Equation de montée en température d'un radiateur

[Raph57]

Bonjour,

Je tente de trouver le modèle de l'évolution de la température d'un objet contenant des pistes électriques résistives pour le chauffer.
J'ai remanié l'équation trouvée ici pour passer du cas où l'objet gagne de la chaleur par le milieu au cas où le milieu lui en prend et ralenti sa montée en température.

J'ai donc inversé le le terme h.S pour passer dans un cas où l'air me semble agir comme une résistance thermique. J'ai donc:
T(t) = T_fin + (T_init + T_fin) e ^{- t / (m c h S)}

Le tracé de la courbe réagit plutôt logiquement en faisant varier les caractéristiques de l'objet mais... J'ai quand même l'impression que j'invente des formules!
Qu'en est-il?!
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[gts2]

J'ai remanié l'équation trouvée ici pour passer du cas où l'objet gagne de la chaleur par le milieu au cas où le milieu lui en prend et ralenti sa montée en température.
J'ai donc inversé le le terme h.S pour passer dans un cas où l'air me semble agir comme une résistance thermique.

En fait de remanié et inversé, les relations indiquées sont des relations algébriques et avec des paramètres. Donc en fait de remaniement, vous avez interprété différemment les paramètres et vous n'avez rien inversé : U=RI est toujours vraie que I circule dans un sens ou un autre.

J'ai quand même l'impression que j'invente des formules !

Votre formule est quand même la réponse classique d'un premier ordre, pas vraiment une invention et votre raisonnement est correct au premier ordre, on peut toujours affiner après, tout dépend le but de l'opération.

Par contre, où est passée la puissance de chauffage : elle doit être caché dans Tfin ?

[Raph57]

Merci de votre réponse rapide!

Je dois dimensionner la puissance dans le but de maitriser la température maxi d'un objet chauffant. Aussi je dois connaitre la température de l'objet en fonction de la durée de chauffage.

Pour l'instant, mon approche est la suivante:

1) Calcul de la variation d'énergie Q [J] pour le delta Température visé et les caractéristiques de l'objet (matériau, masse)

2) Tracer la courbe de monté en température avec l'équation différentielle renseignée des données de surfaces et du coeff h d'échange avec l'air.

3) A l'aide du graphique, détermination de la constante de temps Tau:
poly506.gif

4) Calcul de la puissance requise pour respecter le profil de chauffe avec la relation: P=Q/Tau

J'ai testé le modèle avec 1L d'eau à élever de de 1°C. Mon calculateur donne 300s de constante de temps et 14.1W
Si je me compare avec la valeur connue de 1.162Wh pour augmenter 1L d'eau de 1°C, ca colle, je retrouve 14.1W
Sans titre 1.jpg

Je suis par contre assez déçu des résultats quand je calcule avec d'autres matériaux: Je tombe un peu loin de mes mesures labo!
Est-ce là simplement la limite d'un calculateur et de la mesure expérimentale?

[gts2]

Pour le 3 et 4, si vous avez fait 1 et 2, vous connaissez m, c, h et S, vous pouvez donc déterminer immédiatement P en écrivant l'équilibre final et tau par le calcul, donc pas besoin d'étude graphique ni de Q/tau, sauf pour vérification.

Si cela ne marche pas très bien, ce n'est pas tout à fait anormal, la thermique ce n'est pas forcément simple.

Un exemple : vous considérez les échanges avec l'air, mais le bidule que vous chauffez est peut-être en contact avec autre chose.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Raph57]

Ha d'accord, c'est quoi la manière direct? J'ai esquissé ça dans mon calculateur:

1) Calcul du flux de chaleur en [W] dissipé en convection = h . S (T_objet - T_air)
2) Je fixe un Delta temps à l'instinct et je calcul P = Q / Delta t Ca donnera alors la puissance pour chauffer l'objet. Je vois pas comment faire autrement sinon je tourne en rond!
3) J'ajoute cette puissance et celle dissipée pour avoir ma puissance à prévoir.

Par contre suivant le Delta temps fixé, la puissance va varier et avec elle la température maximum qui peut être atteinte. Il me faudra alors recalculer cette température maxi pour vérifier que l'objet ne risque rien.

Verdict? Peut mieux faire?

[gts2]

Méthode théorique : équation différentielle par bilan thermique : , on identifie et le comportement à temps long donne puis manipulation algébrique donne

Après votre TP consiste peut-être à déterminer P en ne connaissant pas h ni S, d'où votre point 3 et 4. Et dans ce cas 1 et 2 sert de contrôle théorique qui nécessite la connaissance de h et S.

Or l'équation différentielle et pour fonctionner ont juste besoin pour fonctionner d'avoir une "fuite" thermique proportionnelle à l'écart de température, cela couvre donc un champ plus large.

Pour revenir à votre P = Q / Delta t, cela est exact dans deux cas :
1- P est la seule puissance thermique or ici il y a le chauffage et les fuites
2- pour un premier ordre avec un Delta t précis : tau

Vous ne pouvez donc prendre "Delta t à l'instinct" (vous n'êtes pas dans le cas 1)

[Raph57]

Super! Un grand merci. Ma feuille de calcul n'attend plus que les données récoltés au labo pour se frotter à la réalité