Exercice en électrostique

[invite817e466c]

Une charge ponctuelle q > 0 est située en O. O est le centre de la coquille sphérique délimitée par les sphères concentriques de rayons a et b (avec b > a). Entre ces 2 sphères existe une électrisation non uniforme ayant pour densité volumique de charge µ telle que :
µ = A/OP avec A constante
et a < OP < b (P est un point quelconque situé dans la coquille chargée)

1) A partir des invariances et des symétries, déterminez l’expression générale du champ électrostatique créé en M (M est un point quelconque de l’espace, tel que OM = r) uniquement par la coquille chargée.

2) A l’aide du théorème de Gauss, déterminez le champ électrostatique total ET(M) créé en M. Vous noterez ce champ E1 pour 0 < r  a, E2 pour a  r  b et E3 pour r  b.

3) Recherchez la valeur A1 de A telle que E2 soit de norme E2 uniforme.

4) Recherchez la valeur A2 de A telle que E3 soit uniformément nul.

5) Déterminez le potentiel électrostatique total VT(M) au point M.
Vous distinguerez les 3 cas suivant les valeurs de r et vous supposerez que VT(r = a) = V0 et VT(r = b) = V1, avec V0 et V1 constantes.

Je bloque à partir de la question 2)
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[invitef78dbbfc]

Hello,
Question 1) tu as dû trouver que ton champ est radial et ne dépend que de r
Question 2) il te faut appliquer le Th de Gauss à une surface équipotentielle passant par le point où tu cherches le champ et faire une disjonction de cas dans le calcul de la charge intérieure pour tes 3 cas.
Pour le cas 2 et 3, tu peux trouver la charge supplémentaire due à µ en intégrant sur ton volume compris dans ta surface de Gauss.

[invite817e466c]

Question 1) oui c'est ce que je trouve
Question 2) pour les differents est-ce que j'utilise pour ces 3 à chaque fois les 2 potentielle ?
Donc je trouve cas 1 : E(r)=(p+q)a^3/3E0r²
cas 2 : E(r)=(p+q)(r^3-a^3)/3E0r²
cas 3 : E(r)=(p+q)a^3/3E0r² ?

[gts2]

est-ce que j'utilise pour ces 3 à chaque fois les 2 potentielle ?

C'est quoi ces deux potentiels ?

Donc je trouve cas 1 : E(r)=(p+q)a^3/3E0r²

C'est quoi p ? on est à l'intérieur donc a ne peut intervenir.
D'où sort le 3 au dénominateur ?

cas 2 : E(r)=(p+q)(r^3-a^3)/3E0r²

La distribution n'est pas uniforme, il faut intégrer, la charge n'est \rho fois le volume.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite817e466c]

Le potentiel q au centro et la densité volumique µ
p=µ me suis trompé

[invite817e466c]

Le 3 vient de Q interieur de SG= µ*Volume=µ*(4/3)*pi*a^3

[gts2]

Le potentiel q au centro et la densité volumique µ p=µ me suis trompé

Vous additionnez une charge q (pas un potentiel) et une charge volumique, pas très homogène tout çà.

[gts2]

Le 3 vient de Q interieur de SG= µ*Volume=µ*(4/3)*pi*a^3

On a déjà dit que, µ n'étant pas constant, SG n'est pas égal à µ*Volume

[invite817e466c]

La question 2) A l’aide du théorème de Gauss, déterminez le champ électrostatique total ET(M) créé en M. Vous noterez ce champ E1 pour 0 < r <ou= a, E2 pour a <ou= r <ou= b et E3 pour r >ou= b

[invite817e466c]

Alors comment je fias je ne comprends pas

[gts2]

La charge intérieure est qui se simplifie en avec (j'ai pris comme exemple le cas 2)

[invite817e466c]

Je procède comment pour trouver integrale triple de dV ?

[invite817e466c]

Q=4*pi*r²*A/r ?

[gts2]

Je procède comment pour trouver integrale triple de dV ?

Je vous l'ai indiqué dans le message #11, il suffit de faire le calcul (on élimine l'intégrale triple puisqu'il n'y a qu'une dépendance en r).

[invite817e466c]

Mais il faut pas utiliser les rayons a & b ?

