Ontologie de la création et annihilation

[azizovsky]

Merci ThM55 pour les détails qui vont combler le vide des notions que j'apprend sur FS et ailleurs .
Je crois qu'il a parlé de celui qui va faire avancer la physique si ma mémoire...., je vais chercher le texte.
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[azizovsky]

Je l'ai trouvé:

Pour résumer, je prévois que le renouvellement attendu (s’il doit encore venir. . .) viendra plutôt d’un mathématicien dans l’âme, bien informé des grands problèmes de la physique, que d’un physicien. Mais surtout, il y faudra un homme ayant "l’ouverture philosophique" pour saisir le noeud du problème. Celui-ci n’est nullement de nature technique, mais bien un problème
fondamental de "philosophie de la nature"

RECOLTES ET SEMAILLES

[Abitbol C137]

ThM55 : Je tiens à dire que je ne voulais pas donner l'impression de proposer un point de vue nouveau sur la physique. En ce qui concerne cette affaire d'opérateurs, je vais essayer de me faire comprendre une dernière fois.

En ce qui concerne la position, pour une particule scalaire non-relativiste, il y a (au moins) deux objets mathématiques équivalents (d'après le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints) pour la décrire :
- l'opérateur position ;
- sa "PVM" ("projector-valued measure" en anglais, je sais pas comment ça s'appelle en français), c'est-à-dire, l'application (que je note pour l'occasion) qui à tout borélien de associe le sous-espace de contenant les (classes de) fonctions qui (ont un représentant qui) s'annulent en dehors de .

Si on accepte de considérer les sous-espaces de comme des "propositions" sur cette particule, alors est tout simplement l'application qui à tout borélien de associe la proposition "la particule se trouve dans " et joue alors un rôle similaire à l'application image réciproque (je veux dire que jouerait le même rôle que si était une vraie fonction qui, aux éléments d'un espace des phases associerait leur "vraie" position. Tout ceci est bien sûr parfaitement standard.
Je dis juste que je trouve beaucoup plus pertinent (sur le plan de l'esthétique et de la pédagogie de l'exposé) d'utiliser l'objet PVM pour représenter mathématiquement le concept de position, à la place de l'opérateur ; car un opérateur est une application, et quand on est matheux et qu'on voit une application, on veut l'appliquer à des trucs !
Certes, l'objet PVM est un peu compliqué, mais c'est dû à la nature compliquée du spectre de l'opérateur position (il n'a pas de vraie valeur propre, etc.). Mais en dimension finie, c'est des objets d'une simplicité mathématique confondante.

Bref, dans ma tête, les choses se sont éclaircies quand j'ai compris ça et ce n'est qu'à partir de ce moment que je me suis dit que j'avais compris ce qu'était la position.

Partant de là, j'essaie de voir, derrière ces opérateurs de création et d'annihilation, s'il n'y a pas un autre objet mathématique, qui serait équivalent, et dont la nature mathématique correspond exactement à ce qu'on attend. Bien sûr, ils ne sont pas auto-adjoints (donc c'est pas des observables et c'est pas des PVMs que je cherche) ni unitaires (donc c'est pas des symétries de quelque chose). Il n'y a peut-être rien ; peut-être que ce sont juste des artifices de calcul, je ne sais pas.

Mmmmh, voici une question qui me semble simple : mettons que mon système (formé de particules qui font des trucs) soit dans un état . Mettons qu'après un moment, il se passe un truc, et une particule est apparue. Est-ce que l'état du système est à présent , convenablement normalisé pour qu'il soit de norme ? C'est une question super naïve, et je n'ai aucune idée de la réponse ; je serais surpris que la réponse soit "oui", et si c'est "non", ça me conforterait dans l'idée que dans ces opérateurs, ce n'est pas le fait qu'ils soient des applications qui doit intéresser les physiciens, vu que l'image de trucs par ces applications ne correspond pas à ce que j'aurais attendu si je suivais mon intuition guidée par le choix de nomenclature.

[coussin]

La réponse est oui.

[Abitbol C137]

Ah, eh bien, merci ! J'ai de quoi réfléchir !

[Deedee81]

Salut,

Notons que ce n'est pas contradictoire avec la remarque sur le caractère non observable et non unitaire de l'opérateur. Une particule comme ça toute seule n'apparait pas, pas sans qu'autre chose change. Donc un tel état a+ v est tout à fait normal. Et des opérateurs observables comme l'opérateur de nombre ou l'hamiltonien sont des combinaisons de a et a+.

Il ne devrait pas être trop difficile de pondre deux observateurs observables qui peuvent remplacer ces deux là. Mais le sens de a et a+ au moins en tant qu'opération mathématique de changement d'états ayant un sens physique, est tout à fait claire. Et ce serait sans doute se gratter pour se faire rire (comme disait mon prof de physique à la fac ). C'est un peu la même chose pour les PVM, il est clair que les opérateurs habituels et les états de base habituels sont souvent des abstractions peu réalistes (voire pas du tout). Et comme Tanoudji le dit "vérifiez au moins une fois avec les PVM que ces abstractions marchent bien" et une fois fait, on est tranquille. C'est quand même plus facile de multiplier une fonction par un delta de dirac et d'intégrer que de le faire avec une PVM

[ornithology]

je lis
supposons que le systeme soit dans un certain temps une particune est émise...

la MQ parle de possibité d émission de ceci ou cela. de statistique. par de processus au coup par coup.
elle parle uniquement d unitarité. le reste c est le pb de la mesure.

[Deedee81]

Salut,

je lis
supposons que le systeme soit dans un certain temps une particune est émise...

la MQ parle de possibité d émission de ceci ou cela. de statistique. par de processus au coup par coup.
elle parle uniquement d unitarité. le reste c est le pb de la mesure.

Je comprend pas trop où tu veux en venir là. Si j'ai des atomes qui émettent de la lumière à certains moments, je ne vais pas dire "oh mon dieu ils ont émis une unitarité"
Il y a bel et bien des processus au coup par coup en mécanique quantique (même si leur prédiction est probabiliste)
La MQ ne parle pas que d'unitarité (sinon ce serait un peu court jeune homme comme aurait dit Edmond Rostand qui pourtant ne connaissait même pas la mécanique quantique)

[azizovsky]

D'après mes connaissances, l'outil qui leurs ressemble de loin est le produit tensoriel des formes et tous ce qui suit, altération,..., en particulier la différentiation (k-forme)--> (k+1)-forme et la codifférentiation d'une k-forme---> (k-1)-forme.

[azizovsky]

On peut symboliser codéffirentiation d'une 0-forme=0 ,i.e:

[Deedee81]

D'après mes connaissances, l'outil qui leurs ressemble de loin est le produit tensoriel des formes et tous ce qui suit, altération,..., en particulier la différentiation (k-forme)--> (k+1)-forme et la codifférentiation d'une k-forme---> (k-1)-forme.

Excuse-moi mais je ne comprend pas. Qu'est-ce qui ressemble à des produits tensoriel de formes ????
d'autant qu'on ne rencontre pas fréquemment ce genre de chose en MQ/TQC.

[azizovsky]

Excuse-moi mais je ne comprend pas. Qu'est-ce qui ressemble à des produits tensoriel de formes ????
d'autant qu'on ne rencontre pas fréquemment ce genre de chose en MQ/TQC.

Quand t'on cherche un outil, on cherche tous ce qu'il y'a dans le garage qui peu servir .....
Déjà dans ce lien , ils utilisent la même terminologie (création-annulation,page : 348).

[Deedee81]

Oulà, faut dire que là t'a été chercher une sacrée référence Je comprend mieux le lien que tu fais.

Mais je me vois quand même mal expliquer à ornithology ou à Abitbol à grand coups d'algèbres de Clifford ou d'algèbre tensorielle
C'est carrément prendre le gros marteau pour écraser une mouchette là.

[Abitbol C137]

Deedee81 : Ben quand on fait un peu d'algèbre, c'est pas si compliqué, une algèbre de Clifford... Et en outre, l'espace de Fock c'est une construction d'algèbre tensorielle. Bref je vois pas pourquoi tu parles de gros marteaux : ça me semble justement être les bons objets mathématiques pour parler de plusieurs particules !

Bon j'ai un peu réfléchi mais je vais continuer à méditer. En tout cas, maintenant qu'on a une référence (j'ai pas encore lu le passage de Weinberg conseillé par ThM55), je peux vous pointer un truc qui me chafouine : dans le document d'azizovsky, page 348, justement, 5.5 A), ya cette affaire de que je n'ai pas encore tout à fait digérée. J'ai bien compris que si on met pas ce facteur multiplicatif, la relation de commutation ou d'anticommutation espérée ne sera pas la même ; mais moi j'aurais bien voulu mettre à la place.

[azizovsky]

Il y'a déjà dans les deux cotés (forme différentielle ,espace de Fock): la symétrisation, anti-symétrisation, un déterminant (de Slater pour l'un ,et d'altération pour l'autre : même forme mathématique.. ), produit tensoriel, création ou annulation, ...
Un outil pour faire des analogies mathématico-physiques, possible il n'est pas approprié pour le sujet.

[Deedee81]

Deedee81 : Ben quand on fait un peu d'algèbre, c'est pas si compliqué, une algèbre de Clifford...

Ben, si ça te convient, tant mieux

Et désolé, j'avais clairement sous-estimé ton niveau !!!!!

[ornithology]

@Abitbol
apres ces échanges quelles sont les choses qui te laissent perplexes?

[ThM55]

Je comprends mieux ta question après ton message 46. Ce que tu expliques me semble en effet correspondre à l'explication standard, en gros tout cela a été clarifié dans le cadre non relativiste par Von Neumann.

Pour ta question:

Mettons qu'après un moment, il se passe un truc, et une particule est apparue. Est-ce que l'état du système est à présent , convenablement normalisé pour qu'il soit de norme 1?

C'est très exactement comme cela qu'on traite un problème de diffusion de particules (le type d'expériences qu'on fait dans des accélérateurs, semblable à de la pétanque). On décrit les états initiaux par l'action des opérateurs de création sur le vide ("ils avalent le vide et crachent" un vecteur d'état avec par exemple un muon). L'état final est écrit de la même façon. Par exemple si on s'intéresse à la désintégration du muon, un état contenant un électron, un antineutrino électronique et un neutrino muonique. L'état initial est un état asymptotique pour t moins l'infini et l'état final un asymptotique pour t vers plus l'infini. On fait évoluer l'état initial selon le hamiltonien (c'est la partie dure, c'est faire ça que Feynman a inventé ses diagrammes qui résument tout la technique de calcul) et sa projection sur l'état final donne une amplitude qui permet dans mon exemple de calculer par exemple la durée de vie du muon, ou d'autres caractéristiques probabilistes de la désintégration. Les calculs reviennent à tenir compte de toutes les combinaisons possibles obtenue en commutant les opérateurs de création et d'annhilation utilisés pour construire les états avec ceux utilisés pour écrire le hamiltonien d'interaction. C'est de la combinatoire pure et c'est encodé dans les diagrammes de Feynman. De même en optique quantique quand on travaille avec des états d'un petit nombre de photons (comme on sait le faire par des expérience magnifiques depuis environ 40 ans), le formalisme employé décrit la création et l'absorption de ces photons par des opérateurs de création. Une "conversion basse" dans un cristal non linéaire avale un photon et en recrache deux dont la somme des énergie est égale à l'énergie incidente. C'est modélisé par le produit d'un opérateur d'annihilation pour le premier photon et de deux opérateurs de création pour ceux qui sortent du cristal. Il s'agit d'un processus unitaire, ce n'est pas une mesure! C'est ce qui a permis de réaliser les expériences de type EPR-Bohm.

En fait les champs quantiques (champ électrique, champ magnétique, champ électronique, etc ) SONT des opérateurs de création et d'annihilation. Je pense qu'on pourrait faire la même analyse que celle que tu as esquissée, mais ce serait de peu d'intérêt car en général on ne mesure pas les amplitudes de ces champs, on examine plutôt leur effet sur les états. On est donc à l'opposé de ton hypothèse de départ.

Je crois que les physiciens utilisent volontiers les opérateurs car il s'agit d'un truc de calcul qui marche. J'ai déjà parlé des commutateurs, mais l'algèbre des annihilateurs et des créateurs est au coeur de la théorie quantique des champs. En fait cela s'applique aussi à la théorie des cordes. C'est moins connu car l'approche usuelle (qu'on apprend dans les traité de Green-Scwhartz-Witten ou Polchinski) est quasi classique, on travaille avec des trajectoires de cordes qui donnent des surfaces d'univers. Mais il existe une description des cordes en terme de "champs de corde" où des opérateurs (sans doute très compliqués à décrire) créent et annihilent des cordes.

[azizovsky]

Un lien intéressant pour ceux qui ont des outils aiguisés.

on peut lire:

Le h-module S est appelé l’espace de Fock bosonique. Encore une fois, en tant qu’espace vectoriel, ce n’est rien d’autre que l’algèbre de Macdonald des polynômes symétriques.

(p:115)

La représentation s’appelle l’espace de Fock fermionique (de charge 0)

(p:119).

[ThM55]

J'espère ne pas trahir la pensée d'Abitbol C137 (il corrigera si c'est le cas), mais ce qu'il dit est que selon lui les physiciens ne travaillent pas réellement avec les opérateurs, qui sont des transformateurs de vecteurs dans l'espace de Hilbert, mais en réalité on utiliserait mieux ce qu'il appelle l'objet "PVM" qui est relié au spectre de cet opérateur.

Ce que j'ai voulu montrer c'est que justement non, ce n'est pas la bonne façon de voir. Car en théorie quantique des champs et dans ses applications même non relativistes, les opérateurs appliqués aux états et les transformations qu'ils effectuent sont au coeur du sujet et des calculs. Même l'évolution unitaire d'un état au cours du temps est un opérateur (unitaire comme de bien entendu) . En informatique quantique, dans le modèle par circuits, les portes quantiques sont des opérateurs qui agissent sur des états. Croire que les physiciens ne font que des expériences de mesure de position des particules est trop réducteur, ce n'est pas la bonne approche. Il est exact que les "observables" sont représentées par des opérateurs dont le spectre donne les valeurs possibles. Mais il ne faut pas oublier qu'on effectue dans l'opération de mesure (telle que définie par Von Neumann) une projection d'un état qui a évolué sur les états propres de l'opérateur. Il n'y a pas que le contenu du spectre qui compte.

Je ne saurais trop conseiller d'étudier la mécanique quantique et la théorie quantique des champs pour comprendre comment cela est mis en oeuvre. Dans ce dernier cas il faut savoir que la plupart des textes sont fortement orientés vers la phénoménologie car on veut évidemment confronter la théorie avec tout ce qu'on peut tirer de l'expérience. Cela peut embêter le mathématicien qui n'a pas besoin de savoir dans les moindres détails comment une section efficace dépend de la polarisation mais cherche plutôt à comprendre les fondements. Voici une référence que je recommande dans cette optique: "The Conceptual Framework of Quantum Field Theory", par Anthony Duncan, Oxford University Press (ISBN 978-0-19-880765-0).

Au fait, puisque j'ai parlé de Stephen Weinberg, je signale pour ceux que cela pourrait intéresser qu'il va publier le mois prochain aux éditions Cambridge University Press "Foundations of Modern Physics", un livre dans lequel il compte décrire les fondements de la physique moderne en les plaçant dans leur contexte historique. Cet ouvrage pourra servir de base à toute introduction à la physique moderne et j'ai l'impression qu'il deviendra vite une référence à recommander. J'attends ce livre avec impatience. Je sais que Weinberg n'est pas un historien et que certains historiens des sciences l'ont durement critiqué récemment pour certains écrits. Mais à tort à mon avis, Weinberg est un extraordinaire physicien, c'est un peu le "pape" de la physique moderne. De plus il a courageusement combattu la tendance pernicieuse de la sociologie des sciences qui relativise le contenu scientifique en l'assimilant à une "construction sociale", c'est-à-dire un ensemble conventions acceptées par consensus dans une communauté. C'est à mon avis un point de vue absurde et catastrophique qui a ouvert la voie aux bêtises de politisation de la science que l'on voit malheureusement à l'oeuvre de plus en plus dans les universités américaines avec hélas une certaine contagion en Europe. Quand j'aurai lu ce livre je rédigerai une revue sur ce forum.

Je suis désolé de ne donner que des référence en anglais. Pour compenser avec des auteurs français, j'ajouterais l'excellent "Comprenons-nous vraiment la mécanique quantique?" de Franck Laloë. Il y a aussi des ouvrages de Roland Omnès, mais ils sont en anglais! Idem pour le QFT d'Itzykson et Zuber.

[ornithology]

Un petit rappel historique sur Heisenberg a l origine des opérateurs. A son époque seules les transitions pour un atome étaient concretes par la mesure des longueur d onde. pas les états.il a établi des regles de composition des transitions qui s est avéré etre le calcul matriciel. une transition etant une case dans une matrice.
.

[ornithology]

@Thm55
Tu as cité Zuber.
C'est un scientifique francais de haut niveau . Et qui est resté modeeste. un jour a propos des livres écrits par Untel et al, il a plaidé pour les petites mains qui ont aidé Untel. c est comme ca qu il se voyait pour cet ouvrage de référence!

[Abitbol C137]

Je réponds surtout à ThM55 :

Ton premier paragraphe ne trahit pas ma pensée... mais le reste un peu !

Je n'ai "critiqué" le choix de prendre des opérateurs que pour les opérateurs auto-adjoints comme observables. Je suis tout à fait d'accord que pour les opérateurs unitaires qui implémentent les symétries, c'est un bon choix d'objet mathématique (il y a même les théorèmes de Wigner et Kadison qui justifient ça). Aucun problème !

