Rendement PAC pour un gaz préchauffé

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Bonjour, je vous explique mon problème.

Imaginons que je dispose d'une pompe à chaleur parfaite avec un rendement égal à celui du cycle de Carnot, le milieu ambiant est à la température T0 = 300K (pour l'exemple) et j'ai un gaz à la température T1 = 330K que je veux mettre à la température T2 = 830K

Est-ce que le rendement de la pompe à chaleur est le même que si j'avais initialement mon gaz à la température T0 = 300K, que je passe à 800K avec la pompe à chaleur et qu'ensuite je chauffe jusqu'à 830K ou alors l'ordre compte et si c'est le cas comment je calcule le rendement de la pompe à chaleur lorsque mon gaz n'est pas initialement à la température de la source froide ?

Si je ne suis pas assez clair je peux reformuler voire faire un schéma, merci d'avance !

Edit : j'ai dit rendement mais c'est plutôt un coefficient de performance bien entendu !
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[gts2]

Bonjour,

Vous chauffez votre gaz de 330K à 830K avec un rendement de Carnot qui dépend de la température du gaz.

Pour trouver l'énergie à fournir à votre PAC, il faut donc "découper" votre chauffage en terme infiniment petit puis intégrer.

Vous pourrez alors calculer le rendement moyen.

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Merci pour votre réponse rapide, justement dans la formule du rendement c'est quelle température qui varie ?

Je connais la formule (Tc - Tf) / Tc mais dans cette formule je ne sais pas quelle température je fais varier de la température initiale à la température finale

Aussi, la source froide c'est la température initiale de 330K ou alors la température du milieu ambiant 300K ?

Merci d'avance

[gts2]

Bonjour,

Tf signifie froid et Tc signifie chaud, donc Tf est la plus basse 300 K et Tc la plus chaude variable de 330 à 830.

Ma réponse est, bien sûr, (et votre question aussi, je suppose) purement académique.

[A voir en vidéo sur Futura]

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Bonjour, j'ai essayé de faire l'intégrale en faisant rmoyen = 1 / (T2 - T1) * §T / (T - T0) dT avec comme borne supérieure T2 et comme borne inférieure T1, pour rappel T2 = 830K, T1 = 330K et T0 = 300 K

Mais je ne sais pas si j'ai bien posé le calcul, je trouve à la fin 1 + T0 / (T2 - T1) * ln ((T2 - T0) / (T1 - T0)), ce qui est bizarre puisque si je rapproche T1 de T0 je tends vers l'infini (alors que si T1 = T0 je suis censé obtenir Tc / (Tc - Tf) )

J'ai essayé de faire cette intégrale avec T1 = T0 et pareil, je diverge donc je pense que j'ai mal posé l'intégrale mais dans ce cas-là je ne sais pas comment je dois faire.

Et oui c'est purement théorique mais c'est vrai qu'en cours on ne voit jamais ce cas de figure donc je me demande.

Bonne journée et merci d'avance pour votre aide

[gts2]

Je regarde d'un peu plus près le passage à la limite pour la moyenne, mais la formule de départ diverge déjà si Tf=Tc, donc cela n'est pas totalement surprenant.

Je ne vois pas d'erreur dans l'intégrale.

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Pour tf = tc oui ça diverge mais ici c'est si T1 = T0, ça voudrait dire que si mon fluide, au lieu de le faire passer de 330K à 830K avec l'air ambiant qui est à 300K, je le faisais passer de 300K à 830K toujours avec un air ambiant à 300K, j'aurais un COP infini ce qui est faux puisqu'il doit valoir 830/(830-300)

C'est pour ça que je pense avoir mal posé mon intégrale mais je ne sais pas quelle est mon erreur.

Sinon j'ai une autre hypothèse, comme le COP c'est la température la plus chaude divisé par la différence de température peut-être que le COP serait dans ce cas 830/(830-330) mais vu que je ne peux pas le vérifier...

