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exercice : calculer un exercice




  1. #1
    midorima

    exercice : calculer un exercice

    Bonjour
    Voici un exercice :
    Calculer la somme :
    (1+2)(1²+2²)+(2+3)(2²+3²)+(3+4 )(3²+4²)+.....+(99+100)(99²+10 0²)

    Voila
    Moi j'ai essayé beaucoup de chose sans succès
    Mais j'ai remarqué on faisant des regroupements
    (49+50)(49²+50²)+(50+51)(50²+5 1²)=1000400
    Je mets 1000400= X pour éviter la répétition
    Donc
    Je remarque que
    (48+49)(48²+49²)+(51+52)(51²+5 2²)=1002800= X+2400*1
    (47+48)(47²+49²)+(52+53)(52²+5 3²)=1007600= X+2400*1+2400*2
    Je mets 2400=Y pour éviter la répétition
    Je constate donc que pour chaque regroupement qui suit
    On a X+Y*1+Y*2+Y*3+....
    Donc
    Comme on a 49 regroupement + la dernière multiplication (99+100)(99²+100²)
    Donc on a
    (X)+(X+Y)+(X+Y+Y*2)+(X+Y+Y*2+Y *3)+.......+(X+Y+Y*2+......... Y*48)
    Ce qui donne
    49X+48Y+47*2*Y+46*3*Y+45*4*Y+. ......+25*24*Y+24*25*Y+......+ 2*47*Y+48Y
    =49X+2*48Y+2*47*2*Y+2*3*46*Y+. ....+2*25*24*Y
    =49X+ 2Y(48+2*47+3*46+4*45+.....+25* 24)
    Je mets 48=a
    On a donc
    =49X+2Y(a+2(a-1)+3(a-2)+.....+25(a-24))
    =49X+2Y(a+2a+3a+....+25a -(1*2+2*3+3*4+....+24*25) )
    =49X+2Y [ a(25*26/2) -( 24*25*49/6 +24*25/2)]
    =49019600+4800(15600-(4900+300))
    =52959999
    Sans oublier le dernier regroupement
    S=52959999+(99+100)(99²+100²)
    S=52959999+49920000
    S=102879999
    Voilà a quoi je suis arrivé
    Je veux savoir si c'est juste
    Ainsi qu'une méthode plus élégante que celle la
    Tel que trouvé la methode en lettre puis appliqué
    Ou alors quelque chose d'autres
    Svp
    Merci d'avance

    -----


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  3. #2
    gg0

    Re : exercice : calculer un exercice

    Bonjour.

    Mon esclave calculateur, pour la somme trouve 99 999 999 (si on ajoute le (0+1)(0²+1²) qui manque au début, on atteint 100 000 000).

    Tu est à quel niveau ?
    Si tu es en terminale, en rajoutant le 1 au début et calculant la somme jusqu'à 2, 3, 4, on voit apparaître une règle très simple, qu'on peut facilement prouver par récurrence, pour toute somme jusqu'à n, puis appliquer pour n=99.

    Cordialement.

  4. #3
    midorima

    Re : exercice : calculer un exercice

    Bonjour

    Bah non je ne suis pas encore en terminal
    Mais je sais connait la methode pour prouver une règle par récurrence

    Et je n'ai pas bien compris ce que tu veux dire par calculant jusqu'à 2, 3, 4
    Peux tu être plus précis ?
    Merci


  5. #4
    midorima

    Re : exercice : calculer un exercice

    Re bonjour
    Bon je remarque
    Que
    Pour les nombres 1,2,3,4
    (1)(1)+(3)(5)+(5)(13)+(7)(25)+ (9)(41)+(11)(61)
    Bref
    Il y a le premier facteur qui sont les nombres impairs
    De 3 jusqu'à 199
    Et l'autre facteur c'est
    1(1)+(1+2)(1+4*1)+(1+2+2)(1+4* 1+4*2)+
    (1+2+2+2)(1+4*1+4*2+4*3)+..... ainsi de suite

