Matrice - Terminales S Spé

invitee14b54a1 · 07/01/2017, 15h48

Bonjour/Bonsoir

J'aimerai avoir de l'aide pour cette exo.

On considère la suite ( $u_{n}$ ) verifiant:

pour tout n supérieur ou égale à 3, $u_{n}$ = $0,5 u_{n-2} + 0,25( u_{n-1}+ u_{n-3})$ ,

$u_{0}$ = $u_{1}$ =1 et $u_{2}$ = 2

On dit que la suite ( $u_{n}$ ) est définie par une relation récurrente linéaire d'ordre 3.

1) Démontrer que pour tout entier n > 2 on a : 1< $u_{n}$ <2

=> j'ai réussi à le faire.

2) On admet que la suite ( $u_{n}$ ) admet une limite L.

a. Montrer que pour tout entier n >2

$u_{n}+ 0,75 u_{n-1}+0,25 u_{n-2} = u_{n-1} + 0,75 u_{n-2}+ 0,25 u_{n-3}$

=> j'ai démontré cette égalité.

b. En déduire qu'il existe un réel k tel que, pour tout entier n > 2,

$u_{n}+ 0,75 u_{n-1}+0,25 u_{n-2} = k$

=> k=3

c. Determiner alors la valeur de la limite L de la suite $u_{n}$

=> L=3

3) On pose la matrice colone

$U_{n}=\begin{pmatrix} u_{n}\\ u_{n-1} \\u_{n-2} \end{pmatrix}$

Déterminer la matrice A qui permet d'exprimer $U_{n}$ en fonction de $U_{n-1}$

ce qui me perturbe c'est l'egalité $u_{n}+ 0,75 u_{n-1}+0,25 u_{n-2} = u_{n-1} + 0,75 u_{n-2}+ 0,25 u_{n-3}$

j'ai l'impression que $u_{n} = u_{n-1} = u_{n-2} = u_{n-3}$ mais c'est pas vrai car on nous donne que $u_{0} = u_{1} = 1$ et $u_{2} = 2$

**gg0** · 07/01/2017, 15h52

Une erreur sur la limite L.

Pour la matrice, elle est quasiment donnée dans la définition de Un. L'égalité qui a donné Vn=Cte n'a pas besoin d'être reprise, ce n'est qu'une autre écriture, moins pratique, de la définition. Ne perds pas ton temps.

Cordialement.

invitee14b54a1 · 07/01/2017, 16h36

merci pour votre reponse

Je me suis trompé jvoulais ecrire L =1,5

Pour la matrice A je dois utiliser la matrice $U_{n-1}$

$U_{n-1}$ = $\begin{pmatrix} u_{n-1}\\ u_{n-2} \\u_{n-3} \end{pmatrix}$

Quand vous dite c'est dans la definition de $U_{n}$ c'est bien celle la? $u_{n}$ = $0,5 u_{n-2} + 0,25( u_{n-1}+ u_{n-3})$

je ne vois pas comment ca va maider a exprimer la matrice $U_{n}$ en fonction de la matrice $U_{n-1}$

**gg0** · 07/01/2017, 16h57

Envoyé par thekimo

merci pour votre réponse
...
je ne vois pas comment ça va m'aider à exprimer la matrice

Pourtant tu as exactement le système qui te donne la matrice :
$u_n= 0,5 u_{n-2} + 0,25( u_{n-1}+ u_{n-3})$ (à écrire correctement)
$u_{n-1}=u_{n-1}$
$u_{n-2}=u_{n-2}$
Que tu retraduis en termes de $U_{n} =A U_{n-1}$

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitee14b54a1 · 07/01/2017, 17h23

pour traduire un systeme par exemple comme celui la:

2x+4y-z = 1

3x-2y+z = 2

x-3y+z = 4

je sais la traduire sous forme matricielle:

$\begin{pmatrix}2 & 4 & -1\\ 3& -2 &1 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 4\end{pmatrix}$

est ce qu'il faut faire la meme chose ici?

invitee14b54a1 · 07/01/2017, 17h30

il faut utiliser ce systeme?

$u_{n} = 0,5 u_{n-2} + 0,25u_{n-1}+0,25u_{n-3}$

$u_{n-1}=0,5 u_{n-3} + 0,25u_{n-2}+0,25u_{n-4}$

$u_{n-2} =0,5 u_{n-4} + 0,25u_{n-3}+0,25u_{n-5}$

ou je laisse $u_{n-1}= u_{n-1}$ et $u_{n-2}= u_{n-2}$

j'arrive pas à la traduire..

invitee14b54a1 · 07/01/2017, 17h51

si je fais avec votre systeme c'est bien ca?

$ \begin{pmatrix}0,5 & 0,25 & 0,25\\1 & 0 &0 \\ 1& 0 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_{n-2}\\ u_{n-1}\\u_{n-3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}u_{n}\\ u_{n-1}\\u_{n-2} \end{pmatrix} $

**gg0** · 07/01/2017, 17h56

Si tu ne mets pas les termes dans le bon ordre, tu fais tout pour te tromper !!

invitee14b54a1 · 07/01/2017, 18h08

Envoyé par gg0

Si tu ne mets pas les termes dans le bon ordre, tu fais tout pour te tromper !!

$\begin{pmatrix}5 & 0,25& 0,25\\ 1& 0 & 0\\1 & 0 & 0\end{matrix} \begin{pmatrix}u_{n-1}\\ u_{n-2}\\u_{n-3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}u_{n}\\ u_{n-1}\\u_{n-2} \end{pmatrix}$

voila?

**gg0** · 07/01/2017, 18h41

Non, ce n'est pas bon. Tu traduis le système
$U_n=5U_{n-1}+0,25U_{n-2}+0,25U_{n-3} U_{n-1}=U_{n-1} U_{n-1}=U_{n-2}$

Ce serait peut-être le moment de réapprendre les calculs matriciels en relisant ton cours.

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