Électromagnétisme et relativité

[azerty109]

Bonjour,
J’ai une question sur mon cours intitulé comme le titre de la discussion.

Le magnétisme est un phénomène relativiste découlant de l’application du principe de relativité au champ électrique.

1. Première question. Si je visualise bien l’application de ce principe a un courant d’électrons dans un conducteur, étant globalement neutre, j’ai plus de difficultés à visualiser comment le champ magnétique apparaît avec un électron dérivant seul dans le vide.

2. Deuxième question. Pourquoi ne pouvons nous pas faire la même chose avec la force de gravitation ? Force électrique et force gravitationnelle sont proches et de même que la densité de charge se trouve modifiée par la contraction des longueurs, la masse volumique se trouve aussi affectée d’où l’apparition d’une autre force analogue au champ magnétique, mais issue de la gravitation.

Merci.
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[Deedee81]

Salut,

1. Première question. Si je visualise bien l’application de ce principe a un courant d’électrons dans un conducteur, étant globalement neutre, j’ai plus de difficultés à visualiser comment le champ magnétique apparaît avec un électron dérivant seul dans le vide.

Ce qui compte est le courant, qui est non nul dès qu'un seul électron se déplace (évidemment dans ce cas, en EM classique, on a typiquement un "delta" de courant qui se déplace au cours du temps et non pas un vecteur courant constant).

2. Deuxième question. Pourquoi ne pouvons nous pas faire la même chose avec la force de gravitation ? Force électrique et force gravitationnelle sont proches et de même que la densité de charge se trouve modifiée par la contraction des longueurs, la masse volumique se trouve aussi affectée d’où l’apparition d’une autre force analogue au champ magnétique, mais issue de la gravitation.

Parce que là, on l'appelle gravité dans tous les cas (on ne découpe pas les composantes en électriques / magnétiques).

D'autres auront peut-être une explication "avec les mains" plus intuitive.

[mach3]

Une ancienne discussion peut apporter un éclairage supplémentaire pour la question 1 :

https://forums.futura-sciences.com/p...e-maxwell.html

Concernant la question 2, l'analogie entre electromagnetisme et gravitation a été explorée pour la première fois par Heaviside, alors qu'Einstein n'était qu'un adolescent :

https://sergf.ru/Heavisid.htm

Des équations similaires à celle d'Heaviside ont ensuite été trouvée dans le cadre de la relativité générale dans la limite des champs faibles, elles forment ce qu'on appelle le gravitomagnétisme : https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitoelectromagnetism
Différents effets ont pu être prédits et vérifiés expérimentalement :
https://en.wikipedia.org/wiki/Frame-dragging
https://en.wikipedia.org/wiki/Geodetic_effect

Attention cependant, ça ne respecte pas la covariance contrairement à l'electromagnétisme, donc cela ne relève pas de l'application du principe de relativité à la gravitation de la même manière que le magnétisme relèverait de l'application du principe de relativité au champ électrique.

m@ch3

[azerty109]

Merci pour vos réponses.
Pour revenir à la question 1 :
Auriez vous une manière de visualiser d’avantage la création de champ magnétique pour une charge à la dérive dans le vide ?
Je m’explique : dans un conducteur neutre, la contraction des longueurs crée une force électrique qui se visualise assez simplement. Je n’arrive pas à faire la même démarche pour une charge seule.

Pour la question 2, merci pour ces éclairements. Mais finalement, pourquoi je peut on pas appliquer rigoureusement la relativite à la gravitation comme nous le faisons a la force électrique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Auriez vous une manière de visualiser d’avantage la création de champ magnétique pour une charge à la dérive dans le vide ?

Je ne comprend pas trop ce que tu entends pas "visualiser d'avantage". Charge en mouvement => champ magnétique. Que dire de plus. Ca correspond pile poil à l'équation de Maxwell appropriée (celle avec le vecteur j).

Ce n'est pas une question de contraction des longueurs (bien que ça intervient aussi, ça explique que le fil neutre peut être "vu" chargé dans un référentiel en mouvement, mais ça ne joue pas vraiment pour le champ magnétique en première approximation, attention de ne pas tout mélanger).

