Pendule conique - Equation d'Euler-Lagrange

[KFSHU]

Bonjour,

Je m'intéresse à la mécanique analytique de Lagrange et pour m'entrainer j'essaie de trouver l'équation du mouvement du pendule conique.

Situation
Une barre verticale tourne sur elle-même à la vitesse angulaire . Une tige de longueur de masse négligeable est fixé sur la barre avec à son extrémité une bille de masse . On repère cette bille dans une base sphérique dont le centre est le point d'attache de la tige sur le barre. Avec et . La connaissance de l'angle détermine donc le mouvement de la bille. (C'est un peu inhabituel de prendre cette angle pour repérer la bille mais ça permet d'utiliser les formules de la base sphérique directement, on prendrait habituellement l'angle entre la verticale "dirigée vers le bas" et la tige). J'espère que l'image en pièce jointe sera assez claire.

Energies
La vitesse dans la basse sphérique de la bille s'écrit , on a donc l'énergie cinétique de la bille qui vaut .

En prenant l’origine de l’énergie potentielle lorsque la bille est à l’altitude minimale , on trouve .

Lagrangien
On a le Lagrangien qui vaut . (désolé je n'ai pas trouvé comment faire simplement le L cursif du Lagrangien)

Dérivation
Après quelques dérivations on trouve, et

Equation du mouvement
L'équation d'Euler-Lagrange donne alors l'équation du mouvement :




Mais voilà lorsque j'essaie de résoudre cette équation différentielle avec un logiciel comme Wolfram Alpha par exemple, je trouve quelque chose de périodique alors que je m'attends plutôt à trouver une courbe qui part de et qui diminue jusqu'à atteindre une valeur finale (pour une bille initialement proche du l'axe verticale et une vitesse initiale nulle).

Cependant cette équation permet de retrouver le cas particulier du pendule simple en prenant et en posant , on trouve alors bien .

J'aimerais avoir des avis sur la méthode et savoir si l'équation est bonne ou non (où sont mes erreurs dans ce cas ?)
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[gts2]

Bonjour,

Je n'ai pas vérifié les calculs, mais qu'y-t-il d'étonnant à ce qu'un pendule oscille ?

[KFSHU]

Si on analyse qualitativement ce qui se passe, on a les forces d’inertie dûs à la rotation qui tendent à éloigner la bille de l’axe de rotation jusqu’à ce qu’un équilibre soit atteint. A priori le mouvement n’est donc pas périodique. Supposons qu’au départ la bille soit très proche de l’axe de rotation avec une vitesse initiale nulle, on devrait, sauf erreur de ma part, trouver un mouvement du même type que celui du manège en pièce jointe.

[Black Jack 2]

Bonjour,

"A priori le mouvement n’est donc pas périodique."

Ben si, la bille parcourt un cercle à vitesse constante ...
Si w (en rad/s) est la vitesse angulaire, la bille repasse périodiquement par la même position, la période étant T = 2Pi/w (T en s)

On peut cependant parler d'une ambiguïté quand on qualifie ce dispositif de pendule, puisqu'il n'y a pas une véritable oscillation (aller-retour) de la bille.

On en parle un peu sur ce lien :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_conique

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Si on analyse qualitativement ce qui se passe, on a les forces d’inertie dûs à la rotation qui tendent à éloigner la bille de l’axe de rotation jusqu’à ce qu’un équilibre soit atteint.

Vu que le système part d'une position qui n'est pas l'équilibre, il va accélérer et arriver avec une vitesse non nulle à la position d'équilibre qu'il va donc dépasser.
Il va redescendre, arriver avec une vitesse non nulle à la position d'équilibre ...
etc.
A priori le mouvement est donc périodique.

Supposons qu’au départ la bille soit très proche de l’axe de rotation avec une vitesse initiale nulle, on devrait, sauf erreur de ma part, trouver un mouvement du même type que celui du manège en pièce jointe.

A mon avis, cela oscille aussi sur le manège, la différence étant les frottements de l'air qui amortissent l'oscillation.

[KFSHU]

Effectivement, je n’avais pas pensé au frottement ça pourrait expliquer les oscillations.
Merci

[KFSHU]

Bien sûr si comme Wikipedia l’annonce le mouvement en régime permanent est un cercle on peut dire que le mouvement est périodique mais justement si c’est effectivement un cercle alors la coordonnée n’est pas périodique c’était un abus de ma part de désigné par le mouvement de la bille.

[gts2]

Je ne comprends pas trop :
- θ(t) est bien périodique !
- Dans le référentiel terrestre (?), le mouvement de la bille est repéré par θ et φ
- Dans le référentiel lié à la barre verticale, le mouvement de la bille est bien repéré par θ

Le mouvement décrit par Wikipedia est un cas particulier du cas que vous exposez (en particulier dans votre cas, il n'y a pas de frottement, donc on ne peut atteindre la "régime permanent" θ=constante)

Ou, dit à l'envers, votre mise en équation n'est pas celle du pendule conique, mais votre équation est tout ce qu'il y a de cohérent.