Résolution d'équations différentielles imbriquées en passant par les complexes

[invite12f4db23]

Bonjour.

Au cours d'un exercice de mécanique engageant plusieurs ressorts, je me retrouve avec deux équations différentielles imbriquées. Je sais que celle ci se manipulent très bien en posant X = x1 +x2 et X'= x1-x2. Mais j'ai déjà vu passer dans des exercices une méthode consistant à poser un complexe rhô = x1+ix2. J'ai voulu calquer cette méthode dans notre cas à titre d'entraînement et je me retrouve avec une équation qui me paraît quelque peu inextricable ou alors je ne vois pas une subtilité. Y a t'il certaines conditions d'application de cette méthode qui font que je ne m'en sortirais pas ou bien voyez vous un moyen de mener à terme ce calcul et si oui comment ? Veuillez trouver une photo de la situation ci joint : http://image.noelshack.com/fichiers/...108-182208.jpg

Merci par avance.
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[Anonyme007]

Bonsoir,

Si je ne m’abuse, ton système d'équations différentielles se met sous la forme, , où, , et , et est une matrice carrée de taille .
La méthode de résolution se trouve dans le cours suivant, https://uel.unisciel.fr/mathematique...re_ch2_01.html
Commence par diagonaliser .

Cordialement.

[invite12f4db23]

Vous ne m'avez pas compris. Je sais qu'il est confortable de résoudre ce système en restant réel, ce n'est pas mon but ici. Je cherche à m'exercer à un autre type de résolution en passant dans le monde des complexes, et c'est justement sur ce passage que je recontre des difficultés.

[Merlin95]

Le passage de la ligne 5 à la ligne 6 me semble bizarre, pas trop regardé mais tu es sur de ce passage ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Bonjour,

La méthode de passage en complexes est très particulière et n'a rien de général.
Dans le cas usuel z=x+i y a un sens physique (voire mathématique), c'est la représentation du vecteur OM, il parait donc raisonnable qu'on puisse trouver une équation qui a un sens.

Ici en utilisant la règle "ne pas résoudre une équation tant qu'on ne connait pas la solution", on devine qu'il y aura deux fréquences et je ne vois pas comment on peut trouver deux fréquences avec une équation différentielle complexe (sans terme d'ordre 1)

[Anonyme007]

gts2,
Je crois me souvenir de l’utilisation d'une telle méthode en cours d’électricité quant j'étais encore au Baccalauréat.
Voici les mots clés,

- Représentation de Fresnel.
- Impédance.
- Inductance.
- Circuit RLC.

Je me souviens meme d'une séance où notre prof de l'époque nous dénombrait les ressemblances et les analogies entre l’électricité et la mécanique en soulignent que un oscillateur harmonique qu'on nous enseigne en cours de mécanique, se comporte de la meme manière qu'un circuit RLC, si je ne m’abuse, et qu'on enseigne en cours d'électricité.

[Merlin95]

Oui voilà un véritable exemple de l'irrationnelle efficacité des mathématiques de Eugène Wigner, un ensemble de mathémathématiques qui s'étend sur l'ensemble des différents domaines de la physique, même de la physique quantique.

[Anonyme007]

Ici surtout, il s'agit de la notion d'oscillateur harmonique ( version mécanique classique ), c'est à dire, un ressort sur lequel on attache un poids de masse .

[Merlin95]

Mode HS on : Oui et avec un circuit RLC, on est amené à s'intéresser et à trouver la même équation. Mais c'est HS. Mode HS off.

[Anonyme007]

Qu'est ce que tu racontes ?

[Anonyme007]

Ah d’accord. Pardon.
HS signifie Hors Sujet.

[invite12f4db23]

Comme je vous le disais, ce système se résoud bien en posant Xa= x1-x2 et Xs= x1+x2 . La méthode des complexes n'a pas l'air très évidente ici, tant pis. En revanche la première réponse que j'ai eu m'a intrigué. J'ai donc posé le système sous forme matricielle avec X = (x1,x2) comme vecteur. J'ai calculé le polynôme caractéristique de la matrice et deux vecteurs propres. Quelle serait l'aboutissement de la solution dans un cas comme celui ci ? Et si j'avais eu un système du premier ordre X'=AX ? Voici mes calculs
http://image.noelshack.com/fichiers/...109-051322.jpg

[gts2]

Les valeurs propres -1 et -3 (à k/m près !) sont les opposés des pulsations des oscilaltions.

La matrice formée à partir des vecteurs propres est la matrice de changement de base, permettant d'obtenir de nouvelles coordonnées oscillant chacune de manière harmonique : vous retrouvez donc vos x1-x2 et x1+x2.

[invite12f4db23]

Ok, je vois. Vous n'auriez pas une méthode générale de résolution de systèmes différentiels ? En soit la solution de ce système je l'a connais, ce n'est pas ce qui m'intéresse. Ce que je recherche c'est la technicité derrière pour pouvoir être en mesure de l'appliquer à différents cas, que ce soit de l'ordre 1 ou 2, en régime périodique, critique ou apériodique vous voyez. Toutes ces choses je sais déjà les faire en équation individuelle et je serais curieux de savoir comment je peux lier mon cours de Réduction et mon cours d'équations différentielles ensemble pour résoudre matriciellement de tels problèmes. C'est certainement très naturel pour vous mais de voir que mes valeurs propres sont l'opposé de la pulsation, ça ne me vient pas nécessairement à l'esprit, c'est pour ça que je recherche vraiment une méthode générale ou au pire un exemple complet d'ordre 1 et 2. Merci à vous.

[gts2]

Si vous tapez "système d'équations différentielles linéaires valeurs propres" vous allez avoir des tas de réponses.

[stefjm]

Avec des équations linéaires, le passage par transformée de Laplace permet d'obtenir un système algébrique linéaire, dont la résolution est systématique et facile.
Le retour à l'original donne les solutions.