Et comme je l'ai dit, le champ gravitationnel se transforme aussi lors d'un changement de référentiel, mais le changement n'est pas appelé "magnétique" c'est tout.
Regarde le tenseur électromagnétique et le tenseur de Riemann-Christoffel. Le premier a des composantes appelées champs électriques et magnétiques. Le deuxième c'est juste les composantes de la courbure, cétou (qu'on peut identifier au champ gravitationnel, bien que la connexion soit sans doute plus appropriée pour ça), et certaines composantes correspondent à la dilatation du temps gravitationnelle, la contraction des longueurs gravitationnelle et la déviation géodésique (les forces de marées). Mais dans tous les cas on appelle cela "la gravité".

Mais attention aux analogies, les champs E et B sont vectoriels (et le tenseur EM est antisymétrique et équivalent à un champ vectoriel), le champ gravitationnel est tensoriel, c'est quand même un peu plus compliqué (et en plus c'est couplé à la variété espace-temps qui n'est pas de Minkowski, ça aussi ça complique les choses, d'ailleurs comme rappelé par mach3 l'analogie du gravitomagnétisme est en champ faible).

[mach3]

Et comme je l'ai dit, le champ gravitationnel se transforme aussi lors d'un changement de référentiel, mais le changement n'est pas appelé "magnétique" c'est tout.
Regarde le tenseur électromagnétique et le tenseur de Riemann-Christoffel. Le premier a des composantes appelées champs électriques et magnétiques. Le deuxième c'est juste les composantes de la courbure, cétou (qu'on peut identifier au champ gravitationnel, bien que la connexion soit sans doute plus appropriée pour ça), et certaines composantes correspondent à la dilatation du temps gravitationnelle, la contraction des longueurs gravitationnelle et la déviation géodésique (les forces de marées). Mais dans tous les cas on appelle cela "la gravité".

Mais attention aux analogies, les champs E et B sont vectoriels, le champ gravitationnel est tensoriel, c'est quand même un peu plus compliqué (et en plus c'est couplé à la variété espace-temps qui n'est pas de Minkowski, ça aussi ça complique les choses, d'ailleurs comme rappelé par mach3 l'analogie du gravitomagnétisme est en champ faible).

Il convient peut-être de compléter/nuancer. Les champs électriques et magnétiques se combinent au sein du tenseur d'ordre 2, dit de Faraday (ou tenseur electromagnétique), objet géométrique invariant. Les champs électriques et magnétiques, qui correspondent à une valeur donnée du tenseur, dépendent du référentiel choisi (par exemple dans un référentiel on aura que du champ électrique et dans les autres un champ électrique plus fort ET un champ magnétique), et ce sont les transformations de Lorentz qui s'appliquent pour passer des champs dans un référentiel aux champs dans un autre. Notons que les champs électriques et magnétiques sont tous deux nuls si et seulement si le tenseur est nul : autrement dit, si le tenseur est non nul, on pourra trouver un référentiel ou l'un des deux champs s'annule, mais jamais les deux.
Quand on donne à ce tenseur d'ordre 2 la 4-vitesse d'une particule chargée, il donne la 4-force (combinant puissance et force) par unité de charge électrique que va subir cette particule, c'est la force de Lorentz (qE+qv^B). Ces 3 objets, 4-vitesse, tenseur de faraday et 4-force sont des objets géométriques invariants, mais projetés sur le temps et sur l'espace d'un référentiel, ils s'interprètent comme des vitesses, des champs électriques et magnétiques, ainsi que des puissances et des forces qui eux ne sont pas invariants. On peut ajouter que le tenseur de Faraday, d'ordre 2, dérive du 4-potentiel (un 4-vecteur = ordre 1, qui combine potentiel électrique et potentiel vecteur). On note également que la source du champ est le 4-courant (lui aussi d'ordre 1 qui combine densité de charge et densité de courant).