    Mais j'aurai besoin d'aide pour la règle
    Je n'arrive pas trouvé une qui tient la route

  6. #5
    gg0

    Re : exercice : calculer un exercice

    Pourquoi refuses-tu de calculer les sommes ? Tu ne sais pas multiplier et additionner ?
    (1)(1)=
    (1)(1)+(3)(5)=
    (1)(1)+(3)(5)+(5)(13)=
    (1)(1)+(3)(5)+(5)(13)+(7)(25)=

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    midorima

    Re : exercice : calculer un exercice

    Bonjour

    (1)(1)=1²=1⁴
    (1)(1)+(3)(5)=2⁴
    (1)(1)+(3)(5)+(5)(13)=3⁴
    (1)(1)+(3)(5)+(5)(13)+(7)(25)= 4⁴

    Soit n le nombre de terme
    La règle c'est n⁴
    Ici lr nombre de terme c'est 100
    Donc
    n⁴=100⁴=100 000 000
    Comme dans l'exercice
    On demande
    De 1 et non de 0
    Donc
    S=100⁴-1=99 999 999
    Est ce cela ?

  9. #7
    gg0

    Re : exercice : calculer un exercice

    Oui, à condition de prouver que la règle est valable pour tout nombre, pas seulement pour quelques uns au début.

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  11. #8
    midorima

    Re : exercice : calculer un exercice

    Je connais bien la méthode a suivre pour démontrer
    Une règle par récurrence
    Mais pour celle la
    Je la troive un peu difficile
    Ce n'est pas comme pour démontrer pour 1+2+3+..+n=n(n+1)/2
    Pour le premiere rang elle est vérifié
    Mais quand je remplace par n+1 afin de prouver qu'elle est vrai pour tout n
    Je tombe sur polynôme complexe
    Dois je remplacer par les valeurs numérique
    Ou y a t il autre chose pour faire cela

  12. #9
    gg0

    Re : exercice : calculer un exercice

    C'est assez simple. Il te suffit de développer (n+1)^4 et de comparer à ce que tu obtiens.

    NB : J'essaie d'imaginer ce que tu as fait, si tu ne comprends pas, écris ici ton début de preuve que je sache !

  13. #10
    midorima

    Re : exercice : calculer un exercice

    Bah justement
    J'ai développé (n+1)^4
    Et j'ai obtenu un polynôme que je n'arrive pas a faire le lien entre lui les termes
    (n+1)⁴=n⁴+4n³+6n²+2n+1
    Le problème c'est que le n est le nombre de termes et non un terme en lui même

  14. #11
    ansset

    Re : exercice : calculer un exercice

    tu fais compliqué
    (n+1)4-n4=((n+1)2)2-((n)2)2
    soir de la forme a²-b² avec a=(n+1)² et b=n²
    à toi de continuer en re-décomposant le premier terme ( celui avec un moins ) de cette identité remarquable.
    Dernière modification par ansset ; 07/01/2017 à 16h10.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  15. #12
    gg0

    Re : exercice : calculer un exercice

    Midorima,

    si tu avais vraiment rédigé la preuve par récurrence, tu aurais vu tout de suite que tu avais ce qu'il faut. Mais comme tu ne fais pas ta part du travail ... puisque tu n'écris rien ici de ton début de preuve, tu te contentes de pleurer que c'est difficile (*)

    Allez, fais ton exercice sérieusement !!

    (*) "le travail le plus difficile est celui qu'on ne fait pas " (Citation de Samsagace dans "le seigneur des anneaux")

  16. #13
    midorima

    Re : exercice : calculer une somme

    Bonjour

    (n+1)⁴-n⁴=((n+1)²+n²)((n+1)²-n²)
    =((n+1)²+n²)(n+1+n)(n+1-n)
    =((n+1)²+n²)((n+1)+n)
    Qui de la forme des termes de la somme
    Est ce cela ?

