exercice : calculer un exercice

[invited8d9e610]

Bonjour
Voici un exercice :
Calculer la somme :
(1+2)(1²+2²)+(2+3)(2²+3²)+(3+4 )(3²+4²)+.....+(99+100)(99²+10 0²)

Voila
Moi j'ai essayé beaucoup de chose sans succès
Mais j'ai remarqué on faisant des regroupements
(49+50)(49²+50²)+(50+51)(50²+5 1²)=1000400
Je mets 1000400= X pour éviter la répétition
Donc
Je remarque que
(48+49)(48²+49²)+(51+52)(51²+5 2²)=1002800= X+2400*1
(47+48)(47²+49²)+(52+53)(52²+5 3²)=1007600= X+2400*1+2400*2
Je mets 2400=Y pour éviter la répétition
Je constate donc que pour chaque regroupement qui suit
On a X+Y*1+Y*2+Y*3+....
Donc
Comme on a 49 regroupement + la dernière multiplication (99+100)(99²+100²)
Donc on a
(X)+(X+Y)+(X+Y+Y*2)+(X+Y+Y*2+Y *3)+.......+(X+Y+Y*2+......... Y*48)
Ce qui donne
49X+48Y+47*2*Y+46*3*Y+45*4*Y+. ......+25*24*Y+24*25*Y+......+ 2*47*Y+48Y
=49X+2*48Y+2*47*2*Y+2*3*46*Y+. ....+2*25*24*Y
=49X+ 2Y(48+2*47+3*46+4*45+.....+25* 24)
Je mets 48=a
On a donc
=49X+2Y(a+2(a-1)+3(a-2)+.....+25(a-24))
=49X+2Y(a+2a+3a+....+25a -(1*2+2*3+3*4+....+24*25) )
=49X+2Y [ a(25*26/2) -( 24*25*49/6 +24*25/2)]
=49019600+4800(15600-(4900+300))
=52959999
Sans oublier le dernier regroupement
S=52959999+(99+100)(99²+100²)
S=52959999+49920000
S=102879999
Voilà a quoi je suis arrivé
Je veux savoir si c'est juste
Ainsi qu'une méthode plus élégante que celle la
Tel que trouvé la methode en lettre puis appliqué
Ou alors quelque chose d'autres
Svp
Merci d'avance
-----

[gg0]

Bonjour.

Mon esclave calculateur, pour la somme trouve 99 999 999 (si on ajoute le (0+1)(0²+1²) qui manque au début, on atteint 100 000 000).

Tu est à quel niveau ?
Si tu es en terminale, en rajoutant le 1 au début et calculant la somme jusqu'à 2, 3, 4, on voit apparaître une règle très simple, qu'on peut facilement prouver par récurrence, pour toute somme jusqu'à n, puis appliquer pour n=99.

Cordialement.

[invited8d9e610]

Bonjour

Bah non je ne suis pas encore en terminal
Mais je sais connait la methode pour prouver une règle par récurrence

Et je n'ai pas bien compris ce que tu veux dire par calculant jusqu'à 2, 3, 4
Peux tu être plus précis ?
Merci

[invited8d9e610]

Re bonjour
Bon je remarque
Que
Pour les nombres 1,2,3,4
(1)(1)+(3)(5)+(5)(13)+(7)(25)+ (9)(41)+(11)(61)
Bref
Il y a le premier facteur qui sont les nombres impairs
De 3 jusqu'à 199
Et l'autre facteur c'est
1(1)+(1+2)(1+4*1)+(1+2+2)(1+4* 1+4*2)+
(1+2+2+2)(1+4*1+4*2+4*3)+..... ainsi de suite

Mais j'aurai besoin d'aide pour la règle
Je n'arrive pas trouvé une qui tient la route

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pourquoi refuses-tu de calculer les sommes ? Tu ne sais pas multiplier et additionner ?
(1)(1)=
(1)(1)+(3)(5)=
(1)(1)+(3)(5)+(5)(13)=
(1)(1)+(3)(5)+(5)(13)+(7)(25)=

[invited8d9e610]

Bonjour

(1)(1)=1²=1⁴
(1)(1)+(3)(5)=2⁴
(1)(1)+(3)(5)+(5)(13)=3⁴
(1)(1)+(3)(5)+(5)(13)+(7)(25)= 4⁴

Soit n le nombre de terme
La règle c'est n⁴
Ici lr nombre de terme c'est 100
Donc
n⁴=100⁴=100 000 000
Comme dans l'exercice
On demande
De 1 et non de 0
Donc
S=100⁴-1=99 999 999
Est ce cela ?

[gg0]

Oui, à condition de prouver que la règle est valable pour tout nombre, pas seulement pour quelques uns au début.

[invited8d9e610]

Je connais bien la méthode a suivre pour démontrer
Une règle par récurrence
Mais pour celle la
Je la troive un peu difficile
Ce n'est pas comme pour démontrer pour 1+2+3+..+n=n(n+1)/2
Pour le premiere rang elle est vérifié
Mais quand je remplace par n+1 afin de prouver qu'elle est vrai pour tout n
Je tombe sur polynôme complexe
Dois je remplacer par les valeurs numérique
Ou y a t il autre chose pour faire cela

[gg0]

C'est assez simple. Il te suffit de développer (n+1)^4 et de comparer à ce que tu obtiens.

