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Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier



  1. #1
    legyptien

    Question Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier


    ------

    Bonjour,

    J'essaie de faire un lien entre Equation de Schrodinger er Transformée de Fourrier à la suite d'une lecture d'une phrase sur wikipedia "tache d'Airy".

    "Cette expression (l'éclairement) est obtenue par la théorie de la diffraction de Fraunhofer. Elle correspond au carré du module de la transformée de Fourier de la fonction caractéristique du disque représentant l'ouverture."

    Or ca m'a fait tilt car le module au carré de la Fonction de Schrodinger représente la densité de présence d'une particule. Lors d'un bombardement photonique, il est normal et logique que la densité de présence soit maximale à l'endroit où l'éclairement est maximum.

    C'est plus au niveau mathématique que je bloque. J'ai bien envie de le démontrer mais j'ai pas le niveau en math. Le formalisme mathématique de la mécanique quantique n'est pas maîtrisé et surtout j'ai comme l'impression que j'essaie de lier 2 mondes, un monde statistique (quantique) et un monde déterministe modélisé par la transformée de Fourier.

    Merci !!
    PS: je suis partisan d'un coup de pouce pour me mettre sur la voie puis je galèrerai quand j'aurai le temps (car pas mal occupé).

    -----

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  3. #2
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier

    Salut,

    Le monde déterministe n'est pas modélisé par la transfomrée de Fourrier. La transformée de Fourier c'est juste un outil mathématique. C'est tout. Et c'est utilisé autant en physique classique que quantique.

    Typiquement, étant donné la relation de de Broglie, la transformée de Fourrier permet de passer de la représentation quantique avec la base position à la base impulsion (ou vice versa). C'est très classique. La fonction d'onde Psi(x) et la Psi(p) sont liées par la TF.

    Pour le reste je ne vois pas trop comment t'aider car je ne comprend pas exactement ce que tu veux faire, c'est pas du tout clair. Le plus simple étant peut-être bêtement de lire un livre de mécanique quantique, c'est relations, représentations et usage des TF ça se trouve typiquement dans les un ou deux premiers chapitres. Tu n'auras donc pas énormément à lire. Dès que tu seras un peu moins occupé (ou alors entre temps, tu peux peut-être préciser ce que tu veux faire avec même quelques équations, sans faire de calcul, juste pour dire "j'ai ça", "je voudrais voir le lien avec ça", etc...)
    Keep it simple stupid

  4. #3
    coussin

    Re : Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier

    Oui, la diffraction est une machine à faire des transformées de Fourier...
    Immédiatement après une ouverture (une fente, un trou, etc) la fonction d'onde est la fonction caractéristique de cette ouverture (bah oui, elle vient d'y passer à travers...) et en champ lointain, la fonction d'onde est la transformée de Fourier de ça (un sinus cardinal pour une fente, l'équivalent avec un symétrie de rotation pour la tâche d'Airy).
    La Nature est bien faite quand même !

  5. #4
    ornithology

    Re : Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier

    Oui Legyptien, tu as raison de vouloir mixer physique statistique et MQ car c'est ce que
    fait la nature. tu n'as pas encore l'outil mathématique nécessaire et son vocabulaire associé
    mais il existe et est relativement simple.
    Je reprends l'expérience de Young.
    premier cas le champ lointain. le motif sur l'écran est la TF du dessin des fentes.
    sur l'écran chacune des fentes participe par une courbe en cloche g(x) et d(x) celle des probabilités d'impact.
    de plus chacun des chemins allant d'une fente a l'impact en x on associe une phase tournant le long
    de chaque segment. ca donne deux amplitudes exp(ik d1) et exp (i k d2) qu'on va ajouter.
    on peut former une matrice avec ca
    g(x) c(x)
    c*(x) d(x)

    g et d son des probabilités réelles positives c et c* deux complex conjugués
    en ajoutant les 4 on obtient la probabilité d'impact en x qui peut etre nulle (interférences)

    deuxieme cas opposé l'écran est tout prochedes fentes. Le motif est quasiment le dessin des fentes
    sur l'écran. La on ajoute simplement les probabilités (les elements diagonaux de la matrice densite vue plus haut
    on n'a plus l'équation de Schrodinger mais l'équation de la chaleur. les probbilités au lieu des amplitudes.

