Géométrie plane aves des grandeurs dimensionnées

[coussin]

Une petite curiosité : je raisonne sur une parabole de chute libre d'une hauteur H. Je la trace dans un graphe hauteur h en fonction du temps t. Son équation est donc . OK.
Je m'intéresse maintenant à l'équation de la droite tangente à cette parabole passant par un point . Bon, cette droite a comme équation .OK.
Je m'intéresse maintenant à l'équation de la droite perpendiculaire à la tangente à cette parabole passant par . Qu'à cela ne tienne : je me rappelle que le produit des pentes de 2 droites perpendiculaires est égal à -1. Je me dit donc que l'équation de cette droite est . Mais là, j'ai un problème car cette équation n'est pas homogène...

Qu'en penser ? Ai-je fais une erreur quelque part ? Ou bien, pour obtenir des équations homogènes doit-on nécessairement travailler avec des axes ayant la même dimension (pour que les pentes soient sans dimension) ?
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[jacknicklaus]

je me rappelle que le produit des pentes de 2 droites perpendiculaires est égal à -1.

le problème commence là : ceci n'est valable qu'adimensionné.

Sinon, il faudrait partir sur un produit scalaire nul des vecteurs directeurs, ce qui reste valable avec des dimensions.

[coussin]

Je vois... Comment généraliser cette propriété sur les pentes de 2 droites perpendiculaires alors ? De manière évidente, une équation pour cette perpendiculaire à la parabole existe et sa pente a bien la dimension d'une vitesse...

[stefjm]

Intéressant!
En prenant la perpendiculaire, cela échange naturellement les rôles de h et t, de la même façon qu'une fonction et sa fonction réciproque sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

Solution facile qui ne doit pas te plaire : -1 est dimensionné vitesse au carré.

ou Solution mathématique facile :


Quelle est ta préférence?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tifoc]

Bonjour,

je me rappelle que le produit des pentes de 2 droites perpendiculaires est égal à -1.

Dans un repère orthonormé (me semble-t-il). Et qu'est-ce que veut dire orthonormé en physique, les dimensions des deux axes étant différentes ?

[coussin]

Intéressant!
En prenant la perpendiculaire, cela échange naturellement les rôles de h et t, de la même façon qu'une fonction et sa fonction réciproque sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

Solution facile qui ne doit pas te plaire : -1 est dimensionné vitesse au carré.

ou Solution mathématique facile :


Quelle est ta préférence?

Je ne me suis pas posé de question et j'ai travaillé dans un repère hauteur h en fonction de ct, comme les diagrammes d'espace-temps Et ça a marché et j'ai abouti à ce que je voulais.

[coussin]

Bonjour,

Dans un repère orthonormé (me semble-t-il). Et qu'est-ce que veut dire orthonormé en physique, les dimensions des deux axes étant différentes ?

C'est intéressant En effet, pour orthonormer, on a besoin d'un étalon de longueur et de temps. Une fois ces étalons trouvés, autant travailler avec des axes sans dimensions, c'est vrai.

[stefjm]

En relativité restreinte et de toute façon...

[mach3]

Juste vite fait (pas tout lu les réponses, pardon c'est pas très poli), pour parler d'orthogonalité, il faut une métrique. Par défaut, un graphique n'a pas de métrique, donc il n'y a pas de notion d'angle ou de distance définissable dedans. La représentation du graphique (papier, écran) dispose d'une métrique euclidienne, mais ce n'est pas une raison pour en utiliser les propriétés (ça n'a a priori aucun sens).

Ajout : d'ailleurs même la notion de droite n'a pas de sens a priori ici, par défaut il n'y a pas de connexion définie dans un graphique

m@ch3

[stefjm]

Un produit scalaire suffit pour parler d'orthogonalité au sens de ce profuit scalaire. Avant même d'avoir une distance.

[mach3]

Un produit scalaire suffit pour parler d'orthogonalité au sens de ce profuit scalaire. Avant même d'avoir une distance.

Encore faut-il qu'il y ait un produit scalaire défini, et ce n'est pas le cas pat défaut sur un graphique. Il faut le décréter (tout comme on devra décréter une connexion), et il faut que ce décret fasse sens sinon il est gratuit et inutile.

m@ch3

[stefjm]

J'imagine que coussin avait en tête le produit scalaire canonique?
Autrement dit de dimension L.T ?

[mach3]

Peut-être mais lequel? Suivant le choix d'unité et/ou d'échelles deux droites orthogonales peuvent ne plus l'être...

[stefjm]

Je suis curieux de son retour.
J'aime bien les unités qui foirent quand il y a des produits scalaires, vectoriels,...

[azizovsky]

Je ne comprend pas où est le problème, on a déjà:



i.e: dimension d'une vitesse .

par exemple : avec pour l'orthogonalité

on a deux droites:

[coussin]

Je suis curieux de son retour.

Je n'ai pas de retour à fournir...
C'est un petit exercice original (et tout simple, purement géométrique) pour retrouver la dilatation du temps dans une métrique de Schwartzschild Je savais que la démonstration devait se faire dans un graphe (h,ct) mais j'étais curieux de la faire dans un graphe (h,t)

[mach3]

Je n'ai pas de retour à fournir...
C'est un petit exercice original (et tout simple, purement géométrique) pour retrouver la dilatation du temps dans une métrique de Schwartzschild Je savais que la démonstration devait se faire dans un graphe (h,ct) mais j'étais curieux de la faire dans un graphe (h,t)

Ah, alors il y a une métrique, et suivant si on prend ct ou t, il faut adapter la métrique en conséquence.

m@ch3