Travail d'une force conservative et changement de référentiel galiléen

[nash06]

Bonjour à tous,

En reprenant des cours de base de mécanique du point (travail, forces conservatives, énergie potentielle), je me suis rendu compte qu'il y avait un point auquel je n'avais jamais pensé pendant mes études mais qui me pose problème maintenant. Je vais détailler mon raisonnement afin que vous puissiez comprendre le cheminement et ce qui me pose problème :

- Tout d'abord, il est assez clair que la valeur de la puissance d'une force dépend du référentiel, ainsi que son travail. C'est tout à fait naturel : on peut par exemple penser à la situation suivante : Je suis dans un train roulant à vitesse constante, et on considère un objet glissant avec frottement vers l'arrière du train.
Dans le référentiel du train, l'objet est au départ en mouvement "vers l'arrière", la force de frottement est dirigée dans l'autre sens ("vers l'avant" du train), la puissance est donc négative, le travail aussi. C'est bien cohérent : l'objet perd de l'énergie cinétique jusqu'à s'immobiliser.
Dans le référentiel terrestre, en revanche, l'objet a initialement un mouvement également "vers l'avant" (un peu moins vite que la vitesse du train, mais vers l'avant tout de même), la force de frottement est évidemment la même que précédemment, donc la puissance et le travail sont positifs. C'est cohérent : dans ce référentiel, ce qu'on observe, c'est que l'objet (qui par exemple allait initialement à 195 km/h au lieu de la vitesse du train de 200 km/h) accélère jusqu'à avoir la même vitesse que le train.

- Considérons des forces conservatives. Dans Mécanique Classique de Taylor, la définition donnée est la suivante : Une force est conservative si elle vérifie 2 conditions : 1) ne dépendre (au plus) que de la position, et pas du temps, de la vitesse, ou de tout autre grandeur et 2) le travail de cette force entre deux points ne dépend que de la position de ces deux points. On montre alors, à partir de cette définition, qu'il existe nécessairement une fonction (dépendant du point M) telle que . De plus, on montre également que dans ces conditions, .

- Le problème apparaît quand je considère un changement de référentiel galiléen et une force conservative : comme on l'a vu au début, le travail de la force peut être différent selon le référentiel considéré. Pensons par exemple à un objet en chute libre sous l'action du poids. Dans le référentiel terrestre, le poids exerce un travail positif, alors que dans un référentiel en translation uniforme très rapidement "vers le bas" par rapport au référentiel terrestre, ce qu'on voit, c'est que l'objet se déplace initialement rapidement vers le haut, et est peu à peu ralenti sous l'action du poids, donc le travail du poids est négatif.
Pourtant, ce travail s'exprime dans les deux cas en fonction de la fonction énergie potentielle. Une solution à laquelle j'ai d'abord pensé est que cette énergie potentielle pourrait dépendre du référentiel, mais vu que la force s'exprime comme l'opposé du gradient de l'énergie potentielle, cette solution ne colle pas.

Bref, tout ça me fait des noeuds au cerveau depuis hier? Qu'est-ce qui ne va pas dans mes définitions et/ou mon raisonnement ?

Merci d'avance
-----

[gts2]

Bonjour,

Il y a plusieurs réponses :
- vous considérez l'énergie potentielle dans un champ (sans vous souciez de l'origine du champ) et dans ce cas l'expression de l'Ep est la même (disons mgz) mais ce n'est pas le même z et cela conduit bien au même résultat,
- vous considérez l'énergie potentielle d'interaction (disons d'une masse et de la terre) Ep=mgh (h=altitude), dans ce cas les deux référentiels ne sont pas équivalents car dans l'un d'eux la terre bouge, le référentiel n'étant qu'approximativement galiléen, il faut tenir compte du travail de la force d'inertie d'entrainement sur la Terre, et on trouve bien le même résultat
- vous considérez disons un ressort, l'énergie potentielle de celui-ci est indépendante du référentiel puisque cela fait intervenir l'allongement.

[Black Jack 2]

Bonjour,

Pas sûr de te comprendre.

"ce qu'on voit, c'est que l'objet se déplace initialement rapidement vers le haut, et est peu à peu ralenti sous l'action du poids, donc le travail du poids est négatif."