    Et quand l'écran est a moyenne distance? C est la qu'on fait le mixage
    on ajoute les termes diagonaux et non diagonaux mais les non diagonaux ont un module diminué
    ce qui rend les franges plus ou moins visibles.

    t
    J'dis bonjour, merci gramint, et a béto

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    stefjm

    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  8. #6
    legyptien

    Re : Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier

    Citation Envoyé par coussin Voir le message
    en champ lointain, la fonction d'onde est la transformée de Fourier de ça (un sinus cardinal pour une fente, l'équivalent avec un symétrie de rotation pour la tâche d'Airy).
    Est ce que tu dirais pas que la fonction d'onde en champ lointain (=TF de la fonction d'onde de l'ouverture) est/correspond l’équation de Schrödinger ? puisque le module au carre de cette TF est lier a l’éclairement sur les détecteurs ou a la probabilité de présence des particules...

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  10. #7
    legyptien

    Re : Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier

    Citation Envoyé par ornithology Voir le message
    Oui Legyptien, tu as raison de vouloir mixer physique statistique et MQ car c'est ce que
    fait la nature. tu n'as pas encore l'outil mathématique nécessaire et son vocabulaire associé
    mais il existe et est relativement simple.
    Je reprends l'expérience de Young.
    premier cas le champ lointain. le motif sur l'écran est la TF du dessin des fentes.
    sur l'écran chacune des fentes participe par une courbe en cloche g(x) et d(x) celle des probabilités d'impact.
    de plus chacun des chemins allant d'une fente a l'impact en x on associe une phase tournant le long
    de chaque segment. ca donne deux amplitudes exp(ik d1) et exp (i k d2) qu'on va ajouter.
    on peut former une matrice avec ca
    g(x) c(x)
    c*(x) d(x)

    g et d son des probabilités réelles positives c et c* deux complex conjugués
    en ajoutant les 4 on obtient la probabilité d'impact en x qui peut etre nulle (interférences)

    deuxieme cas opposé l'écran est tout prochedes fentes. Le motif est quasiment le dessin des fentes
    sur l'écran. La on ajoute simplement les probabilités (les elements diagonaux de la matrice densite vue plus haut
    on n'a plus l'équation de Schrodinger mais l'équation de la chaleur. les probbilités au lieu des amplitudes.

    Et quand l'écran est a moyenne distance? C est la qu'on fait le mixage
    on ajoute les termes diagonaux et non diagonaux mais les non diagonaux ont un module diminué
    ce qui rend les franges plus ou moins visibles.

    t
    J essqie de faire le lien entre Schrodi et la TF deja sur une seule fente en observant les franges en champ lointain. Je ferai le cas de deux fentes apres, j ai compris tres peu de chose de ce que tu as ecrit... mais merci de ta reponse !

  11. #8
    Sethy

    Re : Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier

    Citation Envoyé par legyptien Voir le message
    J essqie de faire le lien entre Schrodi et la TF deja sur une seule fente en observant les franges en champ lointain. Je ferai le cas de deux fentes apres, j ai compris tres peu de chose de ce que tu as ecrit... mais merci de ta reponse !
    J'imagine que tu seras d'accord pour dire que ce qui est vrai pour une transformée de Fourier, l'est pour toute.

    Si tu prends le cas le plus simple qu'est la liaison chimique, modélisée par un simple ressort et, prise de surcroit dans l'état fondamental, la fonction d'onde Psi(x) est une gaussienne.

    Le maximum de la probabilité de présence se trouve à la distance moyenne entre les deux atomes et décroit (c'est une gaussienne) dès qu'on s'en éloigne. Si je choisis l'origine de l'axe x à la distance moyenne, j'ai donc une gaussienne de la forme (je ne m'occupe pas de son extension, ni de sa normalisation) :



    Dans l'espace des impulsions, la fonction d'onde peut aisément se calculer en prenant la transformée de Fourier de la fonction d'onde trouvée dans l'espace des positions (soit la fonction que je viens d'écrire).

