Bug du théorème de Green-Ostrogradski ?

[Steph92140]

Bonjour à tous, je me retrouve face à un ‘bug’ que je ne sais pas expliquer, auriez-vous une idée ?

Considérons un espace infini rempli d’une densité de charge électrique Rho rigoureusement constante partout, et non-nulle. En tout point de cet espace, il est clair que le champ électrique E est nul (par symétrie et isotropisme, aucune direction ne peut être privilégiée)

Considérons maintenant une sphère de volume V non-nul dans cet espace. Le flux du champ E (identiquement nul) à travers cette sphère est donc nul. Or d’après le théorème de Green-Ostrogradski c’est aussi l’intégrale triple de la divergence de E.

D’après les équations de Maxwell, la divergence de E vaut Rho/Eps0 (constante et non-nulle)
Donc le flux du champ E devrait valoir Rho V / Eps0, qui est non-nul !

D’où vient le bug ?
Merci à vous
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[jacknicklaus]

Bonjour,

un espace infini rempli d'une densité de charge électrique Rho rigoureusement constante partout, et non-nulle.

ne satisfait pas les hypothèses d'applicabilité de Stockes, qui exige que le domaine d'intégration soit compact à bord lisse.

[Steph92140]

Merci pour la réponse, je fais donc une erreur mathématique et non physique. 2 questions toutefois :

1) Le «*domaine d’intégration*», n’est-ce pas ma sphère ? (qui me semble compacte à bord lisse ?)

2) Il y aurait donc une différence entre un espace infini et un espace fini mais de dimension astronomique ? Il est un peu contre-intuitif que ce qui se passe sur les bords de cet espace immense (disons à plusieurs années lumières) ait une quelconque influence sur le champ E local, qui pourtant dans un cas vaut 0 et dans l’autre Rho V / ( S Esp0 ) = Rho R / ( 3 Eps0 )

[coussin]

Il y aurait donc une différence entre un espace infini et un espace fini mais de dimension astronomique ?

Oui. Il est intéressant de noter que c'est comme ça que Einstein a dû introduire sa constante cosmologique Il a imaginé un Univers infini rempli de matière et en concluait que la courbure devait être nulle partout.
C'est le même problème dans votre cas puisque le potentiel créé par une densité de charge est régie par une équation de Poisson. Il vous faut introduire une "constante cosmologique"

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

En complément intuitif de ce qui s'est déjà dit :

- Si vous avez des charges à l'infini (puisque densité de charge constante partout), il ne sera pas possible de choisir arbitrairement la constante d'intégration pour obtenir le potentiel.
En général, on choisit le potentiel nul à l'infini, mais ici, vu l'homogénéité, ce n'est pas possible sans contradictions.

- Il est aussi intéressant de se représenter les lignes de champ électrique et les équipotentielles dans ce cas pathologique.

[0577]

Bonjour,

En tout point de cet espace, il est clair que le champ électrique E est nul (par symétrie et isotropisme, aucune direction ne peut être privilégiée)

Le problème est dans cette affirmation (en général, dans une démonstration, les passages débutant par "il est clair que" sont en fait les moins clairs et sont ceux qui contiennent le plus probablement une erreur...).

La subtilité est dans ce qu'est argument "par symétrie". Le principe général est que:

1) si les données d'un problème ont une symétrie, et

2) si la solution de ce problème est unique,

alors la solution du problème possède la même symétrie que les données. Il est crucial de ne pas oublier la condition 2). Si le problème a plusieurs solutions, tout ce qu'on peut dire est que la symétrie permute les solutions entre elles: elle ne les préserve pas individuellement en général (c'est le phénomène de "brisure spontanée de symétrie").

L'hypothèse implicite dans le message initial est qu'une distribution de charges détermine uniquement le champ électrique, par l'équation de Maxwell div(E)=\rho/\epsilon_0. Mais ce n'est pas le cas! Si E=-grad V est une solution, alors E=-grad(V+f) est aussi une solution pour toute fonction f harmonique sur R^3, et il existe beaucoup de fonctions harmoniques! Autrement dit, l'argument du message initial prouve que pour \rho=constante, il n'existe pas de solutions homogènes et isotropes, ce qui est compatible avec le principe de symétrie car l'équation de Maxwell admet une ensemble infini de solutions sur lequel agit les translations et les rotations.

Dans la "vie de tous les jours", on pense qu'une distribution de charges détermine uniquement le champ électrique car on considère le plus souvent une distribution de charges localisée dans un volume fini et on fait l'hypothèse raisonnable qu'alors le champ électrique tend vers zéro à l'infini ("il n'y a pas de charges à l'infini"). Avec cette hypothèse supplémentaire, l'équation de Maxwell a une unique solution.

Historiquement, cette erreur a été faite par Newton dans le cadre de la gravitation: il pensait qu'un espace infini rempli de matière de manière homogène et isotrope devrait être statique car "par symétrie"le champ gravitationnel devrait être nul. Ce n'est pas le cas et il n'y a pas d'espace newtonien non-vide statique homogène et isotrope (le même chose est valable en relativité générale sans constante cosmologique comme rappelé par coussin).