géodésique

[Easyjet]

Bonjour,

Peut-on dire que nous, humains, sommes sur une géodésique à chaque instant ?

Merci.
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[jacknicklaus]

Bonjour,

il faudrait que tu précises le contexte de ta question. Parler de géodésique, c'est parler chemin et distance sur un un espace courbe. De quel "espace" parles tu ?

[mach3]

Dans le cadre de la RG, il y a une infinité de geodesiques (les lignes les plus "droites" possible d'une géométrie) qui passent en chaque événement (les "points" de l'espace-temps, des lieux-moments), une pour chaque vitesse possible (en direction, en sens et en norme). Il y a toujours une geodesique tangente en chaque événement d'une ligne d'univers (la succession continue des événements d'un corps).
Ainsi, si nos lignes d'univers ne sont pas des geodesiques (à part des situations de chute libre généralement très ponctuelles), en chaque événement de celles-ci il y a neanmoins une geodesique tangente qui passe.

Je ne sais pas si ça répond à la question, qui mériterait peut-être une clarification.

m@ch3

[Easyjet]

Donc on ne peut pas être à la fois sur une ligne d'univers et sur une géodésique. En revanche on peut dire que chacun d'entre nous se situe sur une ligne d'univers non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Donc on ne peut pas être à la fois sur une ligne d'univers et sur une géodésique.

En chaque événement, on est à la fois sur notre ligne d'univers et sur la geodesique tangente. Mais à moins qu'on ne soit en chute libre, à un événement suivant, on est toujours sur notre ligne d'univers mais sur une geodesique tangente differente.
C'est comme quand on considère une courbe quelconque du plan euclidien, chaque point de la courbe on est à la fois sur la courbe et sur la droite tangente à la courbe, mais la tangente change à chaque point (sauf sur une éventuelle portion droite de la courbe).

Dans le cas particulier où on est en chute libre, notre ligne d'univers est une géodesique, les geodesiques (de genre temps) n'étant qu'un cas particulier de ligne d'univers.
Une ligne d'univers est un mouvement, une geodesique (de genre temps) est un mouvement aussi, mais un mouvement libre.

En revanche on peut dire que chacun d'entre nous se situe sur une ligne d'univers non ?

Par définition.

Après pour aller dans le détail chacune des particules qui constituent a sa propre ligne d'univers, et donc nous nous avons un faisceau de ligne d'univers, pas une ligne unique. Dans le cas d'une chute libre, seule la ligne d'univers de notre barycentre est une geodesique, toutes les lignes d'univers des particules qui nous constituent ne peuvent pas être geodesiques en même temps (et cela pour plusieurs raisons, notament la courbure de l'espace-temps et le fait que la quasi-totalité des particules qui nous constituent bougent les unes par rapport aux autres).

m@ch3

[ThM55]

La question est trop imprécise. "Nous sommes sur une géodésique" peut être vrai ou faux selon le contexte dans lequel on se place.

Par exemple: nous sommes sur la planète Terre, en orbite autour du Soleil. La relativité générale représente la ligne d'univers de la terre comme une géodésique de l'espace-temps courbe. Je parle de la terre, mais il s'agit bien de "nous", puisque nous en sommes solidaires, y compris en ce qui concerne les passagers de la station spatiale. Remarque: en physique, il faut toujours être conscient des ordres de grandeurs, sans quoi on ne fait pas de la physique. Selon les ordres de grandeurs habituels en astronomie, la terre suit très précisément une géodésique mais il faut garder à l'esprit que, aussi précise soit-elle à cette échelle, cette assertion reste une approximation. Il y a des déviations dues aux déformations internes de la terre dues aux forces de marée, mais aussi évidemment en ce qui nous concerne, dues au mouvement de rotation de la terre sur elle-même (ce qui fait que nous suivons une spirale autour d'une géodésique). Donc d'un point de vue strictement mathématique, la terre ne suit pas exactement une géodésique, ni nous non plus. Pourtant le physicien qui examine le mouvement dans le cadre de l'astronomie du système solaire dira que l'énoncé est vrai. C'est une vérité de physicien conscient de ses approximations, pas une vérité de mathématicien.

