Electrostatiques : Invariance, champ et potentiel

[nash06]

Bonjour à tous,

Il y a un point avec lequel j'ai du mal, à savoir le lien entre invariances de la distribution de charges et ses conséquences sur le potentiel électrostatique et le champ électrostatique.

Ce que j'avais cru comprendre (mais visiblement c'est faux d'après le calcul qui vient après) c'est que :

- Si la distribution de charges admet une invariance, alors le potentiel électrostatique admet la même invariance.
- Si la distribution de charges admet une invariance, alors la norme du champ électrostatique admet également la même invariance.

J'ai appliqué cela sans réfléchir dans bon nombres de situations (toutes les situations classiques : symétrie cylindrique, symétrie sphérique, invariance par translation...) où ça marche, mais dans l'exemple qui suit on arrive à un résultat absurde :

Supposons une distribution de charge dépendant, en coordonnées sphériques, de et , mais pas .

D'après la première "règle", on aurait donc .

Et donc en exploitant la relation , puisque

On arrive donc à

Ainsi, on a une composante suivant qui ne dépend que de et , et une composante sur qui dépend de , de ... mais également de (via le 1/r*sin(theta)). En particulier, on voit bien que, à r et phi constant, la norme de E va dépendre si on fait varier theta.

Bref, où est le souci ?
Est-ce que ce sont mes "règles" de base qui sont foireuses ? (pourtant, il me semble avoir vu ça dans plusieurs bouquins/cours). Ou est-ce que c'est le raisonnement qui suit ?

Merci d'avance.
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[mach3]

Un premier souci, a vu de nez comme ça, que vaut le potentiel sur l'axe vertical où phi est dégénéré ? Il faut que le potentiel soit continu pour que le champ électrique soit défini. Or si le potentiel ne varie pas quand theta varie mais qu'il varie si phi varie, on a un problème de continuité sur l'axe vertical où phi n'est pas défini. La situation n'est donc pas possible physiquement ou impose que le potentiel ne dépend pas de phi.

m@ch3

[gts2]

Bonjour,

Les règles d'invariance sont relatives à des transformations géométriques : ici pour ne pas avoir de dépendance en θ il faudrait qu'une rotation d'un angle θ donc autour de l'axe Ox ne change pas la distribution, ce qui n'est pas le cas.

[nash06]

Merci de vos réponses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Remarque : avec une distribution de charge dépendant, en coordonnées sphériques, de et , mais pas ,cela marche, car on a bien un axe de symétrie : l'axe Oz.

[nash06]

Remarque : avec une distribution de charge dépendant, en coordonnées sphériques, de r et theta, mais pas phi,cela marche, car on a bien un axe de symétrie : l'axe Oz.

Tout à fait, et dans ce cas le calcul avec le potentiel ne pose pas problème puisqu'il n'y a pas de phi qui apparaît dans la composante theta du gradient.


En fait, pour les systèmes de coordonnées habituels (cartésien, cylindrique, sphérique), le seul cas problématique c'est theta (mais mach3 a expliqué plus haut pourquoi en fait le cas ne peut pas se produire).

Mais sinon, effectivement,

Les règles d'invariance sont relatives à des transformations géométriques

, or l'angle theta n'est pas un angle qui permet d'exprimer une rotation par rapport à un axe fixe, ça me paraît clair comme ça.

[Sethy]

Ces facteurs, 1/r et 1/rsin(theta) appelés "facteur d'échelle", doivent je pense être compris comme des facteurs de correction. Je m'explique à l'aide d'un exemple.

Si je regarde au loin avec des jumelles ayant un très grand pouvoir grossissant, le moindre petit tremblement va occasionner une grande secousse dans l'image. Un tremblement de ma main, c'est une petite variation de phi ou de theta, mais l'effet à distance sera d'autant plus grand que r sera grand.

Or, lorsqu'on passe de système de coordonnées cartésien, où les 3 coordonnées peuvent prendre toutes les valeurs entre - et + l'infini, à un système sphérique qui a deux coordonnées bornées (theta de 0 à pi, et phi de 0 à 2pi), c'est comme si on regardait le monde à l'aide de lentille déformante.

Les facteurs d'échelle sont là pour compenser cette "myopie" du système de coordonnées.

Pour le facteur sin(theta), il faut l'interpréter de manière suivante. Si on prend un quartier d'orange ou de pomme (mettons 1/6 de pomme) en ayant convenu que l'axe z (par rapport auquel theta est mesuré) est celui qui passe "par le trognon"), cela revient en fait à découper la pomme selon l'angle phi (ici d'un angle de 2pi/6).

Or, on le voit bien, si à "l'équateur" la corde est maximale (mesure de la longueur longitudinale), celle-ci est nulle aux pôles. Exactement comme le terme en sin(theta).