Energie de Hamiltonien de Klein Gordon

[ornithology]

bonjour,

En mecanique quantique l'énergie d'un etat apparait dans quand l'etat est un vecteur propre de l'hamiltonien.
Dans l'équation de Klein Gordon et dans l'hamiltonien de Klein Gordon dont elle provient il y a un terme qui a la dimension du carré d'une énergie. s'il etait seul on aurait a résoudre . E n'aurait pas la dimension d'une energie mais du carré d une energie. une solution possible serait que
les autres termes annulent ce terme mais dans ce cas on obtient
soit E = 0.
comment s'en sort on?
merci
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[ThM55]

Tu as raison de remarquer que l'équation de Klein-Gordon n'a pas les dimensions voulues. Ce n'est pas si grave en soi si on prend le carré du hamiltonien et des valeurs propres qui sont le carré de l'énergie. Il faut resituer tout cela dans le cadre quantique général. Le hamiltonien détermine l'évolution dans le temps de l'état quantique. Dans la représentation de Schrödinger:

où H est l'opérateur hamiltonien.

L'équation aux valeurs propres que tu décris est celle obtenue après séparation des variables temps et espace pour un état stationnaire. Dans ce cas on a . En substituant on voit que la fonction T(t) est une exponentiel de et que obéit à l'équation aux valeurs propres que tu as écrite.

Mais l'équation de Klein-Gordon ne rentre pas dans ce schéma! En effet elle est du second ordre dans les dérivées et en particulier elle est en . C'est d'ailleurs une conséquence de l'invariance relativiste qui exige une symétrie espace-temps.

Une possibilité serait de prendre la racine carrée (positive pour avoir une énergie positive):

.

Mais cela présente d'énormes difficultés: quel sens peut-on donner à la racine carrée d'un opérateur? On peut le développer en série, mais c'est un cauchemar: on aura des dérivée partielles de tous les ordres jusqu'à l'infini. En fait il s'agit d'une équation non locale dans les coordonnées d'espace. De plus si on lui adjoint des termes de couplage (par exemple avec le potentiel électromagnétique pour un champ complexe), c'est encore plus difficile à comprendre.

Je connais trois voies pour en sortir:
1) reprendre l'équation de Klein-Gordon du second ordre et l'interpréter comme une fonction d'onde à la Schrödinger. En fait on utilise le carré du hamiltonien. Cette équation a un problème: on ne sélectionne plus comme dans la racine carrée, une énergie positive. Il y a des états d'énergie négative. C'est mortel pour la mécanique quantique car tout couplage avec un champ externe donnera des amplitudes de transition non nulles vers des états d'énergie négative. C'est une théorie instable, toute l'énergie du champ sera pompée. De plus on ne peut plus comme dans l'équation non relativiste associer la fonction d'onde à une probabilité de présence car on peut montrer que cela donne des probabilités négatives qui sont impossibles à interpréter. En fait, Schrödinger avait d'abord considéré l'équation de Klein-Gordon en 1925, et il s'est rendu compte de ces difficultés. Il n'interprétait pas le courant conservé comme une densité de probabilité (c'est venu après, avec Dirac) mais plutôt comme un courant de charge électrique. Comme elle est conservée, il fallait qu'elle reste de même signe (conventionnellement positive). C'est pourquoi il est passé à une équation non relativiste en attendant de trouver une meilleure solution.

2) Passer à l'équation de Dirac, qui est du premier ordre en toutes les variables mais a 4 composantes. Cela résout le problème des probabilités négatives, l'équation est relativiste, facile à coupler avec le champ électromagnétique et elle fait des prédictions remarquables et vérifiées (comme le facteur gyromagnétique de l'électron, la structure fine de l'atome d'hydrogène). Mais elle a aussi des solutions à énergie négative. Dirac a trouvé un moyen génial de s'en sortir (avec une "mer de fermions d'énergie négative dont tous les états sont occupés, cf Wikipédia).

3) Réinterpréter le champ non plus comme une fonction d'onde (ou un état quantique) mais plutôt comme un opérateur qui représente une observable ou sert à construire des observables. C'est cette interprétation qui est adoptée universellement en théorie quantique des champs et qui s'applique maintenant avec un immense succès à toutes les équations relativistes de champs, y compris celui de Dirac. Dans ce dernier cas les solution à énergie négative redeviennent à énergie positive, mais ont la charge opposée, il s'agit des antiparticules, ce qui fait qu'on n'a plus besoin de la "mer d'états d'énergie négative" tous occupés de Dirac. Si on considère le champ , on voit qu'il dépend du temps, et comme c'est un opérateur, on est dans la représentation de Heisenberg. Rien n'empêche de repasser à la représentation de Schrödinger mais c'est moins efficace dans une théorie relativiste, cette représentation ne mettant pas le temps et l'espace au même niveau dans le formalisme. L'espace d'états n'est plus représenté par des fonctions d'onde comme , il s'agit d'un espace de Fock dont les dimensions représentent les niveaux d'occupation des divers modes des champs.

Ce qui est remarquable dans la TQC c'est que les divers champs, qu'ils soient des champs "de matière" ou "de forces" sont unifiés dans le même formalisme. La physique n'est plus une "science de la matière" comme elle est classifiée de manière si archaïque dans les forums de Futura-Sciences (en quoi la lumière ou les ondes gravitationnelles sont-elles de la "matière"?), mais c'est une "théorie de champs", puisque la distinction n'a plus lieu de se faire.

[ornithology]

N'y a t il pas ici avec KG un exemple d'hamiltonien contraint? je ne suis pas a l'aise avec ce genre de choses.
si H phi = 0 si phi satisfait la contrainte comment calculer son energie?

[ThM55]

Non, sûrement pas. Le terme n'est pas le seul, il y a aussi le terme avec les dérivées. De toute façon je ne comprends pas pourquoi tu dis que E=0. Ce n'est pas vrai.

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Pour annuler le premier terme, il faut que à partir de l' équation (43,48), ou , càd, tu pose m=0, on obtient l'équation des ondes électromagnétiques.

[Deedee81]

Salut,

on obtient l'équation des ondes électromagnétiques.

Ou l'équation de KG (ou de Dirac) pour des particules sans masse.

C'est bien le seul cas où 0 est dans le spectre (ce qui pose bien d'autres soucis d'ailleurs mais ce n'est pas l'objet)

Je confirme aussi que l'hamiltonien n'est pas du tout contraint (qu'on ne rencontre que dans des situations comme les états liés (notoirement difficiles à résoudre en théorie des champs) ou... en RG).

[ornithology]

j'ai du faire une erreur de calcul. comment s'écrit l hamiltonien exactement (meme pas honte!)?

[ornithology]

Désolé , J'avais fait le calcul de tete et je trouvais que l'hamiltonien était égal a l'opérateur de l'équation de KG.
La j'ai refait les calculs sur papier. l'hamiltonien n'est effectivement pas contraint.
merci pour vos réponses.