Opérateur hamiltonien.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

J'aimerais savoir si l'opérateur hamiltonien est un opérateur défini sur un espace fibré en un groupe de Lie , au dessus d'une variété Minkowskienne , muni d'une connexion , au lieu de dire vaguement que c'est un opérateur entre deux espaces de Hilbert ( inconnus ) ? ( Pour rester dans le contexte d'une théorie de Yang Mills quantique )

Merci d'avance.
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[ThM55]

Je suppose que vous parlez du hamiltonien du champ de Yang-Mills? La réponse est non.

Une configuration donnée du champ de Yang-Mills est une section du fibré principal dont la fibre est le groupe. Mais cela ne définit que les variables dynamiques du champ à partir desquelles on construit le hamiltonien. Et l'opérateur hamiltonien est obtenu en "quantifiant" ces variables dynamiques dans le hamiltonien classique (càd en trouvant leurs opérateurs).

[Anonyme007]

Merci ThM55,

Si c'est possible, j'ai besoin de trouver l'équation correspondante à une variété Hilbertienne ou à une variété banachique, ( Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_lisse ), dont l'espace tangent en tout point de est représenté par l'équation de Schrödinger ? Est ce que c'est possible ?

Je m'explique,
L'équation de Schrödinger est l'équation qui s'exprime dans un espace de Hilbert par,
C'est à dire, c'est une équation de la forme, , où
est un opérateur linéaire, donc, il existe une fonction définie sur un espace à déterminer tel que la différentielle .
D'où, l'équation de Schrödinger représente l'espace tangent en tout point d'une variété Hilbertienne ou banachique définie par l'équation . Quelle est cette variété ? et quelle est ?

Merci d'avance.

[ThM55]

Une première remarque: je ne vois pas bien le rapport avec Yang-Mills. Dans l'équation de Schrödinger que vous écrivez, le hamiltonien est celui d'une particule non relativiste dans un potentiel extérieur fixe, un cas particulier tout de même très loin d'un champ de Yang-Mills. Vous prenez sans doute cela comme l'exemple le plus simple? L'étape suivante serait de passer au cas de deux ou plusieurs particules en tenant compte de la symétrie (bosons ou fermions). Votre approche tient-elle la route dans ce cas?

A ma connaissance, la linéarité de l'espace de Hilbert est essentielle et jamais démentie par une quelconque expérience. Il y a eu des tentatives de formulation non linéaire (si mes souvenirs sont bons, j'avais il y a très longtemps lu quelque chose de David Finkelstein sur le sujet) mais pour autant que je sache sans lendemain. Si je comprends bien votre idée il s'agirait de prendre une approximation de cette non-linéarité dans l'espace tangent à une variété lisse hilbertienne. Franchement je ne sais pas du tout si c'est possible ou si cela a un intérêt, je ne peux donc pas répondre à cette question, désolé. Vous devriez commencer par une recherche bibliographique sur Google Scholar et en bibliothèque.

D'après ce que j'ai appris sur le sujet la nature de l'espace de Hilbert n'est pas vraiment pertinente expérimentalement. Ce qui compte avant tout est la projection d'un état sur un autre obtenu par une application unitaire, ce qui donne les amplitudes de probabilité que l'on observe dans les expériences. Mais la question me semble intéressante a priori, je vous encourage à l'approfondir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Il faut regarder du côté de la quantification géométrique (espace symplectique...) par exemple ici, et pour l'équation non linéaire c'est du côté des algèbres quantiques déformés.

[Anonyme007]

Merci @ThM55.

Une première remarque: je ne vois pas bien le rapport avec Yang-Mills. Dans l'équation de Schrödinger que vous écrivez, le hamiltonien est celui d'une particule non relativiste dans un potentiel extérieur fixe, un cas particulier tout de même très loin d'un champ de Yang-Mills. Vous prenez sans doute cela comme l'exemple le plus simple?

Quelle est alors l'exemple le plus générale en rapport avec un champ de Yang-Mills ?

L'étape suivante serait de passer au cas de deux ou plusieurs particules en tenant compte de la symétrie (bosons ou fermions). Votre approche tient-elle la route dans ce cas?

Peux tu m'expliquer comment on fait ça ? Comment trouve-t-on ce hamiltonien dans ce cas là ?

Merci d'avance.

Merci @azizovsky pour le lien.

[ThM55]

Pour N particules on fait la somme des hamiltoniens de chaque particule plus éventuellement un potentiel d'interaction des particules entre elles. Voir physique atomique et moléculaire.

Pour le champ de Yang-Mills on reste en général au niveau lagrangien et on utilise l'intégrale de chemin et des méthodes particulière comme Faddeev-Popov ou BRST. La théorie hamiltonienne est toutefois bien connue, mais elle présente des difficultés car l'invariance de jauge implique des contraintes et il faut en tenir compte dans la quantification (Dirac a créé une méthode pour cela). Il y a de nombreuses références sur le sujet, par exemple: https://books.google.be/books?id=I2b...nneaux&f=false .

[Anonyme007]

Merci @ThM55 pour ces précisions.
J'ai envoyé un complément de ma question ici, https://forums.futura-sciences.com/p...tique-tqc.html
Cordialement.

[ornithology]

j'ai trouvé ce lien
Pas directement sur le Hamiltonien (il découle simplement du lagrangien par H = pv - L) mais sur l'unicité du lagrangien de Yang Mills.

[azizovsky]

Merci ThM55,

Si c'est possible, j'ai besoin de trouver l'équation correspondante à une variété Hilbertienne ou à une variété banachique, ( Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_lisse ), dont l'espace tangent en tout point de est représenté par l'équation de Schrödinger ? Est ce que c'est possible ?

Je m'explique,
L'équation de Schrödinger est l'équation qui s'exprime dans un espace de Hilbert par,
C'est à dire, c'est une équation de la forme, , où
est un opérateur linéaire, donc, il existe une fonction définie sur un espace à déterminer tel que la différentielle .
D'où, l'équation de Schrödinger représente l'espace tangent en tout point d'une variété Hilbertienne ou banachique définie par l'équation . Quelle est cette variété ? et quelle est ?

Merci d'avance.

Tu peux simplifier ton problème: si ton opérateur ne dépend pas du temps, il devient un opérateur de type
Sturm-Liouville avec simplification...

[azizovsky]

avec et tu'aura un problème : les valeurs propre toutes nulles!!!

[azizovsky]

Comme expliquer par un exemple dans le lien avec les conditions aux limites , , tu as un exemple de fonctions qui vérifies

[Anonyme007]

Merci @azizovsky pour ce développement.
Tu précises que la famille est une famille de solutions de l'équation . Puisque l'opérateur est linéaire, toute combinaison linéaire à coefficients dans des éléments de la suite est aussi solution de l'équation . Donc, l'espace des solutions de cette équation est de la forme .
Donc, toute fonction développable en série de Fourier est solution de l'équation ?
Merci d'avance.

[Anonyme007]

J'ai oublié de remercier aussi @ornithology pour son lien qu'il me proposes. Merci @ornithology.

[azizovsky]

Désolé, c'est seulement les conditions au limites qui vérifies l'équation comme dans un profond puits de potentiels où psi(0)=psi(l)=0, la particule ne sort pas, i.e la fonction d'onde est nulle hors puits.
Si tu 'as envie d'approfondir, il y'a des solutions des équations de Yang-Mills dans: Géométrie contemporaine partie II, Doubrovine,Novikov,Fomenko.
ou chercher les système intégrables, c'est un domaine tellement riche que même la géométrie algébrique est nécessaire .