Bonjour,
Je vous fais part d'une question qui m'est restée sans réponse :
Considérons un potentiel électrique égal à V=exp(-r)/r si r>1, et 1/e sinon (en coordonnées sphériques). Après calcul, son laplacien est égal à V pour r>1 et 0 sinon. En utilisant l'équation de Poisson, on trouve une densité de charge volumique toujours négative (strictement pour r>1), et par symétrie sphérique et utilisation du théorème de Gauss, on trouve un champ électrique dirigé vers l'origine. Cela est contraire à ce qu'on trouve en calculant directement le champ électrique via le gradient de V.
J'ai pris le potentiel égal à 1/e sur la boule unité pour éviter un problème de divergence d'intégrale lors de l'application du théorème de Gauss. On peut éventuellement imaginer qu'à la frontière de la boule, la fonction V est en fait régulière.
Il y a t-il là une erreur plus ou moins triviale qui m'échappe ? Il y a t-il des critères que j'ignore pour qu'un champ scalaire puisse représenter un potentiel électrique ?
Il n'est pas clair pour moi que tout champ scalaire même d'allure raisonnable (régulier, intégrable, donné par une formule simple, ...) puisse représenter une véritable distribution de charges (ou un potentiel).
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