[gts2]

Je crois avoir trouvé l'erreur : l'efficacité moyenne n'est pas la moyenne de l'efficacité !

Efficacité moyenne soit

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Je vois, mais du coup je ne comprends pas trop comment je suis censé calculer <1/e>

Est-ce que je dois faire l'intégrale de 1/COP multiplié par 1/(T2-T1) ?

[gts2]

C'est bien cela.

[phys4]

C'est pour ça que je pense avoir mal posé mon intégrale mais je ne sais pas quelle est mon erreur.

Le calcul de l'intégrale donnant le travail théorique à fournir pour transporter la chaleur de à T avec avec n'est pas très complexe :
Vous avez le travail élémentaire pour transporter la chaleur dQ qui vaut et avec la capacité calorifique du fluide C nous avons


L'intégrale de à vous donnera :


Cette expression vous permet d'obtenir l'efficacité théorique max du dispositif.

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Je viens de faire le calcul et je trouve bien une efficacité de (T2 - T1)/(T2 - T1 + T0 ln(T1/T2) )

Mais j'ai testé avec T1 = T0 (le cas plus simple où on chauffe simplement de Tf à Tc depuis une source froide à Tf), et je trouve un rendement de r = (Tc - Tf) / (Tc - Tf + Tf ln(Tf/Tc) ), mais je pensais qu'on était censé trouver r = Tc / (Tc - Tf) ?

[gts2]

r = Tc / (Tc - Tf) c'est l'efficacité pour une source froide à Tf et une source chaude à Tc, or ici Tc est variable donc la formule n'est pas applicable.

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Ah je comprends, ici Tc n'est pas constant, dans ce cas-là j'ai une autre question

Si après avoir chauffé ce gaz avec la pompe à chaleur, on le faisait passer dans un moteur pour revenir à Tf, est-ce qu'encore une fois Tc serait variable ? Du coup pour calculer le rendement du moteur il faudrait refaire une intégration ?

J'imagine que le rendement serait donc l'inverse de celui calculé précédemment avec le moteur ?

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Je viens de relire le calcul et je me rends compte que si T1 et T2 sont très proches et que T0 est plus grand que T2 - T1, on arrive à une efficacité négative, comme c'est possible ?

[gts2]

Si T1 est proche de T2, je trouve T1/(T1-Tf), ce qui est logique puisque Tc variant peu, on peut utiliser l'efficacité "classique" et comme T1>Tf c'est bien positif.

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Alors je me suis trompé pour le négatif mais par contre il y a quand même quelque chose que je ne comprends pas, sur le commentaire de phys4 on a W = C * (T2 - T1) - C * T0 * ln (T2/T1), et Q = C * (T2 - T1) (sauf si j'ai mal compris), donc si T2 et T1 sont proche on obtient r = (T2 - T1) / (T2 - T1) = 1 ? Alors que r tend vers l'infini quand T2 tend vers T1 normalement non ?

Comment obtient-on T1 / (T1 - Tf) ?

[gts2]

Le calcul de @phys4 est le même que le votre, il y a simplement C en plus.

(T2 - T1)/(T2 - T1 + T0 ln(T1/T2) ) lorsque T1 est proche de T2 donne bien T1/(T1-T0) efficacité usuelle.

Il faudrait détailler votre calcul pour voir où est le problème.

[Link1003493649]

Si T1 et T2 sont proches j'ai (T2 - T1) / (T2-T1+T0 * T1 / T2) (comme ln(1+x) ~ x quand 1 + x tend vers 1) et je ne sais pas comment simplifier pour avoir simplement T1 / (T1 - T0)

[gts2]

C'est bien ln(1+x)=x et donc

soit

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D'accord je vois (j'oublies à chaque fois l'astuce pour +x - x pour faire apparaître le terme que l'on veut) merci beaucoup !

