Calcul d'un allongement d'un tronconique

[flo4118]

Bonjour je me retrouve incapable de calculer l'allongement d'un tronconique.
Je connais bien la lois de Hooke qui dit : Δl = (F.l0)/E.S. Je connais bien mon module de Young (E), ma force donnée par l'énoncée et l0 qui est la taille d'origine, mais pas S la section. Dans le cas d'une poutre rectiligne (par exemple une barre) c'est simple on a S=πr², mais ici on a pas une barre rectiligne mais variable. D'après ce que j'ai compris du cours la lois de Hooke est toujours valable car notre poutre évolue est variable de manière faible.
Mais du coup comment calculer la section ?
Dans mon énoncé on me demande de retrouvé que Δl = 4FL/πdD (avec L la longueur de la poutre, D le diamètre de la base de la poutre tronconique et d la "tête" de la poutre). D'après la formule j'en déduis que S=πdD/4 mais je n'arrive pas a le montrer.
Des idées ?
merci d'avance
-----

[gts2]

Bonjour,

On découpe en tranche et on intègre, mais il y a peut-être plus astucieux.

[flo4118]

Bonjour,
J'y ai pensé mais je ne trouve pas vraiment la formule à intégrer. De plus on se retrouve avec une soustraction àla fin de l'intégral, ce qui me semble peut compatible avec mon énoncé.

[gts2]

Je pose pour simplifier et donc , en x=0 diamètre d, en x=L diamètre D.
On a alors qui s'intègre sans difficulté et donne bien votre résultat.

[A voir en vidéo sur Futura]

[flo4118]

Rebonjour,
Je me retrouve incapable de retrouver les formule que vous me proposez. Le 1/4 du S(x) me semble issue du calcul d'une sections de cercle et du fait que nous travaillons avec les diamètres, de même pour qui pi vient de la formule, ainsi que du carré. Si je comprend bien vous avez creer un "diamètre évolutif" mais je n'arrive pas vraiment a comprendre comment. Par extension je ne comprend pas d'où viens le alpha ou même comment le trouver. J'ai essayer de le retrouver avec un thales, mais comme l est la distance entre les deux cotés de l'objet et non pas le coté d'un triangle je me retrouve bloqué. De même je ne vois pas comment appliquer un théorème de Pythagore.
Cependant si ça peut vous rassurer avec le calcul de l'intégral je retrouve bien le résultat... mais du coup je en sais pas comment y arriver.

[gts2]

Si joint un schéma pour expliquer le
La pente de la droite est



Je découpe la poutre en tranche d'épaisseur dx auquel j'applique la relation en remplaçant la longueur l₀ par l'épaisseur de la tranche dx.

[flo4118]

Bien merci l'explication est très claire !
J'ai bien compris le principe et le coup de la pente est très astucieux je trouve. Je vais continuer de m'entrainer la dessus mais vous venez de me retirez une sacré épine du pied ! Je vais pouvoir avancer sur autre chose !
Encore merci pour votre aide !

Ps: petit doute sur ce forum on indique quelque chose si le problème est résolu ? merci