Différence entre Erreur et variance ou écart type

[fabio123]

Bonjour,

je suis face à un problème que je croyais pourtant être assimilé.

Je dois calculer la variance d'une quantité dans un contexte de physique. Cette quantité est le ratio de 2 spectres de puissance :



J'ai fait quelques tentatives qui se révèlent infructueuses pour l'instant.

Il est marqué dans le papier sur lequel je bosse :

Below the error on photometric galaxy clustering under the form of covariance :

avec l'élément (i,j) de la matrice de covariance et où est un bruit de Poisson.

1) Je ne sais pas quelle est la différence entre "l'erreur" dans l'équation (1) ci-dessus et la notion de variance.

2) Si cette équation (1) correspond à une erreur, alors je pourrais faire une propagation des erreurs sur un ratio comme on le fait classiquement, mais je
pourrai pas alors conclure sur la variance de ce ratio car je ne connais pas le lien entre "erreur" et "variance".

3) Mais si c'est une variance, comment faire pour faire le calcul de la variance du ratio qui définit la nouvelle observable ?

Comme vous le constatez, je fais une confusion entre erreur (au sens où c'est défini en anglais dans l'article) et la variance d'une quantité.

Si quelqu'un pouvait me remettre dans le droit chemin, c'est-à-dire que je saisisse la subtilité de ces 2 notions qui sont souvent utilisés de manière
interchangeable (j'ai l'impression surtout dans la littérature anglo-saxonne), ça serait sympa de me l'expliquer.

Merci par avance pour vos éclaircissements.
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[fabio123]

Et sans vouloir compliquer les choses, concernant cette section de la page wikipedia : https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_squared_error#Mean

c'est-à-dire :

Mean
Suppose we have a random sample of size n from a population, Suppose the sample units were chosen with replacement. That is, the n units are selected one at a time, and previously selected units are still eligible for selection for all n draws. The usual estimator for the is the sample average



which has an expected value equal to the true mean (so it is unbiased) and a mean squared error of



where is the population variance.

For a Gaussian distribution, this is the best unbiased estimator (i.e., one with the lowest MSE among all unbiased estimators), but not, say, for a uniform distribution.

Si quelqu'un pouvait m'expliquer d'où sort ce terme mis au carré dans l'expression du ?

ça ressemble au terme intervenant dans les intervalles de confiance mais je ne suis pas sûr s'il y a un lien.

Toute aide est la bienvenue

[gg0]

Bonjour.

Ne connaissant pas les habitudes des physiciens, ni leur vocabulaire en anglais, je me contenterai, pour ton premier message, de te conseiller de demander de le replacer en physique. Et éventuellement, de revenir si nécessaire voir pour les preuves mathématiques ici. La variance d'un quotient est généralement délicate à obtenir, et, par exemple, le quotient de deux variables gaussiennes centrées n'a pas de variance, ni même de moyenne !

En français, la variance est une caractéristique d'une population, et l'erreur est une propriété d'une valeur estimée (différence entre l'estimation et la vraie valeur). Les anglo-saxons utilisent le mot "error" pour différents usages statistiques, et les usages statistiques varient d'un domaine à l'autre. Par exemple, dans de nombreuses situations en physique, on utilise la variance des données (donc d'estimations de la vraie valeur) comme moyen d'estimer l'erreur. Mais l"intervalle "d'erreur" obtenu n'est pas nécessairement un intervalle d'incertitude : On parie sur le fait que les erreurs se compensent en moyenne. Et ce pari peut être perdu (voir l'histoire de la mesure du coefficient G de la loi de la gravitation universelle).

Pour ton deuxième message, ce terme est celui qui apparaît dans les intervalles de confiance, c'est une propriété de base de la moyenne d'un échantillon (voir un cours de statistiques sur l'estimation, ou de probabilité sur l'échantillonnage).

Cordialement.

[fabio123]

Merci gg0 pour tes explications.

Néanmoins, pourquoi ne devrait-on pas avoir plutôt :

au lieu de ?

Est-ce dû au fait que l'on prenne au lieu de dans l'expression ?

ça serait alors le moment 2 de la moyenne de l'échantillon et non le moment 2 de la variable aléatoire X ?

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

ici,

la variable aléatoire est . Comme c'est fois la somme de n variables indépendantes de variance , sa variance est . Et comme sa moyenne est , c'est bien le calcul de sa variance qui est fait.

[fabio123]

Merci @gg0.

Pour revenir à ma première problématique, en partant de :

,

je pourrais écrire, en termes d'erreur relative :



Mais comment faire le lien entre cette erreur relative et la variance de cette obsersable "O" = ?

Merci par avance

[gg0]

Si c'est O qui est observé, on se moque de l'égalité. On prend les observations de O et on utilise l'estimateur habituel de la variance. Le reste, le lien entre erreur et variance estimée, dépend des connaissances physiques, des habitudes du domaine, je te l'ai dit : Vois avec des physiciens.
Mais le fait que tu relies l'erreur relative sur O aux deux spectres veut plutôt dire que ce n'est pas O qui est observé.

[fabio123]

@gg0

Tu as raison, en fait la variable "O" est bien l'observable (ce que je dois considérer comme étant une variable aléatoire), donc d'après ce que tu me dis, je dois calculer la variance et ne pas se soucier de l'erreur relative avec une propagation des erreurs (à moins de considérer les erreurs comme des écarts-types mais ça n'est pas le bon raisonnement tu sembles dire).

J'aimerais que ce post soit déplacé dans le forum Astrophysique ou Physique, parce que les quantités pour calculer la variance de "O" relèvent de notions (astro)-physiques.

Merci pour tout

[gg0]

Je voulais t'envoyer en MP ceci :
"Envoie un MP à JPL, ou à Kemiste."
Mais ta boite de réception est pleine ! Il est peut-être temps d'y faire le ménage ..

Cordialement.

[fabio123]

@gg0

Merci, je viens d'alléger ma boîte de réception.

[obi76]

Déplacé .