équation de Schrödinger

[Deedee81]

Mariposa, c'est exactement ce que j'avais écrit plus haut (sous une forme un peu différente, j'ai utilisé implicitement la base position).

Puisque l'on parle histoire, je rappelle aussi que l'équation de Schrödinger fut bien initialement posée comme un postulat. Ce n'est que l'insistance des autres physiciens que Schrödinger a expliqué comment il avait trouvé cette équation (approche heuristique). Enfin, c'est Dirac qui a montré l'équivalence avec le formalisme matriciel (qu'on retrouve dans tous les "bons cours", comme celui de Schiff).

Enfin, ce qui a été surtout dit dans ce fil, c'est quoi que l'on fasse, on doit bien postuler quelque chose au départ (ne fut-ce que les relations de commutation dans le travail de Heisenberg (*)). Je suppose que tu n'affirmes quand même pas qu'on peut construire la MQ sans postulat.

(*) ce qui n'empêche pas une origine expérimentale. Heisenberg avait trouvé les règles en analysant les spectres atomiques.
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je joins une photo d'un passage du Feynman (Tome III chapitre 16-5).
Remarquez le "It came out of the mind of Schrödinger, ..."
Au revoir.

[albanxiii]

Bonjour,

Pour la petite histoire, dans une conférence Etienne Klein dit que Schrödinger a écrit avoir trouvé son équation "à la suite d'un épisode érotique intense".

Deedee81, je croyais que c'était John Von Neumann qui avait montré l'équivalence des différentes formulations de la mécanique quantique ?

@+

[Deedee81]

Deedee81, je croyais que c'était John Von Neumann qui avait montré l'équivalence des différentes formulations de la mécanique quantique ?

C'est ce que j'ai lu dans "l'étrange histoire des quanta" de Banesh Hoffmann et Michel Paty (ce qui ne veut pas dire qu'ils ont raisons ), il me semble que c'est dans le chapitre "Paul l'ascète".

Pour ma part je ne connais pas assez l'histoire pour mieux préciser.

[invite7ce6aa19]

Mariposa, c'est exactement ce que j'avais écrit plus haut (sous une forme un peu différente, j'ai utilisé implicitement la base position).

Bonjour Deedee81

Oui et non, tu as écris:

"De toute façon, tout démonstration part de quelque part (selon le bon vieux schéma mathématique : hypothèse -> démonstration -> thèse). Et donc on part toujours de l'un ou l'autre postulat. Et il se fait qu'on cherche toujours le plus simple (et l'équation de Schödinger H.Psi = i.hbar.dPsi/dt est particulièrement simple)."

Il y a trop de vocabulaire a mon gout.

Il y a toujours une dialectique hypothèse-expérimentation (ou observation).

Quand des hypothèses sont vérifiées par les expériences et que l'on atteint un haut de degré de généralité on peut remplacer les mots hypothèses par le mot postulat. Néanmoins les postulats sont presque en général issus de l'expérience (l'enseignement de la physique est tellement dominé en France (et en Belgique?) par les maths que j'ai l'habitude d'insister sur les sources expérimentales.

Je suppose que tu n'affirmes quand même pas qu'on peut construire la MQ sans postulat.

On peut enseigner la MQ sous la forme de postulats (ce qui se fait souvent) ou encore suivant des approches heuristiques comme tu l'as mentionné cad balancer l'équation de Schrodinger (ce qui se fait encore plus souvent) mais il n'en reste pas moins que l'origine tout entier du formalisme de la MQ provient de l'expérience, sous la contrainte de la cohérence mathématique.

[invite7ce6aa19]

Bonjour,

Pour la petite histoire, dans une conférence Etienne Klein dit que Schrödinger a écrit avoir trouvé son équation "à la suite d'un épisode érotique intense".

Deedee81, je croyais que c'était John Von Neumann qui avait montré l'équivalence des différentes formulations de la mécanique quantique ?

@+

Il s'agit bien de Dirac qui au passage a inventé les fameux bras et kets. JV Neumann a établit quant à lui les fondements mathématiques de la MQ

[Deedee81]

Il y a trop de vocabulaire a mon gout.

J'ai toujours sur que j'étais trop bavard.

Pour le reste on est entièrement d'accord.

Il s'agit bien de Dirac qui au passage a inventé les fameux bras et kets. JV Neumann a établit quant à lui les fondements mathématiques de la MQ

Ah oui, exact, j'avais oublié ça pour JVN. Merci,

[albanxiii]

Re,

Il s'agit bien de Dirac qui au passage a inventé les fameux bras et kets. JV Neumann a établit quant à lui les fondements mathématiques de la MQ

D'où le nom "notation de Dirac" qu'on rencontre régulièrement

J'ai le livre de J. Von Neumann "Mathematical foundations of quantum mechanics" en version pdf sur mon disque dur, mais il est trop volumineux pour être mis sur le forum (88 Mo). Mais si je l'ai c'est qu'il doit être disponible sur archive.org, pour ceux que ça intéresse.