Bof,

Repère dans le référentiel inertiel non terrestre (filant vers le bas par rapport à un référentiel terrestre (supposé inertiel)) : axe vertical vers le haut.

Tu aurais une vitesse du mobile, dans ce référentiel, initialement fortement positive et qui commence par diminuer (en amplitude), puis s'annuler et augmenter ensuite (en amplitude) (lorsque la vitesse du mobile dépassera celle du second référentiel (vu du référentiel terrestre))
... Cela correspond tout simplement à une accélération vers le bas (sens de g) de l'objet.
L'objet est soumis à une accélération g vers le bas... donc soumis à une force constante F = mg (verticale vers le bas) (tout comme dans un référentiel terrestre)

Comme A est "plus haut" que B, le vecteur (AB) est vertical vers le bas (comme le vecteur F)
... et le travail de la force F (poids) entre A et B est positif et vaut W = m.g.|AB| (comme dans le référentiel terrestre)

[Geo77b]

Bonjour,

N'y a-t-il pas un problème de définition de l'énergie potentielle ?
1. Soit Ep=mgΔh avec Δh = la distance entre deux points.
2. Soit Ep est le "travail de la force concernée pour aller d'un point à l'autre", ce travail variant avec le référentiel.

La différence entre les énergies potentielles associées à deux points de l'espace est égale à l'opposé du travail de la force concernée pour aller d'un point à l'autre, et ce, quel que soit le chemin utilisé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Bonjour,

Je ne vois pas de différence, a priori, entre 1 et 2

2 : "travail de la force concernée pour aller d'un point à l'autre" avec "Δh = la distance entre deux points" conduit bien à 1- Ep=mgΔh

Où est la subtilité ?

[Geo77b]

Bonjour gts2,

Je ne vois pas de différence, a priori, entre 1 et 2

2 : "travail de la force concernée pour aller d'un point à l'autre" avec "Δh = la distance entre deux points" conduit bien à 1- Ep=mgΔh

Où est la subtilité ?

En fait, je voulais parler de cette différence subtile :

Le travail d'une force fait intervenir la distance parcourue par le point d'application, ce n'est donc pas la distance entre deux objets à l'instant t indépendante du référentiel, mais entre un point M à l'instant t1 et le même point à l'instant t2 et cette distance est dépendante du référentiel.

[gts2]

Cela me parait un wiki un peu limite : si les points A et B sont mobiles dans le référentiel, même sans parler de changement de référentiel, je vois mal comment on peut définir une Ep
"La différence entre les énergies potentielles associées à deux points de l'espace est égale à l'opposé du travail de la force concernée pour aller d'un point à l'autre"
Ce travail dépend non seulement de A et B mais du temps mis pour aller de A à B.
On tombe sur les Ep(t) très problématiques.

Comme tu l'as indiqué "mais entre un point M à l'instant t1 et le même point à l'instant t2 et cette distance est dépendante du référentiel." Cette distance est non seulement fonction du référentiel mais de t1 et t2. Si les points de départ A et d'arrivée B sont alignés avec la vitesse, on peut même avoir un travail nul : il suffit d'attendre que B passe en A.

[Geo77b]

Cela me parait un wiki un peu limite

D'accord, wikipedia (https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie_potentielle) paraît un peu limite. Il doit manquer l'hypothèse que A et B sont immobiles dans le référentiel. Je remarque que c'est le même genre de définition pour le Volt dans les livres de physique.
Le problème de nash06, qui calcule le travail d'une force (objet en chute libre sous l'action du poids) dans différents référentiels n'est donc pas lié à l'énergie potentielle, sauf dans le référentiel terrestre.

[nash06]

Bonjour,

Merci pour vos réponses. Je crois que la toute première réponse de gts2

vous considérez l'énergie potentielle dans un champ (sans vous souciez de l'origine du champ) et dans ce cas l'expression de l'Ep est la même (disons mgz) mais ce n'est pas le même z et cela conduit bien au même résultat

me parle, en revanche, je suis un peu perdu avec la suite.

