Capacité électrique entre une surface et un cylindre espacés

[Solar8]

Bonjour,

Je cherche à établir l'expression de la capacité électrique entre une surface conductrice plate et un cylindre dont seul l'intérieur est conducteur. L'extérieur du cylindre est supposé entouré d'un diélectrique. La surface et la partie la plus proche du cylindre sont espacés par une distance e. Le rayon du cylindre est r. La hauteur du cylindre est H. La figure ci-dessous explicite graphiquement cela :


Je n'ai pas trouvé, dans la littérature sur Internet, de formulaire abordant ce cas géométrique.

En utilisant la formule de la capacité électrique entre deux plaques conductrices (condensateur plan), et en intégrant de petits disques sur toute la hauteur H, j'ai trouvé une expression du type :
C=2 π r ℰ₀ ℰ_r ln|1+H/e|

Cette méthode est fort contestable car d'une part j'ignore les hypothèses prises pour établir la formule du condensateur plan, et d'autre part cela suppose que chaque disque voit une surface égale à sa surface intérieure sur la plaque située en-dessous... ce qui me semble faux. Par ailleurs, la surface de la plaque n'est pas indiquée car il me semble qu'elle n'est pas nécesaire, mais je puis me tromper.

N'ayant pas de moyen de simuler numériquement cette configuration, je souhaiterais bénéficier de vos suggestions pour partir sur une autre méthode d'établissement d'une expression.

Merci d'avance pour vos suggestions !
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[f6bes]

Bjr à toi,
Pas la peine de se torturer l'esprit....avec un cylindre dont seul l'intérieur est conducteur!!
Un cylindre (normal) comporte un isolant....qui s'appele...l'air !
Donc ton isolant "supplémentaire" n'a pas a etre pris en compte.
Dans ton cas la capacité entre le bas et le haut du cylindrfe , vis à vis de plaque
varie.
De plus tu n'indique pas l'écartement entre bas du cylindre et ta plaque.
Bonne journée

[Solar8]

Bonjour,

Merci pour ta réponse.

Je ne me torture pas l'esprit pour le plaisir, mais pour répondre à un cas concret. Il faut réellement considérer que seul l'intérieur conduit. En réalité, et je me suis certainement mal exprimé dans mon message initial, tout le volume autour du cylindre est conducteur. Je ne souhaite PAS calculer la capacité entre la plaque et ce volume conducteur. Je souhaite calculer SEULEMENT le capacité entre l'intérieur du cylindre et la plaque.

Dans le cas que tu mentionnes du "cylindre normal", l'air étant diélectrique, j'ai bien une capacité qui s'applique entre l'extérieur du cylindre et la plaque d'une part, et entre l'intérieur du cylindre et la plaque d'autre part. Cela me donne donc une capacité supplémentaire que je ne souhaite pas calculer. Je me doute que le facteur entre les deux serait simplement sensiblement 2 (en négligeant l'épaisseur du cylindre), mais c'est à vérifier.

J'ai omis de préciser que j'ai regardé du côté des vias dans les PCB en électronique. Malheureusement, la formule pour les vias me semble peu adaptée car elle prend en compte les surfaces de métal qui existent de part au d'autre du via et qui créent une capacité avec le plan de masse.

De plus tu n'indique pas l'écartement entre bas du cylindre et ta plaque.

Comme indiqué dans l'énoncé et le graphique, l'écartement entre le bas du cylindre et la plaque est e.

Merci d'avance !

[coussin]

Je ne pense pas qu'il y ait de forme analytique pour cette géométrie.
À ma connaissance, il n'y a que plan-plan et plan-sphère (sous la forme d'une série infinie) où l'on a une forme analytique mais je peux me tromper...

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Je me trompe, il y a d'autres géométries pour lesquelles la capacité est connue : https://en.wikipedia.org/wiki/Capaci..._simple_shapes

[coussin]

Désolé pour le spam de massages
Regardez ce papier : https://www.mdpi.com/1996-1073/11/5/1090/htm qui semble avoir la géométrie qui vous intéresse

[Antoane]

Bonjour,

La géométrie n'est pas 100 % claire pour moi.

J'avais, comme Coussin je pense, l'idée d'un cylindre plein au dessus d'un plan (e.g. un fil de cuivre de diamètre non négligeable au dessus d'un plan).

mais:

Dans le cas que tu mentionnes du "cylindre normal", l'air étant diélectrique, j'ai bien une capacité qui s'applique entre l'extérieur du cylindre et la plaque d'une part, et entre l'intérieur du cylindre et la plaque d'autre part. Cela me donne donc une capacité supplémentaire que je ne souhaite pas calculer. Je me doute que le facteur entre les deux serait simplement sensiblement 2 (en négligeant l'épaisseur du cylindre), mais c'est à vérifier.

Suggère qu'on est dans le cas d'un tube (e.g. un tuyau de plomberie) au dessus d'un plan.

Dans ce second cas :
- le tube est-il bouché, i.e. existe-t-il un disque conducteur parallèleau plan et obstruant le tube à son extrémité ? => si oui, on se retrouve dans un cas équivalent au cylindre plein.
- Quelles sont les dimension réelles relatives ? Par exemple, supposant un plan infini et un tube infini, si le diamètre du tube est petit devant la distance tube/plan, on pourra négliger la capacité que tu appelles "interne".

J'imagine qu'il existe des expressions analytiques ou semi-analytiques, mais à défault cela se simule facilement avec des logiciels tels que FEMM https://www.femm.info/wiki/Download.