    Or ... la transformée de Fourrier d'une gaussienne est ... une autre gaussienne (ici aussi, j'omets son extension, il manque quelque part un facteur 2pi, mais qui ne change rien), j'ai donc une fonction de la forme :



    Donc, comme tu peux le voir, il y a (peu ou prou) la même distribution des positions que des impulsions ("vitesse"). Il n'y a donc en aucun cas un monde "probabiliste" et un monde "déterministe".

    Ce qui est valable pour cette TF, l'est valable pour toutes les TFs.
    Tout est toujours plus complexe qu'on (que je) ne le pense de prime abord.

  12. #9
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier

    On n'est pas sur Insta ou Twitter, merci d'écrire les noms propres en toutes lettres.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  13. #10
    legyptien

    Re : Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier

    Citation Envoyé par Sethy Voir le message
    Dans l'espace des impulsions, la fonction d'onde peut aisément se calculer en prenant la transformée de Fourier de la fonction d'onde trouvée dans l'espace des positions (soit la fonction que je viens d'écrire).
    Question a deux balles. Pourquoi la TF de l'espace des positions "m'envoie" dans l'espace des impulsions ?

    La TF d'une gaussienne est bien une gaussienne (je me souviens de mes cours de traitement du signal).

    Donc, comme tu peux le voir, il y a (peu ou prou) la même distribution des positions que des impulsions ("vitesse"). Il n'y a donc en aucun cas un monde "probabiliste" et un monde "déterministe".

    Si je pars du principe qu'il y a "la même distribution des positions que des impulsions ("vitesse")", en quoi ca me montre qu'il n y a pas un monde "probabiliste" et un monde "déterministe" ?

    Citation Envoyé par Sethy Voir le message
    Ce qui est valable pour cette TF, l'est valable pour toutes les TFs.
    Tu as voulu dire un truc par cette phrase mais je vois pas ?

    Ca fait beaucoup de questions mais disons que j'ai compris la moitie de ton explication. Je creuserai a tète reposée.

  14. #11
    legyptien

    Re : Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier

    Je peux pas deterer un sujet de 2012 mais comme la question concerne un de tes messages...
    Tu ecris:
    "Dans le cas de signaux temporels échantillonés à fréquence F, c'est le spectre fréquentiel qui est périodique 1/F."
    Le spectre frequentiel est periode de x (Hz). Donc tu as voulu dire F a la place de 1/F ?

  15. #12
    stefjm

    Re : Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier

    Quand on échantillonne un signal S avec une période d’échantillonnage Te, le spectre du signal échantillonné est périodique de période fréquentielle fe=1/Te.

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...eigne_de_Dirac
    Images attachées Images attachées  
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

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  17. #13
    legyptien

    Re : Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Quand on échantillonne un signal S avec une période d’échantillonnage Te, le spectre du signal échantillonné est périodique de période fréquentielle fe=1/Te.

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...eigne_de_Dirac
    merci ca je sais. Je rajouterai meme qu'il faut echnatilloner a au moins 2 fois la frequence max de ton signal pour eviter le recouvrement spectral comme l'indique ton schema (Shannon). Mais c'est pourtant pas ce que tu as ecrit. J'ai pourtant utiliser des guillemets... Bon peu importe.
    Dernière modification par legyptien ; 28/07/2021 à 15h14.

  18. #14
    stefjm

    Re : Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier

    A oui, tu as raison, j'avais mis un inverse de trop en merdant période-fréquence.
    Coquille relevée et corrigée 10 ans après!
    Merci.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  19. #15
    legyptien

    Re : Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    A oui, tu as raison, j'avais mis un inverse de trop en merdant période-fréquence.
    Coquille relevée et corrigée 10 ans après!
    Merci.
    lol pas de probleme, ca arrive aux meilleurs

    Merci pour vos interventions, il me reste du travail pour comprendre le message 4 et 8.

    A+

  20. #16
    Sethy

    Re : Equation de Schrodinger et Transformée de Fourrier

    La 8, c'est juste le développement du deuxième paragraphe de la 2 qui traite de TF et de psi(x) et phi(p).

    Deedee donne d'ailleurs la raison pour laquelle les deux fonctions sont liées par une TF.
    Tout est toujours plus complexe qu'on (que je) ne le pense de prime abord.

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