Les coordonnées cartésiennes d'un mobile dans un plan (xoy) sont : x=2sin(wt) et y=2cos(2wt). Montrer que le mouvement du mobile est périodique.
Ma question est ce que ce mouvement est vraiment périodique car chaque axe à une période propre? Si période il y comment trouver et raisonner ?
La période est.
En effet en t=0, on a x=0 et y =2. On a de nouveau x=0 pour
Le graphique obtenu s'appelle une figure de Lissajous: https://www.wolframalpha.com/input/?...7D+-%3E%222%22
Quelle est l'équation de la trajectoire ?
Bonjour,Envoyé par TheaGracias
Un mouvement admet comme période n*T tous les multiples de sa plus petite période T, puisque le mouvement revient à l'identique tous les nT.
Ici vous avez deux périodes différentes de base différentes pour x et y, la période du mouvement est donc le plus petit multiple commun des deux.
La bonne réponse n'a pas encore été donnée dans les réponses.
Pour trouver l'équation du mouvement il suffit d'exprimer y en fonction de x, donc en éliminant t. Il n'est pas difficile d'exprimer cos(2wt en fonction de sin(wt)
Au revoir.
Comprendre c'est être capable de faire.
La période c'est pi/w ou 2pi/w et je pense que la trajectoire est y=-x2+2
Et donc c'est laquelle des deux la bonne ?
Une figure de Lissajoux ne ressemble pas tout à fait à une parabole !
Pour se faire une intuition du phénomène, rien de tel que l'expérimentation numérique. De mon temps je faisais ça sur ma HP48G, mais maintenant on a
https://www.wolframalpha.com/input/?...os%284*pi*t%29
Et essayez de faire varier les périodes :
https://www.wolframalpha.com/input/?...os%283*pi*t%29
Ou pire :
https://www.wolframalpha.com/input/?...r+t%3D0+to+100
https://www.wolframalpha.com/input/?...or+t%3D0+to+10
Vous verrez dans quels cas le mouvement est périodique (et la trajectoire se referme sur elle même) et dans quels cas il ne l'est pas (la trajectoire reste confinée, mais ne se referme jamais, même si elle fini toujours par repasser tout près de ses anciens points de passage).
Not only is it not right, it's not even wrong!
C'est un Lissajoux écrasé car les points de rebroussement
Comprendre c'est être capable de faire.
Donc la période est pi/w? Et la trajectoire n'est pas une parabole? Pourtant quand on transforme cos(2wt) en sin(wt) on obtient bien une parabole comme équation.
Je discute depuis un certains temps avec un amis sur la façon de trouver la période de ce mouvement. Pour moi dire que chaque axe possède une période propre revient à dire que le point se dédouble. C'est incompréhensible non?
Peut-on trouver les points où le vecteur vitesse est perpendiculaire au vecteur accélération ?
Donc on n'est pas au même endroit.
Oui, car c'est une Lissajoux "dégénéré", vous avez raison. Avec mes excuses, j'avais juste lu Lissajoux.
Il faut que cela soit une période à la fois de x et de y.
Là par contre, c'est plus simple, vous calculez les deux vecteurs, et quelle opération simple donne 0 avec deux vecteurs perpendiculaires ?
La période est la plus grande des deux, donc ce n'est pas celle que vous indiquez. Le mouvement est bien sur la parabole, il faut préciser que seulement l'arc compris entre -2 et +2 constitue la trajectoire du mobile.
Les périodes se comprennent bien si l'on réalise que le mobile effectue des allers retours sur cet arc : pour un trajet en x de -2 à +2, il effectue le double en y de -2 à +2 puis -2 à nouveau.
Pour trouver les vecteurs vitesse et accélération il suffit de dériver une fois, puis une seconde fois les coordonnées.
Il existe un point évident où ces vecteurs sont perpendiculaires.
Comprendre c'est être capable de faire.
Voici mon raisonnement : x=sin(wt) et y=2-sin2(wt) après transformation. x et y dépendent de sin(wt) donc la période est 2pi/w. Pour les points où l'accélération est perpendiculaire à la vitesse j'ai trouvé 5 points de coordonnées (-2;-2),(2;-2),((-2;-2),(2;-2),(-Racine carré 30)/4;1/8),((Racine carré 30)/4),(0;2)
Mon raisonnement est-il correcte ?
C'est OK pour la période.
Pour les points où accélération est perpendiculaire à la vitesse, cette condition implique que ni l'une, ni l'autre ne soient nulles. Or les points de rebroussement (-2;-2),(2;-2) sont des points de vitesse nulle et ne peuvent convenir.
Le point (0;2) est le point évident dont je parlais au sommet de l'arc car la vitesse est suivant l'axe x et l'accélération suivant l'axe y
Je ne vois pas comment vous avez trouvé les autres points, car si l'on écrit l'équation qui correspond aux vecteurs perpendiculaires, cette équation n'a pas d'autres racines que celle indiquée ci-dessus !
Comprendre c'est être capable de faire.
Je trouve comme équation sin(2*w*t)=8*sin(4*w*t) qui, en dehors de la solution évidente t=0 qui conduit au point évident (0,2), a bien une autre solution qui conduit bien à ce qui est proposé.
Après avoir trouvé les composantes des vecteurs accélération et vitesse je trouve le produit
sin(2wt)(cos(2wt)-1/16)=0 et je remplace cos(2wt)=1/16 dans y=2cos(2wt)=-x²+2
Il y a bien deux points supplémentaires sur l'arc d'ordonnée y = 1/8 avec les x correspondants.
Un grand bravo.
Comprendre c'est être capable de faire.