J'ai l'impression qu'en fait, le fond du problème (en tout cas, de ce qui ME pose problème), c'est la définition de l'énergie potentielle. Dans les bouquins que j'ai à portée de main, elle est définie comme le travail que la force conservative considérée exerce si le point matériel va du point M à un point Ao arbitrairement fixé (d'où le fait que, puisque c'est arbitraire, l'énergie potentielle soit définie à uns constante près).
Comme j'avais toujours fait des exercices où l'étude se faisait dans le référentiel le plus naturel à chaque fois, je ne m'étais jamais vraiment posé de question sur ce que pouvait être, ou non, ce Ao : quand je faisais un exercice avec le poids, on se plaçait dans le référentiel terrestre, et on prend donc un point Ao fixe dans ce référentiel terrestre. Quand on considère la force de rappel d'un ressort, celui-ci était toujours fixe dans le référentiel terrestre, donc finalement le point Ao était encore un point fixe dans le référentiel terrestre.

Sauf que, les lois de la mécanique étant invariantes par changement de référentiel galiléen, je peux donc également choisir un autre référentiel, et là j'ai l'impression que ça se complique.

Reprenons mon premier exemple (on va voir si j'ai compris la première réponse). Je considère un référentiel galiléen en translation rectiligne uniforme à la vitesse vers le bas par rapport au référentiel terrestre. Initialement, l'objet considéré est immobile dans le référentiel terrestre, 1m au-dessus du sol. L'expression du poids est , donc l'énergie potentielle sera de la forme dans les deux référentiels (le z désignant la coordonnée verticale par rapport à un point origine fixe dans le référentiel considéré, d'où le fait que dans les deux cas on a bien considéré un point Ao fixe dans notre référentiel comme origine de l'énergie potentielle).
Calculons le travail du poids entre l'instant initial et l'instant où l'objet tombe au sol. Pour les applications numériques, je prends m=1kg, g=10ms^-2
- Dans le référentiel terrestre, en prenant l'origine du repère au niveau du sol, l'objet est passé de z=1m à z=0m, donc =-1m, et le travail du poids est donc
En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, j'en déduis que la vitesse au moment de l'impact est de 4,5m/s environ. ()
On trouve évidemment le même résultat si on fait le calcul en intégrant deux fois l'accélération (je passe le calcul), et on peut également calculer que le temps de chute est ce qui fait 0,45 seconde environ.

- Dans le référentiel en translation, en prenant l'origine du repère de telle sorte qu'il coïncide avec le sol initialement : au début je suis à z=1m. A la fin, je suis descendu d'un mètre dans le référentiel galiléen, mais parallèlement, l'origine de mon repère (fixe dans mon référentiel en translation par rapport au référentiel terrestre) est beaucoup descendu. Puisque la durée de chute est , l'origine de mon repère est descendu de $V_0T=4,5m$. Donc finalement, dans mon référentiel "en translation" (je sais que c'est un abus de langage, le référentiel terrestre n'est pas plus "immobile" que celui-ci, mais pour aller plus vite, je parlerais du référentiel "en translation" pour désigner l'autre), l'objet est certes tombé de 1m à cause du poids, mais il est en même temps monté de 4,5m à cause de la vitesse d'entraînement. Donc à la fin, z=3,5m. Ainsi, et le travail du poids est . (On voit que ce coup-là, pour l'étude du même mouvement, le travail du poids est négatif, l'objet ralentit).
En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, j'en déduis que la variation d'énergie cinétique est de -35J. Initialement, dans ce référentiel, l'objet allait à la vitesse =10m/s vers le haut, et la vitesse finale est , toujours vers le haut.

Et là, il y a un truc qui ne me va pas : puisque la vitesse dans le référentiel terrestre à la fin de l'étude est de 0,45m/s vers le bas, et que la vitesse d'entraînement est de 10m/s vers le haut, la vitesse dans le référentiel en translation devrait être de 9,55m/s à la fin (en fait, entre le début et la fin de l'étude, quel que soit le référentiel d'étude, la vitesse a changé de 0,45m/s vers le bas...).




J'avais prévu de donner un autre exemple avec l'étude du mouvement d'un objet accroché à un ressort dans un référentiel par rapport auquel le ressort est en mouvement, mais pour le moment, je trouve que l'exemple précédent est déjà assez problématique, donc je verrai après pour le ressort.