[Solar8]

Bonjour,

Mes excuses, je n'ai pas été clair sur la nature du cylindre. Ce cylindre est CREUX. D'où la notion de surface conductrice interne.

Merci coussin pour la bibliographie. J'avais déjà vu celle de Wikipédia, qui n'aborde pas le cas dont on parle ici. Je ne connaissais pas le papier que tu as partagé, il est fort intéressant, merci ! Néanmoins il n'aborde pas notre cas (je me doute que l'absence de notion de cylindre creux dans mon énoncé initial y est pour quelque chose).

La hauteur du cylindre est du même ordre de grandeur que le diamètre du cylindre et l'espacement entre les deux objets.

edit : comme énoncé plus haut je n'ai pas de moyen d'utiliser un logiciel de type FEM pour réaliser une simulation numérique, néanmoins en cas d'absence de solution analytique je me pencherai vers un logiciel tel que par exemple celui qui est mentionné dans le message d'Antoane.

Merci d'avance.

[Antoane]

La hauteur du cylindre est du même ordre de grandeur que le diamètre du cylindre et l'espacement entre les deux objets.

Dans ce cas, s'il faut un minimum de précision, je passeraos par FEMM.
On peut voir pour faire la simulation pour toi si tu donnes les dimensions et le espilon.

[Solar8]

Voici les paramètres :

epsilon_r=1.00

Premier cas :
e=0.6e-3 m
H=1.0e-3 m
r=0.625e-3 m

Second cas :
e=0.6e-3 m
H=0.26e-3 m
r=0.469e-3 m

Merci d'avance pour cette aide bienvenue !

[Antoane]

Le plan est de surface infinie et le tube d'épaisseur négligeable ?

[Solar8]

Le plan est de surface infinie et le tube d'épaisseur négligeable ?

Oui. Comme mentionné plus haut, je pense que c'est l'approximation à faire.

Mais si je ne m'abuse, avec cette méthode, le calcul FEM va trouver une capacité correspondant à l'ensemble de la surface du cylindre, donc "extérieur" et "intérieur"...

[Antoane]

Ca dépend de ce que tu entends par "à faire".
Pour un calcul analytique, ca peut effectivement être une simplification. Pour la simulation numérique, ce sont des contraintes: "infini" sera remplacé par "grand" et "nul" sera remplacé par "petit".

Mais si je ne m'abuse, avec cette méthode, le calcul FEM va trouver une capacité correspondant à l'ensemble de la surface du cylindre, donc "extérieur" et "intérieur"...

A priori oui. Mais c'est a priori la seule mesurable en pratique.

[Solar8]

En lisant d'autres sujets sur Internet, il me vient une interrogation qui rejoint la remarque d'Antoane de 14h22.

le tube est-il bouché, i.e. existe-t-il un disque conducteur parallèleau plan et obstruant le tube à son extrémité ? => si oui, on se retrouve dans un cas équivalent au cylindre plein.

Y a-t-il vraiment besoin de ce disque conducteur "bouchant" le cylindre pour le rendre équivalent au cas du cylindre plein ?

Le sujet ci-dessous rappelle que les charges se répartissent "en surface" :
https://physics.stackexchange.com/qu...inner-cylinder

Dans le cas que je propose, la partie extérieure du cylindre creux ne devrait pas être considérée car elle constitue le "bord" d'un volume conducteur que j'ai extrait du problème et dont j'ai choisi de ne pas parler (peut-être à tort, mais voyons où cet exercice nous mène).

Par conséquent, les dires de la discussion donnée dans le lien précédent me font douter du bienfait de s'acharner sur la notion de cylindre creux. En effet, j'ai l'impression que cela revient à dire que regarder la capacité entre l'intérieur d'un cylindre creux et une plaque d'une part ou regarder la capacité entre l'extérieur d'un cylindre plein et une plaque d'autre part revient à la même chose (le diamètre respectivement extérieur et intérieur de ces deux cylindres étant égaux).

edit : la solution serait-elle donc d'utiliser la formule du "fil perpendiculaire à une surface" présentée par le papier ?

Regardez ce papier : https://www.mdpi.com/1996-1073/11/5/1090/htm qui semble avoir la géométrie qui vous intéresse

[Antoane]

C'est très différent : dans le cas des cylindres coaxiaux, il ne pet y avoir aucune ligne de champ entre l'intérieur du cylindre interne et de cylindre externe. Les deux surfaces sont en totale relation : toutes les lignes de champ partant de l'un vont vers l'autre.

Dans ton cas, il y aura des lignesde champs partant de la surface interne (c'est bien une surface) du tube et allant vers le plan.
Imagine que tu est une fourmis entre le plan et la paroie du tube regardant en haut. si le tube est de diamètre suffisant, alors la courbure n'est pas visible et tu ne peux distinguer l'intérieur de l'extérieur.

Il y aura, j'imagine, des cas particulier pour lesquels tube et cylindre plein auront la même capacité, mais ce sont des cas particulier et la physique n'est pas celle que tu décris.

> Le sujet ci-dessous rappelle que les charges se répartissent "en surface"
Application de la formule de Gauss -Maxwell : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quations_de_Maxwell pas de champ dans le conducteur => pas de charge

[Antoane]

Bonjour,

Je trouve :
C2 = 1.0743e-13 F
C1 = 2.0854e-13 F

Ligne équipotentielles et champ premier cas :
premierCas.jpg

Ligne équipotentielles et champ second cas :
secondCas.jpg