J'ai une deuxième question du coup qui découle de vos explications :
Est-ce que du coup si je fais passer ce gaz dans un moteur pour faire le chemin inverse le calcul est le même ? Est-ce qu'on a toujours Tchaud qui varie et donc est-ce que le rendement du moteur dans le même cas de figure est 1/effPAC = (T2 - T1 + T0*ln(T1/T2)) / (T2 - T1) ?

Merci d'avance pour vos réponses !

[gts2]

Tchaud varie tout autant et le calcul est totalement symétrique, je n'ai pas vérifié l'expression.

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D'accord merci beaucoup ! Oui j'ai juste inversé le numérateur et le dénominateur.

Dans ce cas je n'ai plus de question merci beaucoup pour votre aide !

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Re-bonsoir, finalement j'ai une autre question. Étant donné qu'une pompe à chaleur transfert de la chaleur d'une source froide à une source chaude, que se passe-t-il lorsque la température de la source froide n'est pas constante ?

Pour reprendre le premier exemple, on a toujours l'air ambiant à 300K, notre gaz à 330K, mais imaginons maintenant qu'on ait un petit réservoir à la température de 330K, on souhaite que notre source froide soit le réservoir à 330K. Comment calculer le rendement si lorsque l'on fait le transfert de chaleur, la température du réservoir baisse en perdant de l'énergie ?

Merci d'avance

[Link1003493649]

Je ne peux plus modifier mais ce serait dans le cas où on aurait un réservoir chauffé à une certaine puissance, mais où la puissance de la pompe serait plus grande donc la température du réservoir ne serait plus à 330K.

Et je m'intéresse aussi au cas où le réservoir ne serait pas chauffé, mais qu'on désire transférer toute l'énergie calorifique du réservoir (ensuite on s'arrête), et qu'on désire connaître le rendement de ce transfert.

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Je vais essayer d'être plus clair parce qu'en me relisant je me rends compte que ce que j'ai dit n'est pas exactement ce que je cherche, je vais donc faire un exemple.

On a l'air ambiant à T0 = 300K, on a chauffé un gaz à T1 = 330K, on a un deuxième gaz initialement à T0, on souhaite le faire chauffer jusqu'à T1 avec une pompe à chaleur en utilisant l'air ambiant comme source froide, ensuite à partir de T1 on souhaite utiliser le premier gaz comme source froide pour chauffer notre deuxième gaz à T2 = 830K, problème : la température du premier gaz va baisser progressivement jusqu'à atteindre la température de l'air ambiant. Moi j'aimerais savoir comment prendre en compte ça pour calculer le rendement total de chauffage.

Je ne sais pas si on a besoin de la masse des gaz mais si c'est le cas disons qu'ils ont la même masse.

Merci d'avance

[gts2]

Le plus simple est de revenir à la base : vous faites fonctionner votre PAC entre les deux gaz, vous écrivez, en différentielle à cause de T variable, les premier et second principe et vous intégrez.

Remarque : il n'y aucune raison que "la température du premier gaz va baisser progressivement jusqu'à atteindre la température de l'air ambiant", elle baissera jusqu'à la température finale.

Il existe en "vrai" quelque chose qui ressemble à votre dispositif : les pompes à chaleur piscine-patinoire.

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Ça veut dire qu'il faut que je fasse une double intégration (pour Tc et Tf) ?

Ah je vais aller regarder si il y a des détails sur les rendements dans ce cas

[gts2]

Ça veut dire qu'il faut que je fasse une double intégration (pour Tc et Tf) ?

C'est bien cela : vos données sont Tinitiale des deux côtés, Tfinale d'un côté, il vous reste deux inconnues Tfinale de l'autre côté et W. Vous avez deux équations ...

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Deux équations ? Je pensais que le calcul était r = 1/(Tcf - Tinit) / (Tinit - Tff) * §§(Tc - Tf) / Tc dTc dTf ?

Quelle est la deuxième équation ?