Du coup, qu'est-ce qui ne va pas dans mon exemple ?
Merci d'avance

[gts2]

Il n'y a pas d'erreur de raisonnement, il y a des meli-melo numériques. Si vous aviez fait tout le calcul en littéral, il n'y aurait pas eu de pb.
Le meli-melo est au niveau de la vitesse finale 4,5 m/s (et non 0,45) dans le référentiel terrestre "décalé" de 10 m/s donne bien 5,5 m/s dans le référentiel mobile.

[nash06]

bonjour,
Oui effectivement, merci pour votre réponse.
Je comprends donc ce qui se passe pour le poids.

En revanche, comment traiter le cas de la force de rappel du ressort dans le cas où le point d'attache du ressort est en translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel considéré ?
(Par exemple, j'étudie dans le référentiel terrestre le mouvement d'une masse située dans un train en mouvement qui oscille horizontalement sans frottement autour de la position définie par la longueur à vide du ressort.)
Je suis assez perplexe, parce que la force de rappel du ressort ne dépend que de la position de la masse relativement au point d'attache, donc je ne vois pas comment je pourrais avoir une énergie potentielle dépendant uniquement de la position dans le référentiel terrestre, avec .
Est-ce que ça veut dire que la force de rappel du ressort n'est pas une force conservative dans le référentiel terrestre dans ce cas ? (Et donc, plus généralement, que le caractère conservatif ou non d'une force dépend du référentiel considéré, même en ne considérant que des référentiels galiléens ?) Cette conclusion me surprend fortement de prime abord mais avec ce que je viens de dire j'ai l'impression que c'est bien le cas...

[gts2]

Bonjour,

C'est là qu'il faut changer de point de vue et passer d'Ep dans un champ de force à Ep d'un système : l'énergie potentielle du ressort (de l'objet ressort, pas de la masse accrochée) est toujours 1/2k(allongement)².
Il n'est plus alors question de f=-grad(Ep).
Le système étudié n'est plus alors la masse, mais le système {masse, ressort}.
Ceci étant tout n'est pas réglé : dans le référentiel terrestre il apparait le travail de la force qui maintient "l'autre" extrémité du ressort fixe.
Cela donne (avec x allongement du ressort et v vitesse de la masse)

[gts2]

Sinon pour la distinction : voir Hubert-Gie

[Geo77b]

Bonjour,

Ceci étant tout n'est pas réglé : dans le référentiel terrestre il apparait le travail de la force qui maintient "l'autre" extrémité du ressort fixe.
Cela donne (avec x allongement du ressort et v vitesse de la masse)

Tu veux dire : "... dans les référentiels autres que celui de l'extrémité fixe du ressort, il apparaît le travail de la force qui ..." ?

W est la variation d'énergie du système masse/ressort, dans le référentiel de l'extrémité fixe du ressort ?

[gts2]

C'est bien cela : le système {masse, ressort} d'énergie Ep+Ec est soumis à la force d'attache du ressort

Dans le référentiel du train, cette force ne travaille pas.
Dans le référentiel terrestre, cette force travaille.

[nash06]

Bonjour
Très bien. Merci également pour le lien, très instructif.

Donc si je comprends bien, le souci est avant tout que la définition que j'utilisais comme celle de "force conservative" est restrictive ? (rappel, c'était la définition de Taylor : "Une force est conservative si elle vérifie 2 conditions : 1) ne dépendre (au plus) que de la position, et pas du temps, de la vitesse, ou de tout autre grandeur et 2) le travail de cette force entre deux points ne dépend que de la position de ces deux points")

[gts2]

La définition est en effet très restrictive. "ne dépendre que de la position, et pas de tout autre grandeur" : si on prend l'exemple du ressort, la force de celui-ci dépend de la position des deux extrémités disons M et O, si on restreint à la position M, cela implique immédiatement que O est fixe, donc que la notion n'a de sens que si l'une des extrémités du ressort est fixe. Par conséquent on ne peut "considérer un changement de référentiel galiléen et une force conservative".

Pour ce qui est de l'énergie potentielle, c'est une fonction de point Ep=Ep(M).

L'"autre" énergie potentielle, d'interaction est une énergie potentielle fonction de l'état du système.

[nash06]

OK parfait,

En ce qui me concerne, je considère ce sujet comme résolu.

Merci à tous pour vos réponses.