Sens du "e" de la loi de refroidissement de Newton

[DJhuff]

Bonsoir,
En lisant un document sur la loi de refroidissement de Newton, la signification d'un des termes d'une formule m'est demeuré inconnu.

La formule de la loi de refroidissement de Newton est la suivante:
dT(t)/dt = -k_(s^-1) X (T - Text)

A partir de cette formule, on en déduit la température à un instant t, après refroidissement du corps:
T(t) = Text + (T(0) - Text) X e^{-k_(s-1)Xt_(s)}

Avec Text la température extérieure.

Que représente "e" ? Comment le lire ? D'où vient-il ? Je n'ai reçu aucune information sur ce e. Pourquoi n'est-il pas remplacé par une valeur ? Pourquoi y a-t-il l'inverse de la constante de proportionnalité et l'instant t en exposant sur ce e ?

Je vous remercie par avance pour vos réponses et votre temps.
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[Sethy]

Sur les calculatrices, la fonction exponentielle est souvent notée exp. Est-ce que cela t'es plus familier / connu ?

e^x = exp(x)

e^1 = exp(1) = e, souvent appelée constante d'Euler. Ce nombre vaut environ 2,718...

La fonction exp(x) / e^x dite exponentielle ressemble à la fonction puissance comme par exemple 10^x. Si x =1, 10^x = 10, si x = 2, 10^x = 100, si x = 0,5, 10^x = racine carrée de (10) , si x = -1, 10^(x) = 1/10ème.

Avec e, c'est pareil sauf que ce n'est pas 10 comme "base" mais 2,718...

[pm42]

En plus des explications pertinentes de Sethy on peut préciser que e, c'est de ce point de vu comme pi. Un nombre qui ne s'exprime pas autrement, avec une infinité de décimales non périodiques.
Donc comme pi, on le laisse comme tel et on ne le remplace pas par "une valeur" qui ne serait qu'une approximation.

[DJhuff]

Je vous remercie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[RomVi]

Bonjour

La question qu'il faut surtout se poser est surtout pourquoi e, et pas 2, 10, 42 ... Parce qu'on pourrait très bien écrire la résolution de l'équa diff avec cette base.

[stefjm]

Parce que c'est la base optimale!

1) est maximum pour

2) pour

[stefjm]

D'ailleurs, les physiciens nucléaires préfèrent souvent 2 à e pour la demi-vie des produits radio-actifs.

[pm42]

D'ailleurs, les physiciens nucléaires préfèrent souvent 2 à e pour la demi-vie des produits radio-actifs.

Il y a peut-être un rapport entre 2 et "demi-vie" ceci dit ?

[stefjm]

Probablement.

Si on utilise , il faut être balaise en puissance de ln(2) pour les développements en série, dérivée, intégration, etc...

[RomVi]

La notion de demie-vie est utilisée car plus intuitive, et elle est "sans conséquence" : Les raisons évoquées plus haut ne sont que des caractéristiques de la fonction, la véritable raison est que mathématiquement la base e apparait dans la résolution de l'équa diff, et que ce n'est qu'en conservant cette base que l'on garde des unités homogènes (sinon on serait forcé d'utiliser un multiple non décimal pour une des unités).
Dans le cas de la demi-vie ça n'a pas d'importance, puisque la demi vie n'est qu'une constatation (on ne sait pas "calculer" celle ci à partir d'unités fondamentales.

[stefjm]

Ce thème m'intéresse mais je n'ai quasiment rien compris à ce que tu as écrit!

L'équation différentielle se résout (presque) aussi bien en qu'en avec , correspondant à l'équation différentielle

Du coup, je ne vois pas le lien avec l'homogénéité des unités?

Si tu pouvais préciser ce que tu as en tête, comme déjà dit, le thème m'intéresse.

[RomVi]

Prenons par exemple la loi du refroidissement de Newton :
Un corps de masse m = 1 kg a une une chaleur massique Cp de 1000 joules par kg et par degré. Les conditions opératoires font que son coefficient d'échange U multiplié par l'aire dissipatrice A est de 1 watt par degré de différence avec la température ambiante. On veut déterminer l’allure de la courbe de température au fil du temps t, exprimé en secondes.

En conservant la base e la courbe de décroissance en température sera de la forme e^(-t/tau), tau étant la "constante de temps" égale à m Cp / UA.

On pourrait très bien utiliser une autre base que e (2, 10...) mais dans ce cas on serait forcé de multiplier l'exposant par une constante pour le prendre en compte, on ne manipulerait plus des unités fondamentales de base, mais un multiple de celles ci.

[stefjm]

D'accord.
Avec le multiple en question ln(base) qui est un nombre sans unité.
L'expression ne serait pas aussi simple, mais c'est tout.

On pourrait aussi faire disparaitre ce ln(base) en l'intégrant dans la définition d'une des grandeurs.

Je le vois un peu comme le 2pi qu'on escamote régulièrement en utilisant la pulsation plutôt que la fréquence, pour éviter d'avoir des puissance de 2pi partout.

[RomVi]

Oui c'est la même idée, par exemple si on fait tourner une masse de 1 kg au bout d'une ficelle de 1m à 1 tour par seconde celle ci subit une "tension" de 19.739...N ; ça ne tombe pas juste.
Si on fait tourner la ficelle à 10 radians par seconde on a une tension exactement de 50 N

[stefjm]

Si on fait tourner la ficelle à 10 radians par seconde on a une tension exactement de 50 N

Plutôt 100=m.R.w^2, non?

[RomVi]

oui exact ; c'était pour voir si tu suivais