L'équivalent avec le champ gravitationnel, c'est, en relativité générale, les symboles de Christofell (ou coefficients de connexion). En regardant vite ça a une allure de tenseur d'ordre 3 (et non 2), mais pire, ça n'est pas un tenseur, c'est à dire pas un objet géométrique invariant mais le résultat d'un choix de système de coordonnées (il est très facile d'en rendre certains non nul dans le cas d'un espace-temps plat normalement exempt de gravitation). C'est à dire que même si on peut séparer entre composantes électriques (il y a une force qui semble s'appliquer à une particule du fait de sa masse) et magnétiques (il y a une force qui semble s'appliquer à une particule du fait de sa quantité de mouvement), ce ne sont pas les transformations de Lorentz qui s'appliquent pour passer des champs dans un référentiel aux champs dans un autre. Pire, il est toujours possible de choisir un référentiel qui annule localement les symboles de Christofell : il n'y a alors plus aucun champ de gravitation !
Ensuite, ce qui va se rapprocher le plus d'un équivalent de la force de Lorentz, ce sera l'équation des géodésiques, où on donne aux symboles de Christofell la 4-impulsion deux fois de suite (un peu comme un carré, c'est à cause de l'ordre trois, il y a un emplacement de plus dans lequel il faut mettre un 4-vecteur) pour obtenir quelque chose qui ressemble à une 4-force mais qui n'en est pas une, car en relativité générale, un mouvement soumis uniquement à la gravitation est un mouvement libre le long duquel la 4-force est nulle ! Ce qu'on obtient est en fait la 4-force qu'il faudrait appliquer pour que la particule ait le même comportement en espace-temps plat (et à l'inverse, celle qu'il faudrait appliquer à l'opposé pour que la particule soit en mouvement rectiligne uniforme vu du repère choisi).
Il y a cependant des tenseurs, des objets géométriques invariants, en relativité générale : le tenseur métrique, duquel va dériver la connexion (en fonction du référentiel choisi), et le tenseur de Riemann, qui dérive lui de la connexion. Le premier joue le même rôle que le potentiel gravitationnel et est un tenseur d'ordre 2 (alors que ce qui joue le rôle de potentiel en électromagnétisme est le 4-potentiel, d'ordre 1, une différence capitale). Le second quantifie les effets de marée et est un tenseur d'ordre 4, il joue un rôle similaire au laplacien du potentiel dans l'équation de poisson. Enfin, la source du champ est un tenseur d'ordre 2, le tenseur énergie impuslion (alors que la source est d'ordre 1 en électromagnétisme).

Petite subtilité qui peut semer la confusion, le champ de tenseur de Riemann est parfois nommé champ de gravitation, mais il ne correspond pas à ce qu'on appelle champ de gravitation en mécanique classique mais à son gradient (=les marées). Cela tient au fait que comme le champ de gravitation (classique) peut être localement annulé par un changement de référentiel, il ne s'agit pas d'un objet pertinent pour parler de gravitation en relativité générale.
Autre petite subtilité, le tenseur de Riemann n'est pas directement impliqué dans les dilatations du temps et contraction des longueurs dites "gravitationnelles", car celles-ci peuvent exister en espace-temps plat, mais il rend directement compte des variations de ces effets dans le temps et l'espace.

m@ch3

[Deedee81]

Salut,

Il convient peut-être de compléter/nuancer.

Vachement complet même Merci. Et rectifié quelques imprécisions (je n'avais pas été clair sur le "champ de gravitation"). C'est quand même costaud.

Pour Azerty, je viens d'aller voir l'article wikipedia sur le gravitomagnétisme suggéré par mach3. Je t'en conseille la lecture.
On voit assez bien l'analogie (l'article est simple et court, même un peu trop court mais bon il y a d'autres sources sur internet éventuellement). Les effets équivalent au magnétisme : l'effet Lens-Thriring notamment. Ca illustre bien à la fois ce que je disais (on dit électrique et magnétique en EM mais on dit gravité dans tous les cas en relativité générale) mais aussi l'équivalent des effets dont tu parlais (mouvement d'une charge => champ magnétique et l'équivalent avec la gravité).

la version anglaise est plus complète si la langue de Shakespeare ne te gène pas : https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitoelectromagnetism