Ontologie de la création et annihilation

[Abitbol C137]

Bonjour,

je suis un mathématicien qui essaie de se former à tout ce qui est quantique. Je rencontre beaucoup de problèmes quand je lis des textes de physique, et je vais tenter de vous le raconter par une métaphore : si vous regardez un film et que les deux acteurs principaux sont mari et femme (dans la vie), mais que dans le film, les personnages qu'ils jouent sont frère et soeur, vous arrivez à mettre l'information sur leur vie personnelle de côté pour comprendre le film.

Eh bien, comme en mécanique quantique, les états sont représentés par des vecteurs, et que les observables par des opérateurs, et comme, en mécanique classique, les valeurs des observables sont bien définies sur tous les états, et qu'en maths, les opérateurs mangent des vecteurs et crachent des vecteurs je crois que j'ai eu un blocage qui a duré longtemps : j'ai cru que des observables devaient manger des états pour recracher d'autres états, bref, je n'avais rien compris à la choucroute. D'ailleurs, j'en tiens pour responsable le choix d'assimilier les observables à des opérateurs auto-adjoints, alors que c'est plutôt la décomposition orthogonale indexée par les valeurs de l'observable qui est l'objet mathématique collant plus à l'intuition d'observable (certes, c'est équivalent, mais bon).

Maintenant, il y a des opérateurs de création et d'annihilation. Ils ne sont pas normaux, donc pas diagonalisables en base orthonormée, donc il n'est pas question de les considérer comme des observables. Mais alors, c'est quoi ?

Est-ce que le vecteur image du vecteur du vide par un opérateur de création a un sens physique ? Est-ce un état (je pense que non parce qu'il n'a pas de raison d'être de norme 1) ? Sinon, c'est quoi ? J'espère que vous comprenez mon désarroi. Merci pour votre aide !
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[ornithology]

En MQ aussi les opérateurs "crachent" des vecteurs. tu as loupé l'histoire des vecteurs propres?
les opérateurs d'annihilations ne sont pas autoadjoints leurs valeurs propres sont complexes
ce sont les états appelés cohérents.

[Abitbol C137]

Euh, ben... Si n'est pas un vecteur propre de alors... quand je donne à manger à , ça ne crache pas un vecteur propre ! Alors que la mesure de l'observable associée à "mange" un état (associé à un vecteur ) et recrache "au hasard" une valeur propre et un vecteur propre de associé à la valeur propre qui est le projeté orthogonal de sur le sous-espace propre en question.

Bref, un opérateur auto-adjoint observable n'est pas "fait" pour manger des états... Alors qu'en mécanique classique, une observable est une fonction qui mange un point de l'espace des phases et crache la valeur de l'observable sur l'état correspondant. C'est ça que je voulais dire. Bref, je ne absolument pas ta remarque.

En outre, insister sur le côté auto-adjoint cache le fait que c'est par coquetterie qu'on veut des observables à valeurs réelles. On pourrait tout aussi bien définir des observables à valeurs complexes comme des opérateurs normaux (puisque ce qui est important, c'est que les sous-espace de diagonalisation soient orthogonaux deux à deux, afin de pouvoir appliquer le théorème de Pythagore et de garantir que la somme des probabilités vaut ). Bref, ce n'est pas le problème, à mon avis, que les valeurs propres ne soient pas réelles.

Enfin, comme il manque des points dans ta phrase, je ne sais pas trop qui sont les états cohérents (sont-ce les opérateurs d'annihilation ?). Et si je voulais me moquer, je te dirais bien que l'identité est un opérateur auto-adjoint dont les valeurs propres sont complexes.

[coussin]

Une observable est une quantité qu'on peut mesurer physiquement. Elle doit donc nécessairement être réelle. Ce n'est pas de la coquetterie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Pour en revenir à votre question, les opérateurs de création et d'annihilation ne sont pas associés à une observable.

[Abitbol C137]

Non mais d'accord ; il n'empêche que si je mets des gommettes sur le tableau de bord de ma voiture, je peux aller à "rouge" kilomètre-heure.

On peut très bien, dans , choisir deux droites orthogonales, en appeler une "la droite rouge", l'autre, "la droite bleue", puis demander à un qubit : "es-tu rouge ou bleu", et il répondra la couleur de son choix puis se projettera sur la droite correspondante.

Pour moi (enfin, c'est une question de goût, bien entendu) ce qui est essentiel, c'est que les sous-espaces correspondant aux différentes "valeurs" que peut prendre l'observable soient en somme directe orthogonale, pour avoir Pythagore, et le reste relève de la décoration (du reste, très jolie - je dis juste que je ne vois pas ça comme étant fondamental).

Merci pour votre réponse, coussin, mais ce n'est pas la question que j'avais posée.

[coussin]

Je pensais que votre question était si les opérateurs de création et d'annihilation étaient des observables...
Quelle est votre question alors ?

[Sethy]

J'ai toujours du mal avec la seconde quantification, mais le plus "simple" n'est-il pas de considérer ces opérateurs dans le cadre de l'oscillateur harmonique quantique ?

Si j'ai bien compris, dans ce contexte, l'opérateur de "création" fait passer le système (= un vecteur ket) d'un état d'énergie "N" à l'état immédiatement supérieur (N+1). L'opérateur d'annihilation fait l'exact contraire.

Voir ici par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Oscill...%60%22'%7F

[coussin]

J'ai toujours du mal avec la seconde quantification, mais le plus "simple" n'est-il pas de considérer ces opérateurs dans le cadre de l'oscillateur harmonique quantique ?

Si j'ai bien compris, dans ce contexte, l'opérateur de "création" fait passer le système (= un vecteur ket) d'un état d'énergie "N" à l'état immédiatement supérieur (N+1). L'opérateur d'annihilation fait l'exact contraire.

Voir ici par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Oscill...%60%22'%7F

En effet. Mais l'opérateur qui "crachera" N n'est ni a, ni adag mais adag.a, l'opérateur nombre qui lui est auto-adjoint.

[Sethy]

En effet. Mais l'opérateur qui "crachera" N n'est ni a, ni adag mais adag.a, l'opérateur nombre qui lui est auto-adjoint.

Merci pour la correction. Je l'ai écrit, cette histoire de seconde quantification reste totalement nébuleuse, tout comme cette idée de "saturer" l'incertitude de Heisenberg.

J'imagine que c'est aussi le cas en TQC, ce n'est pas a, mais la même quantité que tu as mentionnée qui fait qu'on crée une particule ou qu'on en détruit une ?

[azizovsky]

Euh, ben... Si n'est pas un vecteur propre de alors... quand je donne à manger à , ça ne crache pas un vecteur propre ! Alors que la mesure de l'observable associée à "mange" un état (associé à un vecteur ) et recrache "au hasard" une valeur propre et un vecteur propre .

D'après la définition de valeur et vecteur propre : où on a rien compris à la question .

[Abitbol C137]

Je voudrais savoir si cela a un sens physique, pour un opérateur de création, de manger un vecteur d'état (à titre de comparaison, ça ne m'a pas l'air d'avoir de sens physique, qu'une observable/opérateur auto-adjoint puisse manger un vecteur d'état et crache un vecteur tout bizarre). Si oui, quelle est la nature de ce qu'il crache ?

Sethy, en effet, j'ai lu que l'opérateur de création, dans le cadre de l'oscillateur harmonique, "fait passer" à l'état supérieur. Mais... un opérateur de création n'étant pas unitaire, il ne peut pas envoyer tout vecteur de norme 1 sur un vecteur de norme 1. En particulier, de temps en temps, il mange un état, et recrache... un vecteur qui est trop long pour être un état.
En outre, est-ce que ce "passage" est un pur jeu de langage (un peu comme si je disais que l'opérateur "ajouter un à la fin de l'écriture en base " le multiplie par ou <<fait passer à son produit avec >>) ou est-ce une transformation qui a un sens physique (je ne sais pas, moi, par exemple, j'ai un truc dans un état d'énergie et je lui souffle des photons dessus -je dis n'importe quoi exprès- ça lui donne un peu d'énergie, pouf, il passe à et ça a le même effet que le donner à manger à l'opérateur de création) ?

Est-ce que la seule raison d'être de ces opérateurs est de permuter les sous-espaces propres de l'opérateur "nombre" de la bonne façon ? Ou est-ce qu'ils recèlent une "ontologie" (je dis ce mot pour rigoler) profonde ?

[Abitbol C137]

azizovsky : Je n'ai pas compris si tu veux dire que j'ai tort. En fait je ne comprends pas du tout le sens de ta phrase, j'ai l'impression qu'il manque des mots.

[azizovsky]

où bien tu parle de l'espace de Fock

[coussin]

Bien sûr que ça a un sens d'appliquer l'opérateur de création à un vecteur d'état... Pourquoi pensez-vous qu'on introduit ces opérateurs si ce n'est pour les utiliser
Comme leur nom l'indique, appliquer l'opérateur de création sur un état à N quanta donne un état à N+1 quanta. Ça se fait, comme indiqué ci-dessus, dans le contexte des espaces de Fock.

[coussin]

Je ne sais pas trop ce que vous voulez dire par ontologie... Ces opérateurs émergent de manière naturelle quand on veut d'écrire des échanges de quanta. En optique quantique, quand un miroir et un laser s'échangent en permanence des phonons et des photons, ces opérateurs apparaissent naturellement dans l'écriture du Hamiltonien décrivant la situation.

[ornithology]

c'est bien la peine que des physiciens donnent des définitions précises de tout l'appareil théorique. Et de voir tout ca réduit a de la bouffe et des crachats par un non physicien.

[Abitbol C137]

1) Un opérateur qui envoie tout vecteur de norme sur un vecteur de norme est un opérateur unitaire.
2) Les opérateurs d'annihilation, création, ne sont pas unitaires.
3) Un étant est un vecteur de norme .

De 1), 2) et 3), il suit qu'il est faux de dire qu'un opérateur de création envoie un état sur un état. Si c'est 3) que vous rejetez, certes, un état est un rayon dans l'espace de Hilbert, mais l'opérateur d'annihilation envoie le vecteur vide sur le vecteur nul, qui n'est pas un état.

Pourquoi je pense qu'on introduit des opérateurs, si ce n'est pas pour leur faire manger des vecteurs ? Parce qu'on introduit les observables comme des opérateurs à qui on ne donne pas à manger des états.

Vous dites que ces opérateurs émergent de manière naturelle ; certes. Mais ce n'est pas parce que quelque chose apparaît sous la plume d'un physicien qu'il a un sens physique ! Si vous me dites qu'ils émergent naturellement et qu'ils sont donc dignes d'être étudiés, d'accord, mais c'est autre chose !

Pour moi, les vecteurs d'états émergent naturellement du théorème de Gleason : en faisant des hypothèses philosophico-physiques sur ce que doit être un état (pur), on déduit que tout état (pur) est associé à un vecteur de norme . Qu'est-ce que les opérateurs de création/annihiliation font, à part permuter des sous-espaces propres ? Si je prends un opérateur auto-adjoint dont toutes les valeurs propres de multiplicité , je peux inventer une myriade d'opérateurs qui permutent ces vecteurs propres ! Et alors ?

[Abitbol C137]

ornithology, je pensais que vous étiez familière ou familier de ce genre de langage, courant chez les matheux. Quand je dis " crache après avoir mangé ", je veux bien entendu dire " est l'image de par la fonction ".

Ne connaissez-vous pas la phrase attribuée à Hilbert (retranscrite de mémoire) : "on pourrait remplacer « point » par « chaise » et « droite » par « table » et on dirait que par deux chaises passe toujours une table, et la géométrie en serait inchangée" ?

Par contre, on ne peut pas dire qu'on peut s'asseoir à une droite sur un point, car ça ne veut rien dire. Les physiciens ont choisi de représenter les états quantiques par des vecteurs (des chaises) et les observables par des opérateurs auto-adjoints (des tables) ; pourtant, le vecteur image par un opérateur auto-adjoint n'a pas de sens physique (comme on ne peut pas s'asseoir à une droite sur un point). C'est la vie.

[ornithology]

Il faudrait lire ou relire pourquoi Heisenberg a créé la mécanique quantique matricielle.

[Sethy]

Si on considère le cas de l'oscillateur harmonique, les différents vecteurs d'états sont unitaires (je me trompe ?).

Donc en appliquant "adagger.a" sur un état (unitaire) on obtient bien un autre état (unitaire) (je me trompe ?).

[coussin]

L'espace de Fock dans lequel agissent les opérateurs de création et d'annihilation n'est pas un espace de Hilbert. Tous les états de Fock sont normés je crois...
Donc, de votre message je ne peux que conclure que les opérateurs de création et d'annihilation sont unitaires (ils ne sont pas hermitiques par contre...).

[ornithology]

Les opérateurs ont un produit non commutatif. ca décrit un aspect non évident avec les ondes de Schrodinger. ils permettent de calculer des moyennes dans les etats. on peut étudier leur spectres. etc
Abitbol leur reproche de ne pas tous etre comme il le voudrait.
Faudra faire avec cet outil qui marche.

[ThM55]

Les opérateurs de création et d'annihilation ne sont pas hermitiques et donc ne représentent pas des observable, MAIS on peut les utiliser pour construire des observables. Par exemple pour l'oscillateur harmonique, on construit le hamiltonien et l'opérateur "nombre de quanta" . Idem dans l'espace de Fock pour plusieurs modes d'un champ qui est assimilé à une assemblée d'oscillateurs. Les observables en question sont des produits d'opérateurs de création et d'annihilation et ils sont hermitiens. A noter que le formalisme fonctionne aussi pour des fermions, mais les relations sont des anticommutateurs. On utilise aussi leurs produits pour exprimer les interactions entre oscillateurs.

La raison profonde pour laquelle cela marche et pourquoi on doit exprimer cela avec des annihilateurs et des créateurs est connue des théoriciens des champs quantiques. Techniquement on appelle cela l'exigence de "clustering" pour la matrice S. Stephen Weinberg explique cela en détail dans le volume I de sont traité de théorie quantique des champs.

[Abitbol C137]

D'accord ornithology, vous m'indiquerez la page dans les écrits de Heisenberg, alors ?

Sethy : "Si on considère le cas de l'oscillateur harmonique, les différents vecteurs d'états sont unitaires (je me trompe ?)." Oui mais c'est tout le temps le cas : la définition d'un vecteur d'état, c'est d'être unitaire.

"Donc en appliquant "adagger.a" sur un état (unitaire) on obtient bien un autre état (unitaire) (je me trompe ?)." Oui. Si est vecteur propre (unitaire) de valeur propre alors est un vecteur de norme .


Coussin : "L'espace de Fock dans lequel agissent les opérateurs de création et d'annihilation n'est pas un espace de Hilbert." Si, c'est la première ligne de l'article Wikipédia correspondant (lien : cliquer ici).

"Donc, de votre message je ne peux que conclure que les opérateurs de création et d'annihilation sont unitaires". Non, car l'opérateur d'annihilation a $0$ dans son spectre, et toutes les valeurs propres d'un opérateur unitaire sont des complexes de module . Et création n'est pas bijectif, je crois (personne n'est envoyé sur le vecteur vide).