@+

[ThM55]

Je voudrais répondre à la question de stefjm, qui demandait pourquoi l'exhaustivité de la description de l'état implique une dérivée première par rapport au temps. Je n'ai pas lu la réponse dans les messages qui ont suivi.

Si on a une dérivée première, pour résoudre le problème de Cauchy il suffit de donner la fonction d'onde pour tout point de l'espace à l'instant initial. Si on a une dérivée seconde, il faut en plus spécifier la dérivée par rapport au temps de la fonction d'onde à l'instant initial. Cela implique que la donnée de la fonction d'onde en tout point n'est plus une description complète de l'état. Il est vrai en MQ relativiste on a l'équation de Klein-Gordon, mais le fait que la fonction d'onde seule ne spécifie pas complètement l'état est bien connu. Historiquement d'ailleurs, Schrödinger avait essayé cette équation avant de la rejeter, car il n'arrivait pas à en déduire une équation de continuité (en 1926, il ne l'interprétait pas comme une densité de probabilité mais comme une densité de charge électrique, et celle-ci doit être conservée). Il s'est donc rabattu sur la version non relativiste. Ensuite il y a eu Dirac, qui est passé aux spineurs pour retrouver une dérivée première par rapport au temps. La formulation en terme de champs quantifiés peut par ailleurs être exprimée comme une pure équation de Schrödinger, mais avec une fonctionnelle au lieu d'une fonction d'onde.

[ThM55]

Kalish mentionnait que l'équation de Schrödinger ressemble à l'équation de la chaleur à un facteur i près. C'est vrai par exemple pour une particule à un degré de liberté (point sur la droite), sans potentiel. On peut alors l'écrire:



Avec K > 0. La ressemblance est frappante. Mais l'équation de la chaleur, ou de la diffusion, a un coefficient réel positif:



Si on prend une condition initiale deux fois dérivable en t=0 pour l'équation de la chaleur, par exemple une gaussienne ou une sinusoïde, on remarque qu'aux points où la courbure de la solution est tournée vers le bas (dérivée seconde négative), on a une valeur qui décroît dans le temps (car la dérivée par rapport au temps est négative). Au contraire, les points où la courbure est vers le haut croissent. Cela décrit donc des solutions diffusives, où les inégalités ont tendance à s'estomper au cours du temps. C'est pourquoi elle permet de décrire le comportement de la chaleur, qui se transmet toujours des corps chauds aux corps froids. Si on renverse le temps dans l'équation : t->-t, on obtient le comportement opposé: toute inégalité a tendance à s'accentuer. Il est clair que cette équation antidiffusive n'est pas physique pour les phénomènes statistiques: elles décrit ce qu'on observe quand on fait tourner le film à l'envers: la goute d'encre se concentre au point où on l'avait laissé tomber dans l'eau, l'entropie diminue au lieu d'augmenter.

Pour passer de l'équation de la chaleur à l'équation de Schrödinger, on n'a pas fait t->-t, mais on a fait t->it. C'est à mi-chemin, si on répète cette opération, on renverse le temps. Le résultat est que l'équation de Schrödinger a à la fois des solution diffusives, des solutions antidiffusives et des solutions en ondes progressives.

Si on renverse le temps dans l'équation de Schrödinger, on obtient la même équation à condition de remplacer par son conjugué complexe . Cela montre que contrairement à l'équation de la chaleur, l'équation de Schrödinger décrit une physique réversible et que c'est intimement lié à la nature complexe de $\Psi$. L'opération de symétrie est donc

.

Voilà peut-être un élément qui peut contribuer à répondre à la question sur la nature complexe de la fonction d'onde. Si la fonction est réelle, elle est égale à son conjugué et l'équation reste réversible, mais en général une donnée initiale réelle ne permet pas de conserver le caractère réel.

Cordialement.

[stefjm]

Je voudrais répondre à la question de stefjm, qui demandait pourquoi l'exhaustivité de la description de l'état implique une dérivée première par rapport au temps. Je n'ai pas lu la réponse dans les messages qui ont suivi.

Si on a une dérivée première, pour résoudre le problème de Cauchy il suffit de donner la fonction d'onde pour tout point de l'espace à l'instant initial. Si on a une dérivée seconde, il faut en plus spécifier la dérivée par rapport au temps de la fonction d'onde à l'instant initial. Cela implique que la donnée de la fonction d'onde en tout point n'est plus une description complète de l'état.

Merci.
C'est ce que j'avais cru comprendre, mais je n'étais pas sûr.
Si on a une équation d'onde de degré supérieur à 1, on peut de toute façon la ramener à un système d'équation de degré 1 ou à une équation matricielle de degré 1 en prenant pour nouvel état l'état et ses dérivées successives?

Cordialement.

[stefjm]

Kalish mentionnait que l'équation de Schrödinger ressemble à l'équation de la chaleur à un facteur i près. C'est vrai par exemple pour une particule à un degré de liberté (point sur la droite), sans potentiel. On peut alors l'écrire:

Autrement dit, si on passe en fréquentiel, on obtient :


se retrouve en phase avec sa dérivée seconde en espace, alors que pour la chaleur, est en quadrature.