[gts2]

J'ai bien dit que ma réponse correspondait au cas b) : a<r<b. Et j'utilise bien le rayon a (borne inférieure de l'intégrale)

Une fois que vous aurez traité ce cas, le c) s'en déduit aisément et le a) est trivial.

[invite817e466c]

Cas 3 pas de charge donc nul ?
Cas 1 je fais en fonction de la charge q au centre O et et de la densité volumique de charge ?

[invite817e466c]

cas 2 : E=µ(r-a)/E0*r ?

[gts2]

Je crois qu'il faut revenir à la base : que dit le théorème de Gauss ?

[gts2]

cas 2 : E=µ(r-a)/r ?

Et q est passée où ? D'où ma question précédente.
Et on rappelle une nouvelle fois que µ n'est pas une constante.

[invite817e466c]

Il dit : integrale de E*dS=Qint de SG/E0
integrale de E*dS= 4pir²
On cherche ensuite Qi et on fait l'égalité
C'est ce qu'on a utilisé dans les TD

[gts2]

Donc c'est bon.
Et donc dans le cas 3, pourquoi Q intérieure serait-elle nulle
Et donc dans le cas 2, pourquoi la charge au centre qui est bien à l'intérieur de votre sphère n'apparait pas ?

[invitef78dbbfc]

l'intégrale des E*dS c'est E(r)4*pi*r², tu as oublié le E
Pour Qint, dans le cas 1 tu as seulement ta charge ponctuelle au centre, dans le cas 2 tu as la charge ponctuelle q + la partie chargée comprise entre la sphère de rayon a et celle de rayon r, dans le cas 3 tu as ta charge q + la partie chargée comprise entre la sphère de rayon a et rayon b.
Pour calculer ces dernières, tu fais l'intégrale de mu*dS dans le volume compris entre les sphère, comme te l'a montré gts2, mu étant une fonction de r.
C'est donc juste un calcul d'intégrale, tu devrais t'en sortir

[invite817e466c]

Ce que je ne comprends pas c'est par rapport à l'intégrale votre mu il est égale à quoi dans cette exercice je n'arrive pas à comprendre la suite du calcul, avez vous un exemple pour que je comprenne ?
ce serait integrale de mu*Ds=Qint/E0 <=> 4*pi*r²*E(r)=q*(4*pi/3)*a^3 <=> E(r)=q*a^3/3E0 ?

[invitef78dbbfc]

Alors ici, mu(r) = A/r d'après l'énoncé
Je ne comprends pas ce que tu écris dans tes équivalences, mais étape par étape :
Le théorème de Gauss donne E(r)*4*pi*r² = Qint/epsilon0
dans le cas 2 : Qint = q + intégrale sur le volume de mu(r)dV avec mu(r)=A/r (on intègre entre a et r car c'est la seule région du volume compris dans ta surface de Gauss qui possède une densité de charge volumique)
En coordonnées sphériques (r, theta, phi) il reste donc q + l'intégrale de a à r de 4*pi*r²*mu(r)*dr (= 4*pi*A*r*dr). L'intégrale s'intègre en 2*pi*A*(r²-a²)
finalement, tu obtiens ton E(r) en divisant q + 2*pi*A*(r²-a²) par epsilon0 et en passant le 4*pi*r² de l'autre côté
pour le cas 3 tu fais cette fois l'intégrale entre a et b car c'est tout l'espace compris entre tes deux sphères qui contient une densité de charge volumique et il est dans ton volume compris dans ta surface de Gauss.
Est-ce que c'est plus clair?

[invite817e466c]

Pourquoi tu as 2pi et non 4 pi ?
pour le cas 3 : je trouve donc que Qint=q+2pi*A*(b²-a²) donc E(r)=q+A*2pi*(b²-a²)/4pi*E0*r² ?

[invite817e466c]

cas 1 : Qint=q*a^3/2*E0*r² ?

[gts2]

cas 1 : Qint=q*a^3/2*E0*r² ?

A l'intérieur r<a, la sphère extérieure n'intervient pas : Qint signifie charge intérieure, que vient faire a ici ?
La seule charge qui existe est q, donc Qint=q.

[gts2]

Pourquoi tu as 2pi et non 4 pi ?

Parce que