ornithology : Je vais encore tenter une métaphore pourrie. Si vous étiez un réalisateur ou une réalisatrice de cinéma, et que dans votre film, Fabrice Luchini jouait un personnage muet, je vous demanderais : "mais pourquoi avez-vous pris cet acteur reconnu (à tort ou à raison) pour la qualité de sa diction pour un rôle muet ?". Dans votre premier message (où je vois que vous me tutoyez) tu dis que les observables crachent des vecteurs et j'argumente que non. Tu dis bien que les opérateurs permettent de calculer des moyennes de blablabla ; tu parles probablement de et je conviens là que c'est une écriture très compacte et jolie, mais ce que je veux dire c'est que comme c'est égal à où, finalement, n'a de rôle que la famille des sous-espaces propres et leur lien avec les valeurs propres. De même : l'expression "étudier le spectre d'une observable" montre bien que ça ne nous intéresse pas de faire manger des vecteurs à des opérateurs auto-adjoints mais qu'au fond, c'est le spectre de l'opérateur qui est important, et la mesure de probabilité que le vecteur permet d'associer (via la règle de Born) dessus. Bref, pour l'instant, je considère que tu as échoué à me convaincre.
Je n'ai rien contre les opérateurs, mais, pour reprendre ma métaphore pourrie, je reproche aux (à certains, bien sûr) textes de physiciens de ne pas dire "attention, on a engagé Fabrice Luchini pour la beauté de son jeu corporel, pas pour sa diction si caractéristique". Mais bon, c'est mon coup de g****e personnel. Après, si tu penses que je suis trop nul et que c'est en continuant ce débat que je vais trouver la réponse à ma question, continuons.

EDIT : Correction d'un typo et ajout de :

Thm55 : Merci pour la référence, je vais regarder !

[ornithology]

cette condition de de cluster me rappelle quelque chose. ce n'est pas en rapport avec un théoreme d unicité?
Qu'on me pardonne la digression

[ornithology]

cette histoire de cluster je l'avais lu ici
ca assure l'unicité du vide.
fin de la digression.

[azizovsky]

Je ne suis pas sur la portée mathématique de ce lien, mais c'est l'origine des états cohérents et il y'a des analogies avec ce domaine ...
D'après (2,14),...,(2,17) même s'ils sont pas normaux...et (2,52),..,(2,56) et la remarque :

Précisons que les vecteurs ne sont pas orthogonaux et ne forment pas une base de l’espace
des états

[ThM55]

Les états cohérents (états propres de l'opérateur d'annihilation) sont très intéressants en optique quantique car ils approchent au mieux le minimum d'incertitude d'Heinseberg sur les variables dynamiques de champ électromagnétique. Je crois qu'ils ont été découverts par Glauber (s'ils étaient connus avant lui, en tout cas il en a popularisé l'usage). Ils forment en fait une base mais dans le jargon on dit qu'elle est "surcomplète", ce qui veut dire qu'il y en a trop. C'est la raison pour laquelle ils ne sont pas orthogonaux.

En fait les états cohérents sont un cas particulier des ondelettes! Les ondelettes ont été découvertes par des voies purement mathématiques dans les années 1990 mais plusieurs physiciens y ont reconnu d'emblée toutes les caractéristiques des états cohérents.

[ThM55]

Je trouve toujours intéressant d'avoir le point de vue d'un mathématicien sur la physique, c'est souvent plus intéressant que celui des physiciens. Dans sa correspondance (si j'ai bien compris depuis son refuge dans l'Ariège), Grothendieck a dit qu'il avait des idées importante concernant la physique et qu'il trouvait que les physiciens s'égaraient. Je regrette vraiment qu'il n'ait pas écrit un livre sur le sujet.

Mais ici en relisant ce fil je ne vois pas vraiment où est le problème. Tous les physiciens sont d'accord pour dire que ce qui les intéresse c'est bien le spectre des opérateurs.

Mais historiquement, la voie d'accès habituelle à la théorie quantique passait par le choix de variables canoniques dans le modèle classique, puis au remplacement des ces variables par des opérateurs qui devaient obéir à des relations de commutation (méthode de Dirac). Il y a eu par la suite d'autres approches: l'intégrale de chemin de Feynman (où il n'y a plus d'opérateurs!) ou le principe d'action de Schwinger, mais on montre que cela revient au même dans les cas les plus connus. C'est uniquement pour ces relations de commutation qu'on emploie des opérateurs. La solution de l'oscillateur harmonique par Dirac (dans The Principles of Quantum Mechanics, chapitre VI, section 34) est très parlante: la seule propriété des opérateurs qu'il utilise vraiment c'est leurs relations de commutation, et aussi une hypothèse sur l'espace des états (l'existence d'un état d'énergie minimum).