NB : J'essaie d'imaginer ce que tu as fait, si tu ne comprends pas, écris ici ton début de preuve que je sache !

[invited8d9e610]

Bah justement
J'ai développé (n+1)^4
Et j'ai obtenu un polynôme que je n'arrive pas a faire le lien entre lui les termes
(n+1)⁴=n⁴+4n³+6n²+2n+1
Le problème c'est que le n est le nombre de termes et non un terme en lui même

[invite51d17075]

tu fais compliqué
(n+1)⁴-n⁴=((n+1)²)²-((n)²)²
soir de la forme a²-b² avec a=(n+1)² et b=n²
à toi de continuer en re-décomposant le premier terme ( celui avec un moins ) de cette identité remarquable.

[gg0]

Midorima,

si tu avais vraiment rédigé la preuve par récurrence, tu aurais vu tout de suite que tu avais ce qu'il faut. Mais comme tu ne fais pas ta part du travail ... puisque tu n'écris rien ici de ton début de preuve, tu te contentes de pleurer que c'est difficile (*)

Allez, fais ton exercice sérieusement !!

(*) "le travail le plus difficile est celui qu'on ne fait pas " (Citation de Samsagace dans "le seigneur des anneaux")

[invited8d9e610]

Bonjour

(n+1)⁴-n⁴=((n+1)²+n²)((n+1)²-n²)
=((n+1)²+n²)(n+1+n)(n+1-n)
=((n+1)²+n²)((n+1)+n)
Qui de la forme des termes de la somme
Est ce cela ?

[gg0]

On attend toujours la récurrence !!!

[invited8d9e610]

Oui lol
D'abord
L'initialisation
Quand n=0
S=0

L'hérédité
Supposons que S=n⁴ vrai pour n
On demontre qu'elle est vrai pour tous n de N
On essayant avec n+1/
On a donc pour un nombre de terme n+1
S=(n+1)⁴=n⁴+(4n³+6n²+4n+1)
=n⁴+((n+1)²+n²)(n+1+n)

Conclusion
La regle S=n⁴ est vtprai pour tous entiern de N

Est ce cela la preuve de recurrence ou c'est autres chose ?

[gg0]

Attention,

dans l'héredité, on suppose qu'elle est vraie pour un entier n, et on démontre seulement qu'elle est vraie pour l'entier d'après, n+1. la phrase "On démontre qu'elle est vraie pour tout n de N" n'a rien à faire là.

la partie "S=(n+1)⁴=n⁴+(4n³+6n²+4n+1 )
=n⁴+((n+1)²+n²)(n+1+n)"
n'a rien à voir avec la preuve à faire, puisque tu pars de ce qu'il faut démontrer !! Tu peux partir de S(n)=n⁴ , puisque c'est une hypothèse, mais pas affirmer la conclusion, puisque tu dois la prouver !
Il vaut mieux utiliser pour S une notation qui montre que ça dépend de n, puisque c'est le cas, donc Sn ou S(n).

A refaire correctement (y compris l'initialisation qui n'est pas finie )

[invited8d9e610]

Demontrons que quelques soit l'entier n de N
La propriété Pn "Sn=n⁴" rst vraie

Initialisation
Vérifier que P(0) est vraie
S(0)=0 (puisqu'il ya 0 termes)
Et n⁴=0⁴=0
Donc pour n=0
La propriété P(n) est vraie

L'hérédité :
Supposons que la propriété Pn est vraie pour l'entier n
Demontrer que la propriété est vraie pour l'entier n+1

S(n+1)=(0+1)(0²+1²)+.....+(n-1+n)((n-1)²+n²) + (n+n+1)(n²+n(n+1²))
S(n+1)=S(n)+(n+n+1)(n²+(n+1)²)
Sn=n⁴
Donc S(n+1)=n⁴+(2n+1)(n²+n²+2n+1)
S(n+1)=n⁴+4n³+6n²+4n+1

Et maintenant on calcule
(n+1)⁴=(n²+2n+1)(n²+2n+1)
=n⁴+4n³+6n²+4n+1
Donc S(n+1)=(n+1)⁴
La propriété P(n+1) est vraie

Conclusion :
La propriété Pn est vraie quelque soit la valeur de l'entier n de N

Y a t il quelque chose qui manque ?

[gg0]

Cette fois ci, c'est complet.

Cordialement.

[invited8d9e610]

Merci pour tes réponses

J'ai une autre question
Dans ma méthode que j'ai utilisé dans le premier post
Je ne sais pas pourquoi le résultat est faux
La méthode est elle fausse ?

[gg0]

Je ne sais pas, je n'ai pas eu le courage de chercher l'erreur (trop de calculs). Elle est en tout cas un peu trop compliquée. Ce qui oblige à faire avec une extrême attention les calculs.

[invited8d9e610]

D'accord
Et
Merci en tous cas pour tes réponses