche se développe la mécanique ondulatoire de Schrodinger (inspirée par De Broglie).

La mécanique ondulatoire et la mécanique des matrices ont trouvé un homme de synthèse en la personne de PAM Dirac sous la forme abstraite:

i.h d/dt |Fn> = H|Fn>

La mécanique des matrices est la représentation dans une base de fonctions (très souvent les vecteurs d'un hamiltonien).

La mécanique ondulatoire est la representation dans une bases des |r> cad des points de l'espace fonctionnalisés.

Nota: L'introduction des nombres complexes et don c de i est du au fait que l'on a un systèmes d'équations différentielles couplées où la dérivée par rapport au temps est du premier ordre.