Autre contexte: nous sommes à la surface de la planète terre, entre la chaise sur laquelle nous sommes assis et le clavier avec lequel nous écrivons des bêtises (et aussi, espérons-le, quelques petites choses intelligentes). Le champ de gravité de la terre est localement, c'est-à-dire à l'échelle de l'atmosphère terrestre, décrit par un champ de gravitation à symétrie sphérique. Mais nous y sommes immobiles car nous subissons une force de réaction de la terre+sol+chaise qui nous maintient en place. Ces forces de réaction ne sont pas de nature gravitationnelle, leur origine est électromagnétique pour l'essentiel (en tenant aussi compte d'effets quantiques si on insiste à analyser le tout jusqu'à l'échelle des atomes). Notre corps n'obéit donc pas dans ce contexte à une géodésique, et même pas du tout: il y a un terme de force supplémentaire qui donne une équation qui n'est pas celle d'une géodésique.

Dans le second exemple, on a ignoré totalement le champ de gravitation du soleil. Pourquoi? C'est encore une question d'ordres de grandeurs: localement, notre mouvement par rapport à la terre est largement dominé par le champ de gravitation de cette dernière. Nous somme très peu influencés par le soleil et les autres planètes à cette échelle.

[ornithology]

tout a fait d'accord.
je voudrais ajouter que la notion de géodésique est valable dans l'absolu pour des particules test tres legeres qui ne modifieraient pas la courbure de l'espace temps avec ou sans elle.
pour des corps massifs comme la terre autour du soleil, ce n'est pas le cas. Dans un tel cas il faut considerer la métrique en l absence de la terre et alors le centre de gravité de la terre réelle va suivre une géodésique de cette metrique.

[ThM55]

Oui. On peut mentionner à ce sujet les travaux d'Einstein-Infeld_Hoffman qui déduisaient sous certaines hypothèses l'équation des géodésiques en première approximation pour les corps matériels à partir des équations du champ (une des premières publications d'Einstein après son arrivée à Princeton). Ces équations décrivent des termes de correction aux trajectoires newtoniennes et ont été utilisées par le JPL (NASA) pour calculer avec précision les trajectoires de leurs sondes interplanétaire.

Vladimir Fock était arrivé au même résultat simultanément par une méthode un peu différente. Si on pousse l'approximation plus loin, il faut aussi tenir compte des effets de radiation, qui formellement éloignent encore de la géodésique.

[Ernum]

Salut,

pour résumer en partie ce qui à été dit, on n'a pas un parcours libre (contraint par le sol), on peut répondre qu'on n'est pas sur une géodésique. Mais, hors RG, on se situe sur une sphère (la Terre), en chaque point de cette sphère passe une géodésique (longitude), donc ...

[Deedee81]

Salut,

pour résumer en partie ce qui à été dit, on n'a pas un parcours libre (contraint par le sol), on peut répondre qu'on n'est pas sur une géodésique. Mais, hors RG, on se situe sur une sphère (la Terre), en chaque point de cette sphère passe une géodésique (longitude), donc ...

Ca montre bien qu'il faut préciser le cotexte (géodésique ayant un sens qui dépend du contextes).

Donc on ne peut pas être à la fois sur une ligne d'univers et sur une géodésique. En revanche on peut dire que chacun d'entre nous se situe sur une ligne d'univers non ?

Je vais essayer de rester simple :
- Attention "être sur" et "suivre" ce n'est pas la même chose. Tu peux être à un carfour et être sur deux routes (les deux qui se croisent) et tu peux suivre une route, c'est-à-dire rouler sur cette route.
- Par définition on suit une ligne d'univers (la nôtre)
- En chaque point il y a une infinité de géodésiques qui passent (un super méga carrefour )
- Tu peux suivre une géodésique .... ou pas. Si tu la suis, alors ta ligne d'univers = cette géodésique
- En première approximation si un corps ne subit aucune force (autre que la gravité) alors sa ligne d'univers est une géodésique. Ce n'est vrai que pour un petit corps, pas un gros comme la Lune car si chaque point suivait une géodésique il n'y a aucune chance que ces géodésiques restent parallèles (*), la Lune.... éclaterait. Sa trajectoire n'est donc pas tout à fait géodésique.
- (*) Exemple, évoqué par Ernum : les géodésiques d'une sphère sont les longitudes, l'équateur (mais pas les '"parallèles" sauf l'équateur) et il est clair que deux longitudes ne sont pas parallèles, elles s'écartent en partant d'un pole et se rejoignent à l'autre.