  17. #14
    gg0

    Re : exercice : calculer une somme

    On attend toujours la récurrence !!!

  18. #15
    midorima

    Re : exercice : calculer un exercice

    Oui lol
    D'abord
    L'initialisation
    Quand n=0
    S=0

    L'hérédité
    Supposons que S=n⁴ vrai pour n
    On demontre qu'elle est vrai pour tous n de N
    On essayant avec n+1/
    On a donc pour un nombre de terme n+1
    S=(n+1)⁴=n⁴+(4n³+6n²+4n+1)
    =n⁴+((n+1)²+n²)(n+1+n)

    Conclusion
    La regle S=n⁴ est vtprai pour tous entiern de N

    Est ce cela la preuve de recurrence ou c'est autres chose ?

  19. #16
    gg0

    Re : exercice : calculer un exercice

    Attention,

    dans l'héredité, on suppose qu'elle est vraie pour un entier n, et on démontre seulement qu'elle est vraie pour l'entier d'après, n+1. la phrase "On démontre qu'elle est vraie pour tout n de N" n'a rien à faire là.

    la partie "S=(n+1)⁴=n⁴+(4n³+6n²+4n+1 )
    =n⁴+((n+1)²+n²)(n+1+n)"
    n'a rien à voir avec la preuve à faire, puisque tu pars de ce qu'il faut démontrer !! Tu peux partir de S(n)=n⁴ , puisque c'est une hypothèse, mais pas affirmer la conclusion, puisque tu dois la prouver !
    Il vaut mieux utiliser pour S une notation qui montre que ça dépend de n, puisque c'est le cas, donc Sn ou S(n).

    A refaire correctement (y compris l'initialisation qui n'est pas finie )

  20. #17
    midorima

    Re : exercice : calculer un exercice

    Demontrons que quelques soit l'entier n de N
    La propriété Pn "Sn=n⁴" rst vraie

    Initialisation
    Vérifier que P(0) est vraie
    S(0)=0 (puisqu'il ya 0 termes)
    Et n⁴=0⁴=0
    Donc pour n=0
    La propriété P(n) est vraie

    L'hérédité :
    Supposons que la propriété Pn est vraie pour l'entier n
    Demontrer que la propriété est vraie pour l'entier n+1

    S(n+1)=(0+1)(0²+1²)+.....+(n-1+n)((n-1)²+n²) + (n+n+1)(n²+n(n+1²))
    S(n+1)=S(n)+(n+n+1)(n²+(n+1)²)
    Sn=n⁴
    Donc S(n+1)=n⁴+(2n+1)(n²+n²+2n+1)
    S(n+1)=n⁴+4n³+6n²+4n+1

    Et maintenant on calcule
    (n+1)⁴=(n²+2n+1)(n²+2n+1)
    =n⁴+4n³+6n²+4n+1
    Donc S(n+1)=(n+1)⁴
    La propriété P(n+1) est vraie

    Conclusion :
    La propriété Pn est vraie quelque soit la valeur de l'entier n de N

    Y a t il quelque chose qui manque ?

  21. #18
    gg0

    Re : exercice : calculer un exercice

    Cette fois ci, c'est complet.

    Cordialement.

  22. #19
    midorima

    Re : exercice : calculer un exercice

    Merci pour tes réponses

    J'ai une autre question
    Dans ma méthode que j'ai utilisé dans le premier post
    Je ne sais pas pourquoi le résultat est faux
    La méthode est elle fausse ?

  23. #20
    gg0

    Re : exercice : calculer un exercice

    Je ne sais pas, je n'ai pas eu le courage de chercher l'erreur (trop de calculs). Elle est en tout cas un peu trop compliquée. Ce qui oblige à faire avec une extrême attention les calculs.

  24. #21
    midorima

    Re : exercice : calculer un exercice

    D'accord
    Et
    Merci en tous cas pour tes réponses

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