"Il est exact que les "observables" sont représentées par des opérateurs dont le spectre donne les valeurs possibles. Mais il ne faut pas oublier qu'on effectue dans l'opération de mesure (telle que définie par Von Neumann) une projection d'un état qui a évolué sur les états propres de l'opérateur. Il n'y a pas que le contenu du spectre qui compte. "

Je n'ai pas dit que seul le contenu du spectre importait : il y a bien plus, dans une PVM, que le spectre : il y a la donnée de toute la décomposition en sous-espaces propres ; et c'est tout cet objet mathématique qui implémente le mieux ce qu'on attend pour une mesure.

En tout cas, je tenais le "raisonnement suivant" :

1) Il y a plusieurs classes d'opérateurs en MQ : les auto-adjoints, les unitaires, et les rien du tout.
2) Les auto-adjoints sont "mal choisis" (à mon goût) pour jouer le rôle qu'on leur donne, et les PVM sont mieux choisis.
3) Donc, je ne peux pas "faire confiance" aux physiciens d'avoir bien choisi les opérateurs de création et d'annihilation pour leur faire jouer le rôle qu'ils veulent leur faire jouer : donc, je suis venu ici pour vous demander de m'éclairer sur le rôle que ces opérateurs jouent, afin que je me fasse une idée de si les objets mathématiques sont bien choisis.

Si nous parlons de la même chose, (moi en parlant de "rôle à jouer des objets mathématiques" et toi de "confronter la phénoménologie et la théorie"), alors je suis d'accord.

En tout cas, je te remercie pour toutes les références.

[ornithology]

ll y a aussi les POVM.

[ThM55]

3) Donc, je ne peux pas "faire confiance" aux physiciens d'avoir bien choisi les opérateurs de création et d'annihilation pour leur faire jouer le rôle qu'ils veulent leur faire jouer : donc, je suis venu ici pour vous demander de m'éclairer sur le rôle que ces opérateurs jouent, afin que je me fasse une idée de si les objets mathématiques sont bien choisis.

Je le répète: il faut voir ces opérateurs à l'oeuvre. Par exemple en théorie quantique des champs, dans la formulation canonique comment on les utilise pour construire les états initiaux et finaux des processus de diffusion ("la pétanque des particules"), et comment on les combine avec le hamiltonien d'interaction par les relations de commutation (le jargon appelle cela des "contractions") pour déduire les diagrammes de Feynman. Autre exemple, sans doute plus direct: comment on les utilise en optique quantique, qui est dans une phase excitante de son développement en ce moment même, avec des startups qui commencent à commercialiser de vrais "opérateurs de création de photons" en silicium que vous pouvez manipuler! (je simplifie un peu, mais c'est vrai quand on regarde ce qu'ils font).

Au fait, j'ai dit que le champ électrique est un opérateur de création et d'annihilation. J'aurais dû ajouter qu'un mode donné du champ de fréquence donnée est la somme d'un opérateur de la forme (e est le vecteur de polarisation, f une fonction à valeurs complexes et a l'opérateur d'annihilation du photon) et de son conjugué pour obtenir un opérateur hermitien. Comme je l'ai dit, il faut voir ça à l'oeuvre dans les calculs.

Mais on peut aussi faire de la théorie quantique des champs sans le moindre opérateur! C'est la formulation dite en "intégrales de chemins" de Feynman. Elle est utilisée exclusivement pour les théories de jauge non abéliennes, pour lesquelles les calculs avec des opérateurs sont particulièrement ardus. Dans cette formulation, il n'y a plus d'opérateurs, il n'y a que des états et des amplitudes. Ça vaut aussi la peine de se pencher là dessus. Évidemment, Feynman a montré comment on passe de la formulation usuelle à la sienne et vice versa.

[ornithology]

un lien ou un livre a propos de cette équivalence?

[ThM55]

Oui, Feynman et Hibbs.
https://www.amazon.fr/Quantum-Mechan...5648955&sr=8-4

[ThM55]

Feynman et Hibbs partent de l'intégrale de chemin et en déduisent la mécanique quantique.

Jean Zinn-Justin fait le chemin inverse dans ce livre: https://www.amazon.fr/Int%C3%A9grale...5649517&sr=8-1 .

Celui de Zinn-Justin est plus actuel, extrêmement précis et pertinent aussi pour la physique statistique. Cette approche est celle qu'on trouve en général dans les cours de théorie quantique des champs, qui sont pour la plupart, depuis 1975, plus ou moins inspirés par celui de Coleman.

[ornithology]

Je ne connaissais pas hibbs.
le premier livre a l'avantage d'etre a un prix abordable.

[ornithology]

a priori c'est plutot l'apparition de la non commutativité a partir des intégrales de chemins qui m'interesserait.
le premier livre donc ca tombe bien.